1 1000 1 http://bibnum-bu.univ-artois.fr/files/original/ec6c1b456bde117091ea456e34ce0741.pdf b774a64699a4d133fe9ce8f270432e0d Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Bibliothèque virtuelle des instituteurs Description An account of the resource A partir du Catalogue des bibliothèques des écoles normales datant de 1887 souhaité par Jules Ferry et essayant de proposer les ouvrages de référence que chaque école normale d'instituteurs devait avoir, nous avons reconstitué une partie de cette bibliothèque idéale pour la formation des instituteurs Document A resource containing textual data. Note that facsimiles or images of texts are still of the genre text. Dublin Core The Dublin Core metadata element set is common to all Omeka records, including items, files, and collections. For more information see, http://dublincore.org/documents/dces/. Title A name given to the resource Traité de perspective linéaire précédé du tracé des ombres usuelles (rayon à 45 degrés) et suivi du rendu dans le dessin d'architecture et dans le dessin de machines Subject The topic of the resource Perspective Description An account of the resource 1 vol. en format PDF (188 p.), 33 cm Creator An entity primarily responsible for making the resource Pillet, Jules-Jean (1842-1912) Publisher An entity responsible for making the resource available Ch. Delagrave H. Lesoudier Date A point or period of time associated with an event in the lifecycle of the resource 1885 Date Available Date (often a range) that the resource became or will become available. 2013-01-17 Rights Information about rights held in and over the resource Domaine public Relation A related resource http://www.sudoc.fr/023141204 Format The file format, physical medium, or dimensions of the resource application/pdf Language A language of the resource Français Type The nature or genre of the resource Text Identifier An unambiguous reference to the resource within a given context MAG A 73 111 Provenance A statement of any changes in ownership and custody of the resource since its creation that are significant for its authenticity, integrity, and interpretation. The statement may include a description of any changes successive custodians made to the resource. Ecole normale d'Arras Rights Holder A person or organization owning or managing rights over the resource. Université d'Artois PDF Search This element set enables searching on PDF files. Text Text extracted from PDF files belonging to this item. EUGÈNE GUILLAUME MEMBRE DE L'INSTITUT Hommage de profond respect �DROITS DE TRADUCTION ET DE REPRODUCTION RÉSERVÉS Le dépôt de ce Livre a été fait au Ministère de l'Intérieur en Décembre 1885. Les Figures de cet Ouvrage ont été dessinées sur zinc par M. L. PÉRONNE, à Paris. Elles ont été gravées par M. COMTE, à Paris. BAR-LE-DUC. - IMPRIMERIE ET LITHOGRAPHIE RUE DE LA ROCHELLE, COMTE-JACQUET 58 �COURS DE SCIENCES APPLIQUÉES AUX ARTS TRAITÉ DE PERSPECTIVE LINEAIRE PRECEDE TRACÉ DES OMBRES USUELLES (RAYON A 45 DEGRÉS) ET SUIVI RENDU DANS LE DESSIN D'ARCHITECTURE ET DANS LE DESSIN DE MACHINES TEXTE ET DESSINS JULES PILLET Y Professeur de Géométrie descriptive à l'Ecole des Beaux-Arts, Professeur de Perspective à l'Ecole des Ponts et Chaussées et à l'Ecole spéciale d'Architecture, Maître de Dessin de Machines à l'Ecole polytechnique, Inspecteur de l'Enseignement du Dessin. 1VES POUR LA FRANCE POUR L'ÉTRANGER LIBRAIRIE CH.- DELAGRAVE LIBRAIRIE H. LESOUDIER io, Rue Souftlot, 15 3 , Kœnigsstrasse, 3 PARIS 1885 TOUS DROITS RESERVES LEIPZIG I.U.F.M. Nord-Pas de Calais Médiathèque Centre d'Arras 37 rue du Temple 62022 ARRAS Tél : 03 21 21 85 00 �PRÉFACE Les leçons que j'ai, l'honneur de présenter aujourd'hui au public ont été professées pendant plus de dix années consécutives àvant d'être livrées à l'impression. A ce titre elles auront peut-être pour elles de ne renfermer que peu de choses inutiles et de donner aux lecteurs, aussi bien qu'aux professeurs qui voudraient enseigner en s'inspirant de ce livre, des notions et des méthodes dont l'expérience aura été faite et refaite un grand nombre de fois. I. — C'est à l'école municipale Turgot, la plus ancienne des écoles primaires supérieures de la ville de Paris, que, ayant à enseigner le dessin géométrique à des élèves qui ne connaissaient pas la géométrie descriptive, j'ai été amené, en 1871, à chercher des méthodes élémentaires pour résoudre les problèmes usuels d'ombres. La méthode une fois trouvée, j'en ai dégagé des tracés simplifiés qui permettent à un dessinateur exercé d'obtenir très rapidement, avec la règle, l'équerre à 43° et le compas, les lignes d'ombres qui se rencontrent le plus ordinairement dans le dessin d'architecture et dans le dessin de machines. Plus tard, mon éminent ami M. Emile Trélat me confiait à l'école spéciale d'architecture, qu'il a créée.et qu'il dirige encore, la chaire de perspective et d'ombres. J'ai donc dû, pour cet enseignement nouveau, étendre -la portée de mes premières leçons très élémentaires et chercher des solutions plus spéciales aux architectes. Depuis lors j'ai exposé les mêmes tracés aux élèves de l'Ecole polytechnique, aux élèves de l'Ecole des Ponts et chaussées (cours préparatoires) et à ceux de l'Ecole des Beaux-Arts (section d'architecture). J'ai reconnu qu'ils s'appliquaient aussi bien au dessin d'architecture qu'au dessin de machines et qu'ils pouvaient rendre des services aux Ingénieurs comme aux Architectes. Le lecteur reconnaîtra facilement que ma préoccupation constante est de donner des tracés qui prennent peu de place et qui, par conséquent, exigent des constructions tenant toujours dans le cadre du dessin. Je cherche, toutes les fois que cela est possible, à me passer du plan lorsque j'ai à résoudre un problème d'ombre sur une élévation : dès que l'on se trouve en présence de surfaces de révolution, cela est facile : la connaissance des saillies des objets les urts par rapport aux autres permet également, dans bien des cas, de se passer d'une projection horizontale. J'attire particulièrement l'attention du lecteur sur l'emploi très fréquent que je fais d'un mur fuyant à 45°, mur sur lequel (voir § 12) des cercles horizontaux donnent des ombres portées qui apparaissent projetées verticalement suivant des circonférences ; cela me permet d'appliquer, avec une singulière- facilité et en n'utilisant qu'un espace très réduit, la méthode, si commode, des projections obliques. Je crois être le premier qui ait indiqué la propriété de ce mur fuyant à 45°, ainsi que le tracé.simplifié de l'ombre propre et de l'ombre portée d'une sphère (§ 16), de l'ombre de l'écuelle (§ 31), de l'ombre du chapiteau dorique (§ 38), etc II. — Pour les leçons de perspective j'ai suivi de très près l'ordre adopté dans ses cours par mon regretté maître M. de la Gournerie, Professeur à l'Ecole polytechnique ; c'est à son bel ouvragé sur la perspective que je renverrai le lecteur qui voudrait approfondir cette science et étudier la perspective théâtrale ainsi que la perspective des plafonds. Je me suis attaché surtout, dans mon livre, à initier aussi complètement que possible le lecteur aux méthodes qui constituent le trait perspectif, absolument distinct du trait de la géométrie descriptive (§ 47). En perspective, toutes les constructions doivent faire image, et constituer comme la vue d'une scène qui se passerait dans l'espace, derrière la vitre à laquelle Léonard de Vinci voulait que l'on assimilât toujours le tableau. C'est pourquoi j'insiste beaucoup sur ce fait que les points de distance sont des points de fuite jouissant de certaines propriétés particulières. �— II — J'ai employé (§§ 54 et 53) l'expression nouvelle, ligne d'égale résection, pour désigner une droite qui recoupe suivant des segments égaux entre eux, les fuyantes principales et les lignes de front. Le mot résection n'est pas d'un français très correct, mais c'est le seul que j'ai trouvé pour rendre la propriété capitale des lignes qui fuient aux points de distance. Comme innovations, m'ayant donné de bons effets dans mes cours, je signale l'emploi de ce que je nomme le petit tableau (§§ 37 et 58) pour amplifier directement dans un rapport quelconque, même incommensurable, les résultats que donnerait l'épure. J'ai donné, § 68 et suivants, un certain développement à l'emploi pour les points do fuite inaccessibles, de l'instrument que je nomme le Té-brisé, mais qu'il conviendrait peut-être mieux d'appeler le Té-perspectif. J'en recommande vivement l'usage à tous ceux qui voudront exécuter rapidement des épures de perspective (1). Je n'ose revendiquer la priorité pour l'emploi des échelles divergentes dans la mise en perspective d'une circonférence (§§ 76 et 83), des cercles concentriques (§ 84) et des moulures (§§ 101, 102 et 103), puisque cet emploi est basé sur les propriétés des ligures homographiques; mais néanmoins je ne crois pas que dans un traité antérieur au mien on ait généralisé cette méthode autant que je l'ai fait. Elle a, suivant moi, le grand avantage d'être rapide et ne pas surcharger le tableau par des lignes de construction qu'il faudrait effacer après coup. Le titre relatif au dessin d'après nature, et qui comprend le relevé géométral et la perspective d'observation, a été composé surtout pour donner satisfaction aux personnes qui se destinent au professorat. 11 peut, bien entendu, servir aux architectes et aux peintres, mais il vise plus directement les candidats aux certificats d'aptitude à l'enseignement du dessin (2). Le titre relatif aux perspectives de convention (perspective cavalière et perspective isométrique), s'adresse aux ingénieurs et aux architectes bien plutôt qu'aux peintres. D'ailleurs nous ne cachons pas le peu de goût que nous éprouvons pour la perspective cavalière ; bonne, quand il s'agit de représenter un petit détail, à formes géométriques, elle est d'un effet détestable, dès qu'elle s'applique à un ensemble. Nous lui préférons de beaucoup la perspective axonométrique. III. — La théorie du rendu, qui constitue la troisième partie de l'ouvrage, est traitée sousune forme très élémentaire. L'illustre Monge, dans ses leçons à l'Ecole polytechnique, donnait le tracé pour obtenir le point brillant sur une sphère polie, et il indiquait la loi de dégradation à observer dans les teintes pour rendre le modelé de la surface. M. Vallée, Inspecteur général des Ponts et Chaussées, dans son livre intitulé : Traité de la science du dessin, étudie les reflets atmosphériques et terrestres ; il donne également des indications pour le tracé des images par réflexion et pour le rendu du modelé. M. Brelon-de-Champ, Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, dans un ouvrage sur les lignes d'égales teintes, étudie la question par le calcul infinitésimal et arrive à des résultats remarquables mais qui sont loin d'être simples. Dans mes cours à l'Ecole Turgot, et plus tard dans mes leçons de lavis théorique à l'Ecole polytechnique, j'ai cherché, surtout, à rendre très simple l'application d'une théorie qui, d'ailleurs, est loin de reposer sur des données très certaines. Je suis parti de la sphère, comme d'ailleurs ont fait et devaient faire tous les auteurs qui se sont occupés de la question. J'ai tracé sur une surface spbérique des lignes d'égales teintes, et j'en ai déduit des échelles qui permettent, à leur tour, de tracer des lignes d'égales teintes sur une surface quelconque. Le lecteur reconnaîtra, surtout s'il veut exécuter le lavis des nombreux exemples que je donne dans ma troisième partie, que la méthode que j'expose conduit à des résultats rapidement obtenus ej qui sont d'un effet satisfaisant. Seulement je tiens à dire, bien hautement, que rien ne saurait remplacer pour l'artiste l'observation de la nature. Avant de faire le lavis d'une moulure il faut avoir vu, au moins une fois, cette moulure dans un ensemble d'architecture et en bien posséder la forme ; il faut s'être rendu compte de la manière dont le soleil l'éclairé, et avoir porté son attention sur ce que je nomme les trois dominantes, savoir : la dominante claire, la dominante colorée et la dominante sombre. Il n'y a pas d'échelle ni d'instrument qui puisse remplacer ce travail de l'œil et de l'esprit. En un mot, je répudie complètement l'abus que l'on pourrait faire de ma méthode dont les principes ont été publiés il y a déjà quelques années dans un ouvrage plus élémentaire (3), abus consistant à faire tracer, pour ainsi dire mécaniquement, les lignes de teintes, sans rien raisonner ni sans rien observer. Ma méthode, je le répète, constitue un guide à l'aide duquel on est certain de ne pas faire d'erreurs et qui permet d'obtenir un effet suffisant. Elle prépare à observer, en connaissance de cause, les effets de la lumière. Si l'on veut en tirer un véritable parti il faut dessiner et peindre d'après nature, car rien ne peut remplacer l'étude d'après nature pour former et fortifier un artiste. Paris, le 30 Novembre 1Ë85. J. PlLLET. (1) Le Té-brisé se vend à la librairie Ch. Delagrave, 15, rue Soufflot. (2) D'après les nouveaux règlements, nul ne peut être nommé professeur de dessin d'imitation dans un établissement universitaire, s'il n'est muni de l'un des deux certificats d'aptitude à l'enseignement du dessin. Dans les épreuves exigées pour l'obtention de ce certificat figurent : un relevé géométral, une épure de perspective exécutée d'après ce relevé, et un dessin d'après nature (ornement ou fragment d'architecture ) Voir la note du §Théorie des ombres et du lavis, leçons professées a l'Ecole Turgot en 3« année (Ch. Delagrave. éditeur;. (3) 93. �PREMIÈRE PARTIE LES OMBRES USUELLES CHAPITRE PREMIER GENERALITES Première Leçon. 1. — Définitions. — La théorie des ombres a pour but, connaissant la position d'une ou de plusieurs sources de lumière, de déterminer sur la surface des corps les portions de ces surfaces qui sont éclairées et celles qui, ne l'étant pas, sont dites : dans l'ombre. § On nomme rayon lumineux la .ligne droite suivant laquelle, dans un milieu homogène, se propage la lumière. Là lumière est dite au flambeau (11g. 1), lorsque la source lumineuse est à distance finie. Elle est dite au soleil, lorsque Fig. Latéi î la source est à une distance suffisamment grande, pour que les rayons lumineux puissent être considérés comme parallèles entre eux (flg. 2). Lorsqu'un corps est en présence d'une source lumineuse, les rayons qui émanent de cette dernière se classent, par rapport à l'objet, en trois catégories : 1° Les rayons incidents qui sont arrêtés par la surface de l'objet et qui l'éclairent, plus ou moins, suivant leur angle d'incidence ; 2° Les rayons latéraux qui passent à côté de l'objet et vont en éclairer d'autres ; 3° Les rayons limites ou tangents qui servent de transition entre les deux précédents.. Ces derniers sont les plus importants à considérer. Si la surface est complète, ils lui sont tangents et forment par leur ensemble le cône d'ombre dans le cas d'un flambeau (fig. 1), le cylindre d'ombre de la surface (fig. 2), dans le cas de la lumière au soleil. La ligne de contact m n g de ce cône ou de ce cylindre se nomme la séparatrice d'ombre et de lumière. La partie dans l'ombre se nomme l'ombre propre de la surface. �Si la surface est limitée par un contour linéaire, si c'est un disque par exemple ou un polyèdre, dans ce cas les rayons limites ne sont plus tangents dans l'acception rigoureuse du mot ; ils passent par Fig. la ligne de délimitation du contour ou par certaines arêtes du polyèdre, que l'on apprend à reconnaître. Le problème des ombres et celui de la perspective ou des projections sont une seule et même question. Si on imagine, au lieu d'une source de lumière, un' point de vue, les rayons lumineux deviennent des rayons visuels. Les rayons lumineux tangents qui déterminent la séparatrice deviennent les rayons visuels de contour apparent : en les prolongeant (fig. 2) jusqu'à une surface (plane ou autre) et en les y arrêtant ils donnent dans le premier cas l'ombre portée de la première surface sur la seconde prise comme écran, dans le second l'image de la première sur la seconde prise comme tableau. Le problème des ombres dans le cas de la lumière au soleil est identique à celui des projections obliques, c'est-àdire de la perspective cavalière. L'ombre portée par un objet sur un plan n'est autre chose qu'une perspective cavalière de cet objet sur ce plan. § 2. — Les trois méthodes générales pour la recherche des ombres. — Elles se ramèneront à trois : 1° Méthode de plans sécants [fig. 3).— Soient deux surfaces en présence S et S'. On les coupe toutes deux par des plans susceptibles de contenir des rayons lumineux, c'est-à-dire passant par Fig. 3 le flambeau, ou parallèles aux rayons lumineux, dans le cas du soleil. On obtient ainsi deux courbes auxiliaires ; une dans chaque surface. On mène à chacune d'elles des tangentes lumineuses, ce qui donne en a et b sur la première courbe et en m et n sur la seconde-des points des séparatrices. Les premières tangentes en a et b, prolongées, rencontrent la seconde courbe en ai et h, ce qui donne des points de l'ombre portée par la première surface sur la seconde. On répète l'opération autant de fois qu'il est nécessaire et en joignant les points de même espèce par des courbes continues, on obtient en K a b L, puis en m p p n les deux séparatrices et en Ki pp bi Li l'ombre portée par S sur S'. Nota. — Les points p et p où l'ombre portée se perd dans l'ombre propre se nomment des points de perte. Ils n'existent pas toujours. (Voir fig. 4.) Dans ce dernier cas l'ombre est dite fermée, et dans le premier elle est dite ouverte. Nous donnons plus loin l'énoncé d'un théorème sur les tangentes à la courbe d'ombre portée aux points de perte. Cette méthode est, en général, d'une application pénible. Elle convient très bien pour trouver certains points particuliers des lignes d'ombre. Fig. S 2° Méthode des surfaces circonscrites. ■— Soit une surface (une sphère, par exemple, pour fixer les idées) dont on veut déterminer la séparatrice (fig. 5.) On lui circonscrit une surface plus simple, un cône par exemple, dont nous supposons que l'on sache trouver facilement la séparatrice S m (droite, dans le cas du cône) ; le point m où cette droite rencontre la courbe de contact ab du cône et de la surface est un point de la séparatrice de cette dernière. (Evident.) On pourrait prendre un cylindre tangent le long de la courbe cd qui donnerait en n un autre point de la séparatrice. En joignant par une courbe continue les points m, n, etc., on aura la séparatrice cherchée. �— Remarque. Fig. G 3 — Sauf pour des points tout à fait particuliers, la séparatrice S m de la surface circonscrite auxiliaire n'est pas tangente à celle hmng de la surface donnée. Autrement dit : il ne suffit pas Fi 7 ôque deux surfaces se raccordent pour que leurs lignes d'ombre propre se raccordent également (fig. 6). On voit en géométrie descriptive qu'il faut de plus, pour qu'il y ait raccordement des lignes d'ombre, que les surfaces soient osculatrices. 11 y aurait raccordement (fig. 7) si le profil était tracé à la main, comme on doit toujours le faire en architecture. 3° Méthode des ombres portées auxiliaires ou méthode des projections obliques. — Soient (fig. 8) deux surfaces S et S', sur lesquelles on veut faire toutes les recherches d'ombres indiquées ci-dessous. 1° Ombre propre de la surface S. On trace sur la surface S une série de courbes, N° 1, N° 2, N° 3, convenablement choisies, c'est-à-dire choisies aussi simples que possible : Si la surface est réglée, on choisira les génératrices Fig. s rectilignes; si la surface est de révolution, on prendra es l cercles qui constituent les parallèles, etc. On prend arbitrairement une surface auxiliaire, ordinairement un plan Z, sur lequel on cherche en N° 1', N° 2', N° 3' les ombres portées par ces courbes. On démontre facilement, comme on le fait pour les contours apparents, que l'ombre portée totale de' la surface S est l'enveloppe (1) des ombres N° 1', N°2', N° 3' portées par les courbes choisies. On trace donc cette enveloppe, tangente aux ombres portées auxiliaires, N° 1', Na 2' ; on détermine les points de contact fli bi — Ci di — fi , etc.... de l'enveloppe avec les enveloppées, et remontant, par des rayons lumineux inverses, de ces points aux courbes de l'espace, on obtient en abcd des points de la séparatrice de la surface S. 2° Ombre portée par la surface S' sur la surface S. On cherche comme ci-dessus l'ombre totale portée par la surface S' sur le plan auxiliaire. (La figure ■ n'indique pas les constructions faites à cet effet.) On prend les points de rencontre m' n' de cette seconde ombre portée avec les ombres portées partielles N° 1', N° 2', etc.. des courbes de la surface S et, remontant, par des rayons lumineux inverse?, de ces points aux courbes de l'espace, on obtient en m n des points de l'ombre portée cherchée. 3" Points de perte. Les points p' et q', où Fig. 9 se coupent les ombres portées totales, permettent, comme l'indique la figure, de remonter 2? Cas aux points de perte p et q sur la surface S. Remarque. — Cette méthode est générale ; c'est celle dont l'application est ordinairement Ombreportée * Pas d'ombre Ombre portée portée fermée ouverte avec points la plus facile. Le plan auxiliaire, au lieu d'être de perte. choisi arbitrairement, peut être fourni par l'épure même. Au lieu d'un plan on pourra m §§' wW HP i ' W0> (1) L'enveloppe d'une série de courbes est une autre courbe tangente à chacune des autres. �prendre toute autre surface auxiliaire : un cône, un cylindre Il est rare que dans les applications il n'y ait pas de surfaces sur lesquelles les ombres portées soient demandées. Dans ce cas, ces surfaces serviront d'auxiliaires pour l'application de la méthode des projections obliques. Nota.—L'aspect des ombres portées auxiliaires (fig. 9) permet de reconnaître les divers cas de l'ombre portée dans l'espace. — Les trois théorèmes généraux. i. — (Théorème des contours apparents.) Le contour apparent d'une surface, sa séparatrice, et sa courbe d'ombre portée sur toute autre surface, ont en projection §3. THÉORÈME ou en perspective des tangentes lumineuses (1) communes. On voit ce théorème observé sur les figures 3, 4, 8 et 10 ci-contre. (Démonstration facile à faire.) Il faut remarquer que (fig. 10), aux points ai et bi, l'ombre portée Fig- 10 n'est tangente au rayon lumineux qu'en apparence ; c'est-à-dire que la tangence ne se produit que pour la projection ou pour la perspective. Dans l'espace, il n'y a pas tangence. Il en est de même aux points a et b pour la séparatrice de la surface S et pour le rayon lumineux. THÉORÈME 2. — (Théorème des points de perte. Fig. 10.) 'de perte En tout point de perte, pi ou qi, d'une ombre portée dans une ombre propre, la tangente à l'ombre portée est le rayon lumineux, non-seulement en projection mais encore dans l'espace. En effet ce rayon est une génératrice du cylindre (2) d'ombre de la surface qui porte ombre et, par suite, il appartient au plan tangent à ce cylindre. D'autre part il appartient aussi au plan tangent à la surface qui reçoit l'ombre, puisque le point de perle est sur la séparatrice de cette dernière. Il est donc l'intersection de ces deux plans tangents et, par suite, il est la tangente à la courbe d'ombre portée, qui n'est autre chose que l'intersection du premier cylindre d'ombre et de la seconde surface. On voit le théorème du point de perte observé aux figures 3, 8 et 10. Ce théorème ne subit d'exception que dans le cas très particulier où les deux points de perte se rapprocheraient et arriveraient à se confondre en un seul (3). TUÉORÈME 3. —■ (Théorème des surfaces qui se coupent. Fig. 11.) Lorsque deux surfaces se coupent suivant une courbe a b, l'ombre portée par la première sur la seconde, commence au point m où la séparatrice Fis- 11 de la première rencontre l'intersection, et, en ce point, elle est tangente à cette intersection. En effet, en m, la tangente à la courbe d'intersection, ab, est l'intersection des plans tangents aux deux surfaces. La tangente à l'ombre portée en ce même point m est l'intersection du plan d'ombre de la première surface en m (lequel est aussi tangent à cette surface), avec le plan tangent à la seconde. Les deux mêmes plans donnent donc par leur intersection, à la fois, la tangente à la courbe a b et celle à la courbe mp. Donc ces deux tangentes ne sont qu'une seule et même droite, ce qu'il fallait démontrer. L'application de ces trois théorèmes permet dans beaucoup de cas, en ne cherchant qu'un nombre très restreint de points des lignes d'ombre, de les tracer cependant avec beaucoup de précision et dans leurs véritables mouvements. § 4. — Le rayon à 45°, et son rabattement à l'angle ce. — En dessin géométrique on considère les rayons lumineux comme émanant du soleil. Ils sont donc parallèles entre eux et, de plus, on les choisit parallèles à la diagonale d'un cube (fig. 12) qui aurait deux- de ses faces parallèles Fig: io Fie 12 r ig. 13 aux plans de projection et, par conséquent, une troisième S' face de profil. — On nomme quelquefois ce cube le cube de ! •s\ 'V\ S" <f\ a' s" a y \. lumière. Ce rayon a pour principal avantage de faire des angles égaux avec les plans de projection sur lesquels on figure les élévations, les plans et les coupes des objets. Nous désignerons cet angle par la lettre grecque 6. (f) Par abréviation, une tangente lumineuse est une tangente qui passe par la source lumineuse. (2) Ou du cône. Sur la figure 10 c'est un cône d'ombre. (3) Dans ce cas, les cordes communes aux indicatrices du cylindre d'ombre et de la surface, donneraient les langeâtes à la courbe d'ombre portée. On le démontre dans les cours de géométrie descriptive supérieure. �Les projections font (fig. Fig. li 13) des angles à 45° avec la ligne de terre. 13), RABATTEMENT DU RAYON A 45°. — Si on le rabat en a'Si sur le plan vertical (fig, il fait alors avec la ligne de terre l'angle tp. On a : ïang. çs z= effectuer : i/F d'où on déduit par des calculs trigonométriques faciles à Sin. <p = 3 Cos. ? — 1/3 et Cos. 2 ? = ~. 3 Equerre à l'angle o (fig. 14) très utile pour les tracés d'ombres usuelles'. On fera bien de construire soi-même une équerre à l'angle ç. �V CHAPITRE OMBRES PORTÉES SUR DES PLANS DE II FRONT ET APPLICATIONS Deuxième Leçon. 5. — Ombre portée sur un plan de front par un point et par une droite dans différentes positions 1° PAR UN POINT : Soit A a (fig. 15) un point situé à Fig. 15 une distance, 8 — 20mm, d'un plan de front XY. On a en Aj oi son ombre portée sur le mur; elle est obtenue en cherchant la trace verticale (Ai) du rayon lumineux issu du point a A. On remarque que l'ombre Ai, en élévation, est située à droite et au-dessous de A (Elévation du point) à une distance égale à la saillie (S = 20mm) du point A en avant du mur de front. De telle sorte que la connaissance de cette saillie, S, suffit seule, sans avoir recours au plan, pour trouver l'ombre portée. 2° PAR UNE DROITE VERTICALE BC et 3° par une droite fronto-horizontale EF. La première B G porte ombre en Bi Ci à une distance à droite de son élévation égale à la saillie ; pour la seconde c'est au-dessous de son élévation qu'il faut compter la saillie. 3° PAR UNE FIGURE PLANE DE FRONT (un cercle 0 par exemple). Fig. 16 Fig. 17 Cette figure porte ombre en vraie grandeur. Cette ombre s'obtient en déplaçant l'élévation à droite et en dessous, de deux longueurs successi7 ; ,* vement égales à la saillie de la figure de front. Pour un cerble, en particulier, il suffit de chercher comme ci-dessus, en Oi, sans se servir du plan, et en n'utilisant que la saillie, l'ombre du centre et de tracer un cercle égal au cercle donné (Applications : fig. 16 et 17, ombres d'un larmier). 4° PAR UNE DROITE DEBOUT (1) (fig. 15) ; soit par exemple l'arête LK d'un mur perpendiculaire au plan vertical. Le plan d'ombre d'une pareille droite est lui-même perpendiculaire au plan vertical et, par suite, l'ombre, c'est-à-dire son intersection avec le mur et même avec tout v Fi0- 1S autre objet, une sphère par exemple, se projette suivant une droite, qui, se confondant avec la projection des rayons lumineux, est une ligne à 45°. 5° PAR UNE DROITE DE PROFIL , inclinée sur le plan horizontal à la pente -•- (fig. 18). Il est facile de voir, en cherchant l'ombre portée A Bi, que cette droite est inclinée sur n m c'est-à-dire à n + m de hauteur pour m' de base. le plan horizontal à la pente m + Exemple : Une droite debout. Sa pente est 0 ; la pente de son ombre est -j-, c'est-à-dire qu'elle est inclinée à 45°, ce que nous avons vu plus haut. 1 " 1+12' Une droite de profil à 45°, c'est-à-dire inclinée à une pente —, aurait son ombre inclinée à la pente ^— — —. (1) Une droite debout est une droite perpendiculaire au plan vertical de projection. �1 ° I 1 3 Une rampe d'escalier (fig. 18) est en général inclinée à la pente — : La pente de son ombre est" —— teur pour 2 (3 de hau- de base). Ce dernier résultat est important à retenir pour le dessin d'architecture. § 6. — Ombres portées par un cercle, et par un cube sur un plan de front. — Le plus ordinairement un cercle se présente de front, de niveau ou de profil. Supposons que nous ayons inscrit un cercle dans Cherchons d'abord l'ombre portée par le cube. 3 des faces d'un cube, dont l'élévation serait ABCD (fig. 19). On connaît, je suppose, la saillie de la face la.plus rapprochée du mur. On en déduit, comme ci-dessus, en Ai Bi Ci Di l'ombre de cette face; c'est un carré. Le carré le plus en avant MNPQ ayant une saillie plus grande que celle du précédent de toute la longueur du côté du cube, on aura son ombre, Mi Ni Pj Qi , en déplaçant le précédent carré en dessous et à droite de deux longueurs successivement égales à ce côté. Cela met les deux diagonales AiCietMiPi en prolongement l'une de l'autre et fait coïncider les 2 sommets Mi et Ci. Cela fait : On joint les sommets Ai Ci—BiNi—DIQI—MiPi par des lignes à 15°, et on a ainsi une perspective cavalière reproduisant l'ombre portée par le cube. On fait sur'cette figure les remarques suivantes : . 1° La face supérieure du cube est un carré de niveau ; il porte ombre suivant le parallélogramme A1B1M1 Ni dont la figure est facile à retenir. En effet : Un de ses côtés A[ Bi est horizontal, l'autre est à 45°, sa petite diagonale Bi Mi est verticale et égale au plus petit côté. L'autre diagonale Ai N( est inclinée à la . 1 pente —. 2 ■ " Deux équerres à 45° AiBi Mi et BiMiNi mises côte à côte, donnent une idée de ce parallélogramme. 2° Si on inscrivait un cercle dans cette face il porterait ombre suivant l'ellipse inscrite dans ce parallélogramme. Cette ellipse toucherait les côtés aux quatre points milieux 1,1 Les points V,Y,situés sur la petite diagonale (nous les nommerons les points de petite diagonale) partagent la moitié o'Bi de o' V 1 cette dernière dans un rapport —— tz (sensiblement) 0,7. La tangente en ces points est parallèle à la grande o'Bi V 1 diagonale. Elle a donc une pente tagent aussi dans le rapport elles sont donc verticales. Telle est l'ellipse, ombre portée par un cercle de niveau. Il est important de savoir la tracer sans hésitation et sans en chercher d'autres points que ceux qui viennent d'être trouvés. 3° Le carré de profil porte ombre suivant le parallélogramme Ai Di Qi Mi , et le cercle de profil suivant l'ellipse qui y est inscrite. C'est la même ellipse que la précédente que l'on aurait fait tourner autour de la droite Ai Ci , comme ■charnière. Les points W , W (points de grande diagonale) situés sur la grande diagonale, la par— 0,7 (sensiblement). Les tangentes en ces points sont parallèles à la petite diagonale; 1 [/ 2 Les points importants de cette dernière ellipse sont : les points de milieux I, I, Les points de petite diagonale 2 Yi Vi et les points de grande diagonale Wi et Wi . Aux points Vi Vi la tangente est inclinée à —, aux points Wi et Wi elle est horizontale. Remarque. — La figure 19 montre comment en décrivant de o', comme centre, avec o'Bi comme rayon un arc de cercle, ce dernier rencontre la ligne à 45°, o' 1 en un point qui est au niveau des points de diagonale V et W. �— § 7. 8 — — Applications à l'Architecture. OMBRE D'UN FUT DE COLONNE : DONT L'AXE SERAIT DE NIVEAU ET DE FRONT (a). (fig. 20). On obtient en O V, par la simple connaissance de la saillie, l'ombre portée par l'axe sur le mur. On construit sur o, comme centre, le parallélogramme, ombre du carré de profil Dans ce parallélogramme on inscrit l'ellipse connue étudiée au paragraphe précédent. Les tangentes aux points WW, de grande diagonale, sont horizontales et donnent, par conséquent, les ombres portées par les génératrices d'ombre propre du cylindre ; elles constituent le contour rectiligne de l'ombre portée du fût cylindrique. En remontant, par un rayon lumineux inverse, du point de tangence W en V sur le cylindre, on aura un point V d'ombre propre du cylindre. La séparatrice est la génératrice qui passe par ce point. L'ombre,portée par la base de gauche s'obtient en déplaçant la précédente ellipse parallèlement à elle-même, de toute la longueur du cylindre. Remarque importante. — L'épaisseur de l'ombre'portée par le cylindre est plus grande que le diamètre, d, de ce dernier. Elle est égale à d \/T ou sensiblement 1, 4 d, ou encore exactement égale à 4 fois la distance O V qui sépare l'ombre propre du cylindre de la projection de son axe. (b) OMBRE D'UN FUT DE COLONNE VERTICAL (fig. 21). — Tout à fait analogue à la précédente ; il est inutile de l'expliquer. (c) OMBRE PORTÉE PAR UNE ARCADE DE PROFIL (fig. 22) ET PAR LA MÊME ARCADE EN COUPE (fig. 23). Fig. 21 Diamètred Fig. 23 Centres D i n i 0' B ; ,y === \ ffi ^ L argeur de /Vmire d/F* &r4c(\ '-■ E ■ On tracera deux fois l'ombre précédente, c'est-à-dire l'ombre d'un cercle de prolil. — L'épure se comprend facilement. Remarquer le point de brisure Ki intersection des 2 ellipses. Si l'arcade est coupée par un plan de front mené par son axe, l'ombre (fig. 23) se composera des moitiés des deux ellipses précédentes réunies par l'horizontale Di Ci qui est ombre portée par la ligne de coupe CD, faite sur la clef de l'arcade. — De plus, dans l'intrados nous aurons un fragment d'ellipse Ai Ki ombre portée par le cercle de gauche de l'arcade, sur cet intrados. (S.era démontré plus loin, au paragraphe intitulé : Ombre du Pont). (d) OMBRE D'UNE OUVERTURE CYLINDRIQUE FAITE DANS LE PLAFOND D'UNE SALLE CARRÉE (fig. 24). — Les explications sont inutiles. L'analogie avec la figure 23 est évidente : Seulement au lieu de considérer un demi-cercle de profil, on se reportera à l'ombre d'un demi-cercle horizontal. �CHAPITRE RESSAUT DES III OMBRES g ». — Ombres d'un larmier de front sur une série de plans de front. FIRR 24 Soit une DROITE M N, PARALLÈLE A LA LIGNE DE TERRE, PORTANT OMBRE SUR UNE SÉRIE DE PLANS DE FRONT (fig. 24). On voit facilement que l'ombre se décroche en ab— bi c — ci d... etc. et reproduit les saillies successives des murs, c'est-à-dire le profil même de ces murs pris en projection horizontale. Un point tel que b, ou c, ou d, se nomme un point limite et l'ombre ressaute de c situé sur l'arête en ci situé sur l'ombre primitivement tracée du larmier M N. Donc ci est aussi un point de l'ombre portée par l'arête c C. Cette ombre est la verticale ci fi. Les points tels que ci di se nomment des points de brisure. En ces points viennent se croiser les ombres de deux lignes différentes. § 9. — Architecture. — (A). OMBRE PORTÉE LA LIGNE DE TERRE (fig. 25 et 26). PAR L'ARÊTE VERTICALE D'UN MUR OU D'UN PILASTRE SUR DES MOULURES PARAL- LÈLES A 1° Décrochement de l'ombre. — La ligne d'ombre portée reproduit, en sens inverse, le profil même de la moulure. — On peut donc, sans se servir d'un plan ni d'une coupe et, si l'on Fig. 26 connaît seulement le profil de la moulure et en plus le reculement d'une seule génératrice, tracer la ligne d'ombre (fig. 25 et 26). La coupe (fig. 26) donne en 1, 2, 3, 4, 5, 6 le profil de la moulure. La saillie de l'arête en creux 1, en arrière de la ligne verticale N R qui porte ombre étant connue, permet de tracer en a bcd en prenant a comme point de départ, le profil de la moulure, copié sur celui de la coupe. (Il serait donc inutile de tracer cette coupe). C'est l'ombre géométrique portée par la ligne NR sûr la moulure. On nomme cette courbe le décrochement de l'ombre. Il y a sur ce décrochement des lignes inutiles et il y manque les ombres propres des divers cylindres qui constituent les éléments de cette moulure ainsi que les ombres que ses différentes parties portent les unes sur les autres. 2° Ressaut de l'ombre. — On complète de la manière suivante : (a) On mène par tous les points limites tels que dp, que nous nommerons dès points limites anguleux des rayons qui font ressauter Fig. 27 l'ombre de d en di. Par di passe une des ombres portées di dz par la moulure sur elle-même ; c'est ce que l'on nomme une ombre autoportée. (b) On mène les tangentes à 45°, aux points tels que p et q, ce qui donne les points de perte ou points limites tangentiels et fournit en même temps les points de départ des lignes d'ombres propres. (c) Ces tangentes prolongées en p\ et en qi, jusqu'à leurs rencontres avec le profil tracé à priori pour le décrochement, donnent en pi et q\ d'autres ombres portées par la moulure sur elle-même. (B). TICALES. ET OMBRE PORTÉE PAR UN LARMIER FRONTO-HORIZONTAL, SUR DES MOULURES VER- On voit (fig. 27) un autre exemple du décrochement et du ressaut des ombres. 2 �— 10 — C'est l'ombre portée par un larmier, M' N', parallèle à la ligne de terre sur une série de moulures verticales (baguette, filets, talon ). Le profil de la moulure est reproduit, à priori, en a b d e..., etc.; c'est le décrochement de l'ombre ; on sépare ensuite les points limites anguleux, bd... et les points limites tangentiels à 43" p q...; on achevé comme ci-dessus, après avoir l'ait ressauter ces points limites tangentiels ou points de perte, en pi et q\. Les points de brisure pi qi servent de départ aux ombres autoportées. § 10. — Ombre portée par une droite verticale sur un plan parallèle à la ligne de terre (fig. 28.) C'est un cas particulier du problème précédent. L'ombre est une droite c 'a'i, inclinée sur ^horizontale du même angle a que le plan fait avec le plan horizontal, et commençant en e' à une distance b' c' du pied de la droite, égale à la saillie de ce pied, en avant de la trace horizontale du plan. § il. — Applications à l'architecture. (a) OMBRES D'UN ESCALIER AVEC RAMPE DESCENDANTE. Fig. 23 L'escalier est incliné comme à l'ordinaire, à 1 de hauteur pour 2 de base. — En élévation (fig. 29), la partie de la rampe qui est deboutdonne de Aen AAïune ligne d'ombre à 45°. —La saillie a fait connaître Ai et l'ombre Ai Li portée par la partie inclinée de la rampe est penchée à 3 pour 2 (voir § 5). De même, les petites ombres portées sur les faces antérieures des marches sont inclinées à 3 pour 2. — Leurs points de départ sur les arêtes sont sur une même droite mn dont la distance e à la 2. droite A B est les de la hauteur de la droite A B au-dessus d'un plan fictif g h (fig. 31 et 32), qui passerait par toutes les arêtes saillantes des marches. o Fig. 30 La figure 32, à.plus grande échelle, montre pourquoi cette largeur e est les-^- de la hauteur fg. Fig. 33 Fig. 31 (ji.jipaAndeurJ En plan, la rampe donne, sur le sol et sur les dessus des marches , des ombres, telles que Z W, inclinées à 1 pour 3, etc., etc. (b) OMBRES D'UN PIÉDESTAL SUR UN ESCALIER (fig. 33). 1° La saillie a (supposée connue) de l'arête g h en avant de la marche N° 2 donne à priori en 2 Ai l'ombre portée sur la face antérieure de la marche N° 2. �Il 2° Par le point 2 on mène la ligne 2, 3,4... inclinée à la pente de l'escalier (ici en déduit le décrochement d'ombre 3 g\ g±. 1 de hauteur pour 2 de base) et on 3° On cherche l'ombre autoportée, mi g du piédestal et on fait ressauter de g en gi le point limite g... etc., etc. Le reste de l'épure se comprend facilement. (c) OMBRE D'UNE CHEMINÉE SUR UN TOIT (fig. 34). Du pied z de l'arête de la cheminée sur le toit, on mène ZW, inclinée à la pente (supposée connue) du toit. 2° Portant de z en 2, la profondeur p (connue) de la cheminée, on déduit sur la droite ZW le point 1 et ensuite l' t pied sur le toit de l'arête postérieure de gauche ; 1' 3', parallèle à Z W, est l'ombre de cette arrête. 1° Fi s- 35 . 3° En G2 c-2 bï ck on a le parallélogramme, virtuel, d'ombre portée par a b c d de l'espace. . 4° On cherche en mi fi l'ombre du larmier sur le corps de la cheminée. 5° On fait ressauter cette ombre en N2 H» K2, et on remarquera que Gs et Ma sont sur une même ligne 4 M G2 inclinée à la pente du toit et issue 2 du point 4 ; de même K2 et h sont sur une même ligne à la pente du toit. (d) OMBRE D'UNE LUCARNE SUR UN TOIT (fig. 35). 1° La verticale b Pi donne une ombre b P2 inclinée à la pente du toit. 2° On prend en Mi Pi l'ombre portée du toit de la lucarne sur la face antérieure. p 2 3° On suppose que le toit S de la croupe a la même pente que les pans latéraux T : il en résulte que l'arête M Z et par suite le sommet Z sont dans un même plan vertical à 45°, avec a Mi : donc Z porte ombre en Z2 sur la ligne aZ2 inclinée à la pente du toit, etc. 4° Ombre d'une crête (voir le croquis) : cette dernière partie, toute de détail, se fait un peu de sentiment ; on aura soin seulemént d'incliner à la pente du toit les ombres portées par les tiges verticales de la crête. Pente du toit 12. Ombre d'un cercle horizontal sur un mur vertical fuyant à 45°. Fig. 37 Fig. 36 En perspective (fig. 361, le plan Q, vertical et incliné à 43° sur la ligne de terre, est coupé par un cercle horizontal V D W ; on suppose que le centre 0 est dans le plan Q. Nous appellerons un pareil plan : un mur fuyant à 45". Epure (fig.37).— Deux diamètres Y W et fd h angle droit du cercle donneront 2 diamètres conjugués o'd'i et V W de l'ellipse d'ombre portée. On remarquera : 1° que ces diamètres sont à angle droit ; 2° qu'ils sont égaux ; donc l'ombre portée se projette suivant un cercle. Il passe par les points V et W, à 43°. Nota.—Ce cas particulier où l'ombre portée par un cercle nous apparaît circulaire nous sera surtout utile pour les épures qui vont suivre et nous facilitera l'application de la méthode des projections obliques. �CHAPITRE IV OMBRES PROPRES DES SURFACES DE RÉVOLUTION Ouati'iùuie Leçon. § 13. — Ombre du cône (fig. 38). Méthode générale : 1° Prendre un plan auxiliaire quelconque P, sur lequel on cherche en ai bi l'ombre portée par la base et en Si celle du sommet ; 2° mener les deux tangentes Si nu et Si ni ; 3° remonter par des rayons inverses Fig. 39 Fig. 38 de nu en m et de ni en n sur la base ; l'ombre propre est S m et S n. Remarque. — Le plan P sera choisi : ou bien passant par la base a b, alors il est inutile de chercher l'ombre de cette base ; ou bien passant par le sommet; il est inutile alors de chercher l'ombre du sommet. Epure. — méthode : En cherchant l'ombre portée sur le plan horizontal (fig. 39) : 1° On a en S'i Si l'ombre portée du sommet sur le plan horizontal ; 2° On mène les deux tangentes Si m — Si n à la base; ce qui donne l'ombre portée du cône ; 3° Les génératrices d'ombre propre sont S m — S' et SÎI— S' n' ; 4° On prend en S'a l'ombre portée du sommet sur le mur, et on joint aux points de pliure a et (3, où la^première ombre portée coupe la ligne de terre ; ce qui donne en a S'2|3' l'ombre portée sur le mur. 2° Méthode : Emploi du mur fuyant à 45°. Solution dans l'espace (fig. 40). 1° On prend un mur fuyant à 45°, P, passant par l'axe et, par suite, contenant le sommet S ; 2° On y cherche en V ai W l'ombre portée par fis- -*o. Fig m1 la base (§ 12). On sait qu'elle passe par les points à 4S°, V et W, de la base et que, en projection verticale, cette ombre sera projetée suivant un cercle ; 3° Le sommet S étant dans le plan P est à luimême son ombre portée ; 4° On mène les tangentes S m et S nu à l'ombre de la base ; S0 Par des rayons lumineux nu m et ni n on reporte nu en m et m en n sur la base : L'ombre propre du cône est S m et S n. Epure (fig. 41) : Soit Sa b, le cône, d'axe vertical, et donné en élévation. 1° On cherche en Y bi W le cercle, ombre portée de la base sur le mur fuyant à 45° ; 2° On lui mène les tangentes par le point S, et on prend en nu et ni les points de contact ; le tracé le plus exact pour obtenir avec précision ces points de tangence consiste, du point I milieu de SO, comme centre, à décrire une circonférence ; 3° Par des rayons à 45° nu ni et m n on reporte les points m\ et m sur la base : L'ombre propre est déterminée par les génératrices S m (vue) et S.n (cachée). �— 14 13 — Cône à 45°. Cône à l'angle tp. — Cône sans ombre. 1° Cône dont l'angle à la base est de 45° (fig. 42). En faisant la construction du § 13, on voit que les lignes d'ombre propre Sa et Se sont, l'une, la génératrice du contour apparent vertical Sa S'a' du cône; et, l'autre, la génératrice centrale Se S'c'. — Le cône a le quart de sa surface a Se dans l'ombre. — Cette ombre est toute entière cachée en élévation (fig. 42). 2° Cône dont l'angle à la base est tp. Le rayon lumineux du sommet S Si ne quitte pas la surface du cône, puisque ce cône est lui-même incliné à l'angle tp. Donc Si, ombre portée du sommet, tombe sur la base. L'ombre propre se réduit à la ligne S Si.— En réalité il n'y a pas d'ombre (fig. 43). 3° À plus forte raison, tout cône plus aplati que le cône à l'angle <p, n'a pas d'ombre propre ; c'est un cône sans ombre. § 15. jV f-! — Ombre du cylindre. 0/ '■ 1 V \ a' -X—, R- En considérant un cylindre comme la limite d'un cône dont le sommet serait à l'infini, on est conduit à mener à la base les deux tangentes à 45° m Si et n Si : les génératrices d'ombre propre sont donc m' et n'. Elles passent par les points à 45° de la base V et W et le tracé par le cercle 0' C les donne simplement (fig. 44). s f' ! n' Sri /n\ : | | m Remarque.—Soit x la distance à l'axe de la génératrice d'ombre propre, on a R \f 2 x— zz 0,707 R, c'est-à-dire sensiblement 0 V — 0,7 R, ou V a' — 0,3 R. VV\X\\V* *•\ F § 16. — Ombre de la sphère. 1er CAS : Le rayon lumineux a été rendu parallèle au mur, c'est-à-dire projeté à l'angle tp (fig. 45). (a) OMBRE PROPRE. Le rayon lumineux étant parallèle au plan vertical, le cercle de contact du cylindre d'ombre et de la sphère qui a son Fig. 15 plan perpendiculaire au rayon lumineux et par suite, aussi, au plan vertical se projette, en élévation, suivant une ligne droite m'h' perpendiculaire au rayon tp. En plan ce sera une ellipse ; projection du cercle m' n'. Ses deux axes sont cd et m n. Calcul de y (demi petit axe). — On a sur l'élévation ; donc y~R 3 3 Donc : Le petit axe de l'ellipse d'ombre propre de la sphère est égal au tiers du côté du triangle équilatéral inscrit dans le contour apparent. sin. ta : mais y - o u — R -—- _ . .. sm. tp ~ 1^3", Construction pratique : Prendre d K — R ; joindre K c, et la rencontre en m avec le rayon central 0 01 donne l'extrémité du petit axe. (b) OMBRE PORTÉE SUR LE PLAN HORIZONTAL : C'est l'ellipse 01 — iu nu ci di. Son petit axe ci di est égal au diamètre et perpendiculaire au rayon lumineux ; son demi-grand axe z — 01 nu. Il est facile à calculer. On a sur l'élévation : z sin. i-R, d'où z — . ^ 1 et^=R </T; d'où le tracé suivant : sin. tp 1° Prendre z — 3 fois y ; ou 2° sur Ci di comme base, construire des triangles équilatéraux ; les sommets m et nu do t;es triangles équilatéraux sont lés extrémités du grand axe. �— 14 — § 17. — Ombre de la sphère dans le cas général. (Fig.46.) Il suffit de reporter les résultats obtenus au § 16, en les orientant à 45°. 1° En plan : On a en oi l'ombre portée du centre. — Le petit axe do l'ellipse d'ombre portée est ci di perpendiculaire au rayon lumineux et égal au diamètre de la sphère ; — le grand axa oi mi s'obtient par le triangle équilatéral (§ 16 b). — Quant à l'ombre propre, son grand axe, c d, est égal au diamètre delà sphère ; son petit axe est obtenu comme au § 16, en o m. Nota. — Les points à 45° d et c, projetés sur les diamètres 02 et 01, donnent en 1 et 2, des points de l'ellipse (sera démontré au § 18). 2° Ombres en élévation.— Ayant en o '2 l'ombre portée par le centre sur le mur (la saillie du centre suffit pour la déterminer), on achève exactement comme pour le plan en utilisant les triangles Remarque. — Les points de plmre a p, équilatéraux. où la première ellipse d'ombre portée rencontre la ligne de terre, appartiennent aussi à l'ellipse, ombre portée sur le mur. Fig. 47 % 18. — Ombre propre d'une surface de révolution quelconque : (a) OMBRE PROPRE D'UN TORE (en élévation) (fig. 47). Les points sur le contour apparent s'obtiennent en m et n par les tangentes à 45° (§ 3. — Théorème des contours apparents). — Par raison de symétrie le point m" projeté sur l'axe s'obtiendra en menant l'horizontale m m". — Le point K sur l'équateur s'obtiendra à l'aide du cercle o SK construit comme on vient de le voir pour les cylindres. (Application de la méthode des surfaces circonscrites.) Pour trouver le point le plus bas c', on appliquera la méthode des plans sécants. On suppose que le méridien à 45°, parallèle aux rayons lumineux, a été amené de front entraînant avec lui le rayon lumineux qui se projette alors à l'angle cp. On mène donc au méridien principal la tangente 9 c'r à l'angle 9 ; puis on ramène le point de tangence c" à sa place en c' par une rotation inverse. Dans ce mouvement, le point tp situé sur l'axe ne bouge pas. Le point c" se déplacera horizontalement. Le rayon <p redevient rayon à 45°, ce qui donne le point le plus bas c' : Le point 9 n'ayant pas bougé, le point c" sera aussi sur la ligne à 45° menée par 9. On a de cette manière cinq points rapidement obte-' nus et les tangentes en trois de ces points, H, m et c'r ce qui suffit largement dans la pratique. (b) COUPE. L'ombre du môme tore vu en coupe s'obtiendrait de la môme manière (fig. 49); seulement elle se compliquerait de la recherche du point de passage 0 (1). (1) Le point de passage 0 est caractérisé par ce fait qu'en ce point commence l'ombre autoportée do la surface sur elle-même, et que l'ombie propre cesse d'y être réeUe. Le Tore en Elévation �Dans la pratique on n'obtient ce point qu'approximativement en se fondant sur la propriété de la courbe d'ombre, d'y être tangente au rayon lumineux. Il est évident que sur toutes les autres surfaces de révolution on tracera l'ombre propre par les mêmes procédés rapides que ceux que l'on vient d'indiquer. (c) OMBRE DU TORE EN PLAN (fig. 48). Points sur l'équateur 4, 4, obtenus par les tangentes à 43° — Points 1 et 1 — 3 et 3, sur les méridiens de front et de profil, obtenus en menant à la méridienne principale, en élévation, les tangentes à 45° et ramenant ces points. — Point le plus haut et le plus bas 2 2, dans le méridien de symétrie à 45°, obtenus en menant à la méridienne des tangentes à l'angle tp, et les ramenant ensuite en place. .Remarque. - L'ombre est ce que l'on nomme une conchoïde de l'ellipse 424, ombre propre de la sphère centrale. On l'obtiendrait géométriquement en menant des rayons tels que G A, prenant leur intersection avec l'ellipse d'ombre de k sphère centrale, et reportant, soit d'un côté soit d'un autre, une longueur, A, constante et égale à la distance du centre du tore au centre du cercle méridien. Cela est facile à démontrer. �CHAPITRE V OMBRES PORTÉES SUR LES CYLINDRES EN RELIEF Fig. 50 § 19. — Ombre du tailloir (fig. 50). Le tailloir AB fait, par rapport au nu de la colonne, une saillie l, qui est la même de tous les côtés. On suppose l'axe de la colonne dégagé hors du mur d'une quantité a, ordinairement égale à 1/3 R. L'ombre portée sur le fût est, d'après la théorie du ressaut des ombres, un cercle décrit de Oi comme centre. Ce cercle n'est à conserver qu'entre Ai ombre de l'angle gauche A du tailloir et P, point de perte (tangente à 45°). PQ est l'ombre propre du fût; son ombre portée sur le mur est en à une distance de l'ombre propre égale à x -f- a. Le reste de l'épure se comprend facilement ;• on voit qu'il est inutile de se servir du plan ; la connaissance du dégagement a de N2, l'axe est suffisante. ■ S 20. — Application. — Gouttes et leur bandeau dans l'ordre dorique (fig. 51). Le profil de gauche permet Fi„ 5I de trouver en m Ci l'ombre du bandeau de l'architrave sur le bandeau des gouttes et en c% l'ombre (interrompue par les gouttes) du bandeau de l'architrave sur l'architrave elle-même. On suppose que les gouttes sont des cylindres dont l'axe est dégagé du mur de la quantité a. L'arête md du bandeau des gouttes porte ombre sur les gouttes suivant des arcs de cercle décrits des points Oi et Oi comme centres. Aux points de perte p,p, répondent les points de brisure P-2 P2. Enfin les cercles de base des gouttes donnent, pour ombres, des demi-ellipses inscrites dans les demi-parallélogrammes dont le croquis ci-joint suffit à faire comprendre la construction. Ji fi f\ étudiés plus haut et �17 — § 21. — Ombre du listel saillant. (Colonne dégagée de 1/3 de R. Fig. 52.) (a) OMBRE PORTÉE SUR LE FUT : 1° Chercher en W et V comme il a été indiqué plushaut les ombres propres des deux cylindres. Le cercle OW, prolongé jusqu'à l'axe, donne en cp le point d'arrivée du rayon cp mené par A ; 2° Point de perte.— Le même cercle OW, recoupe la génératrice d'ombre propre du fût (Yi V) au point de perte p. — (La téngente à l'ombre portée y est à 45°) ; 3° Point leplus haut. — On applique pour ce point t la méthode des plans sécants. Par raison de symétrie il est dans le plan OZ, que nous avons nommé le plan de symétrie à 45°. On l'abat de front ce plan. Il devient le méridien principal ; T' vient en a A; le rayon cp mené par A recoupe le méridien du petit cylindre en un point que l'on ramène en t par une rotation inverse de 45°. Remarque. — En menant la droite WS, inclinée à 45° et ramenant symétriquement-à l'axe .s, en t, on obtient le point le plus haut d'une manière peut-être plus simple. J Les points tetp, avec leurs tangentes, suffisent largement en dessin pour tracer la courbe. 4° Point dans l'axe c. — La courbe tracée le donne ; mais on pourrait l'obtenir directement (question à chercher). Dans le dessin pratique, il est inutile de l'obtenir directement. 5° Point sur le contour apparent de gauche C. —Il est, par raison de symétrie (indiquée plus haut), au même niveau que le point dans l'axe c. Il serait facile de l'obtenir directement ; c'est une question à chercher. (b) OMBRES PORTÉES SUR LE MUR. 1 On connaît le dégagement a (ordinairement" - R) de l'axe de la colonne. On en déduit en A2 B2 situé à a au-dessous de AB, l'ombre du diamètre A B qui est de front dans la base du listel. L'ellipse d'ombre portée A2 h W2 B2 se trace comme il a été dit. (Ombre d'un cercle horizontal.) L'ombre portée de la colonne P2 Y'i est à une distance de son ombre propre p V égale h x + a. Remarques. — 1° p point de perte et P2 point de brisure, sont à 45° l'un sur l'autre ; — 2° de même pour W et W2 ; — 3° (important) l'ombre portée ta W2 du listel, déborde l'ombre portée P2 V'i du fût d'une quantité X' = \ \f~, soit 1,414 A, c'est-à-dire environ 1 fois (c) i À ; —■ 1 étant la saillie du listel sur le fût. d'un arbre ou d'un tourillon. Les points importants, point le plus près, point de perte P, point sur l'axe C, point sur le contour apparent C, s'obtiennent parles mêmes tracés que ci-dessus. En architecture on rencontre cette ombre dans les temples circulaires (fig. 54) tels que les temples de Yesta. Sur la figure 54 les colonnes du portique circulaire ne sont pas figurées ; le plan serait nécessaire ici pour déterminer les ombres portée s par les colonnes sur le mur cylindrique du portique. MÊME OMBRE DANS D'AUTRES POSITIONS. Dans le dessin de machine (fig. 53) le cylindre est très souvent horizontal, et le listel forme ce que l'on nomme le collet 1° Les ombres propres W du listel et Y S du fût, se tracent comme à l'ordinaire. L'ombre propre du fût Y S se continue. 3 �— 18 — sans se raccorder, par l'ombre propre, virtuelle d'ailleurs, Smgn, du tore en creux qui constitue le congé. (Voir ombre du tore en coupe) ; 2° Le point de perte P, comme au § 21 ; 3° Le point le plus haut x'. — Mener par A le rayon tp ; prendre en a son recoupement avec le congé et ramener par une rotation inverse de 45°, en utilisant le point cp sur l'axe, qui ne bouge pas. Remarque. —La figure ci-contre (fig. 56) tracée à plus grande échelle fait voir que l'angle aOA est égal à 2 tp ; et l'on a, en appelant h' la hauteur du point a au-dessus du point de naissance C, et h celle du congé : h' = h cos.2 tp. Et comme cos. 2 cp — -, on a h' Ce résultat est important à retenir, car il permet, sans épure, d'obtenir le point le plus haut en le plaçant au tiers de la hauteur du congé. Cette même remarque sera utilisée plus loin pour l'ombre de l'écuelle (§ 31). § 23. — Ombre de l'astragale, c'est-à-dire ombre d'un tore sur un cylindre ayant le même axe que lui. On supposera que la colonne n'est pas dégagée, c'est-à-dire Fig. 57 que son axe est sur le nu du mur. Si l'axe était dégagé d'une quantité a, cela reculerait d'autant en dessous et à droite les ombres portées sur le mur. 1° Ombre propre du tore (voir § 18). b et a, points de contours apparents (tangentes à 45°) ; b est ramené horizontalement dans l'axe en C, sur le méridien de profil. — l/i" Point f sur l'équateur : on a If ou X — IF ; le point f porte ombre sur le mur en fa et on a : fK — \f. De même le point C porte ombre en C2 , et C2 est à plomb de a, car la saillie de C est égale à C b. Point Si, le plus bas, obtenu en menant la tangente cp au méridien et ramenant le point de rencontre g en Si . — Le point S porte ombre en Si sur le cylindre, ce qui donne le point le plus haut de l'ombre portée sur le cylindre. En cp, situé sur l'axe, on a l'ombre portée de S sur le mur. L'ombre portée du tore sur le mur est donc une courbe passant par les points suivants : b (tangente à 45°). — g (sur le contour apparent). — tp (sur l'axe, tangente à—). — C2 (tangente horizontale). — fa (tangente verticale) et a (tangente à 45°) ; 2° Ombre du fût: Elle est tracée en PV comme à l'ordinaire. L'ombre portée est P2 V2 obtenue en doublant la distance a? ; 3" Ombre portée par le tore sur le fût.— Le point de brisure P2 , remonté à 45°, sur PV, donnera le point de perte de l'ombre portée par le tore sur le cylindre (tangente à 45°). — Cette ombre portée peut donc se tracer en P (tangente à 45°), Si tangente horizontale. NOTA. — Le point dans l'axe sera ramené horizontalement en g sur le contour apparent de gauche (tangente verticale). §23 bis. — Recherche directe du point de perte. — COURBE OVALE ou 9^ Ombre portée du tore sur le mur auxiliaire fuyant à 45°. Cette ombre auxiliaire que nous nommerons la courbe ovale du tore, à cause de sa forme /Ttp (ce n'est pas une ellipse) nous sera nécessaire pour les épures des leçons suivantes. Nous la considérerons comme l'enveloppe des ombres portées sur le mur fuyant à 45°, par les parallèles du tore (on sait que ces ombres de parallèles sont des cercles). �— 19 — L'équateur (fig-. 57) donne le cercle If, et fournit ainsi le point f de la courbe ovale (tangente verticale). Le parallèle à 45° donne un cercle de rayon G G", et donne le point G" de la courbe ovale (tangente à 45°). Enfin le point cp, sur l'axe, est l'ombre portée du point S ; il appartient à la courbe ovale (tangente horizontale). Cette courbe ovale rencontre en P l'ombre propre P V du fût, qui est aussi dans le mur à 45°; donc P est le point de perte. Remarque, 1. — Dans les applications le tore a presque toujours une très faible hauteur par rapport à sa largeur. Dans ce cas, à la courbe ovale on peut substituer, par approximation, un cercle obtenu de la manière suivante : En prenant un point 6, situé sur l'axe, au tiers environ de CI, et décrivant de ce point comme centre, avec ftf pour rayon, un cercle; ce cercle peut remplacer, sans erreur sensible, la courbe ovale ; mais, nous le répétons, il faut pour cela que le cercle générateur du tore ait un rayon très petit. Remarque, 2. — L'astragale peut, comme figure 59, accompagner un cylindre horizontal. �CHAPITRE VI OMBRES PORTÉES SUR LES CYLINDRES EN CREUX ET APPLICATIONS AUX VOUTES CYLINDRIQUES Sixième Leçon. § 24. Ombre d'un cylindre de machine à vapeur, en coupe, avec son piston en saillie. 1° Ombre du couvercle AB. — La droite AB, coupe du couvercle, donne (fig. 60) une ombre portée qui (voir Ressaut des ombres) est un demi-cercle décrit sur AB comme diamètre. L'ombre wii 3 et m 4 de la tige du piston s'obtient en inscrivant le cercle m n clans la tige et lui menant des tangentes à 45°. En réalité, le demi-cercle AB et le petit cercle mn remplacent une projection horizontale. 2° Ombre du piston saillant. —■ Chercher en W, l'ombre propre réelle, du piston et en Y q l'ombre propre virtuelle du cylindre creux. L'ombre est portée par le cercle saillant C D dans le cylindre creux qui a ce même cercle pour base. Donc, d'après ce théorème connu : « Lorsque « deux surfaces du second degré, cônes, cylindres, sphères, etc., ont une courbe « d'entrée plane, la courbe de sortie est plane également, » l'ombre est une section plane du cylindre et, par suite, c'est une ellipse. Deux diamètres à angle droit du cercle (par exemple W W et V V) donneront deux diamètres conjugués de l'ellipse. — En élévation (fig. 60), V W est conjugué de EYi, et comme E Va est incliné à 2 de hauteur pour 1 de base, on en conclut que les tangentes aux points de départ V et W sont inclinées à 2 pour 1, etc., etc. Suivre l'épure. Remarque. — C porte ombre en ci dans l'axe (tangente à 43°) et E porte ombre en Ei (contour apparent, — tangente verticale). § 25. — Ombre d'un cylindre ouvert, ou ombre du pont. Figure 62. — Le demi-cylindre de la figure 60 est supposé ouvert à sa partie supérieure. Dans ce cas, nous n'avons à garder de la demi-ellipse de tout à l'heure, que la portion V Ci ; on remarquera : 1° Que le point de départ V de l'arc d'ellipse est le point à 45° de gauche du demi-cercle de base du cylindre, Fig. ci ~1 et qu'en ce point la tangente y est inclinée à 2 de hauteur pour 1 de base ; 2° Que le point dans l'axe Ci est à 45° avec le point de gauche C du demi - cercle et qu'en ce point la tangente y est la ligne à 45° issue du point C. — Cela suffit pour tracer l'arc d'ellipse. Figure 63. — Si le demi-cylindre est à génératrices horizontales, comme cela se présente dans un pont cylindrique en Cyhndpe ouvept(enocu.]ie) �coupe, le tracé est analogue : Le point de départ est V, situe à 45° sur le demi-cercle de base. La tangente y est inclinée à 1 de hauteur pour 2 de base. Le point d'arrivée Ci est sur la génératrice centrale ou génératrice de naissance : la tangente y est la ligne à 45° issue du point C, le plus haut du cercle de base. Cette ombre porte le nom d'ombre du pont. Figure 64. — Ombre d'une arcade en coupe. C'est un fragment de l'ombre précédente. § 26. — Ombre du listel rentrant, en coupe. — Arc doubleau. Nous avons un demi-cylindre en coupe, ayant pour base le demi-cercle horizontal AB, et à la partie supérieure un couvercle percé lui-même d'un demi-cylindre plus petit CD; c'est ce dernier que nous nommons un listel rentrant. Si le grand cylindre devient une voûte comme figure 66, le petit cylindre prend le nom d'arc doubleau. 1° La droite A B donnerait (fig. 65) comme ombre, le demi-cercle A Ai B, d'où l'on déduit en Ci l'ombre de C, et en Di l'ombre du point D, où la droite A B est rompue par le listel. 2° Ombre du demi-cercle rentrant CD ; ce sera la courbe passant par les points : Ci (tangente à 45°) ; Vi (tangente verticale, ombre du point Y, à 45° du cercle CD) ; S' (point le plus haut, tangente horizontale), et Di ombre du point D (tangente à 45°). Donnons quelques détails pour obtenir ces points. (A) Point Vi le plus à gauche.— Il est l'ombre du point Y, à 45° du cercle CD. Or Y du cercle CD est dans le mur fuyant à 45°. Quelle est la génératrice du cylindre creux, de base AB, dont l'ombre auxiliaire sur le mur fuyant à 45° est la droite 1V ? Réponse : Ajoutons la remarque suivante, facile à démontrer : Vi est C'est la droite o Vi ; donc V porte ombre en Vi sur cette droite, sur l'horizontale du point 1. (B) Points tels que 4' dans l'axe. — Remonter 0i en 0, par la ligne à 45°, prendre les points 3 et"4 de recoupements avec le cercle O V, etc (c) Point le plus haut S'. — En employant le rayon cp. § 26 bis. — Même problème. Autre méthode plus simple. — (Le cylindre est horizontal.) Traçons les deux cercles décrits sur AB et CD comme diamètre et considérons-les comme une coupe (fig. 68) faite sur les deux cylindres et rabattue sur le côté droit. 1° Point Vi (le plus haut). — Sur la figure 68 c'était Le point le plus à gauche : Vi est obtenu en cherchant l'ombre de V, projeté en coupe en V ; donnant ombre sur le grand cylindre en V'i relevé en Vi. Le rayon lumineux V' V'i est tangent en V an rabattement de la base de l'arc doubleau. 2° Points dans l'axe, 3' 4'. — On les obtient en prenant la génératrice Z du grand cylindre située dans l'axe ; menant le rayon lumineux Z ; prenant ses intersections 3" et 4" avec la base rabattue de l'arc doubleau ; remontant de 3" et 4" en 3 et 4 sur le i cercle CD et menant, finalement, les rayons lumineux 33' et 4 4' jusqu'à la génératrice Z. 3° Point le plus à gauche t'i ti — Dans le méridien à 45°, O f'tfi. le tracé est évident sur la figure 66. �22 § 27. — Architecture : Ombres dans un berceau, en coupe (fig. 67). 1 1° VW sont les points de départ à 43° (tangente inclinée à —. Ombre du pont.) Fig. 68 Fig. 67 Coupe en Long . XL.... V.-< Coupe en long B (Naissances) m & 2° Ai ou Mi sur la génératrice située dans l'axe sont les ombres portées par les points A et M, avec tangentes à 45°. 3° En plan, I et J sont les centres des cercles Fig. 6!» Coupe en long d'ombres portées par les arêtes du dessus et du l\2 Coupe en travers dessous de l'imposte. I est à la fois sur l'axe et sur la ligne C W ; J est à une distance, à droite, du point I égale à ab hauteur de l'imposte. Les demi-cercles d'ombres une fois tracés le ressaut ch fi s'en déduit facilement. § 28. — Berceau avec arcs doubleaux (fig. 68). Cette épure est tout à fait analogue à l'ombre du listel en creux § 26 bis. Pour avoir l'ombre de la coupe en long on se servira de la coupe en travers XX' On remarquera le ressaut Pi P' dé l'ombre sur l'arc doubleau dans la coupe en long. Il est identique au ressaut 4" 4" du plan et obtenu de la même manière. § 29. — Voûtes d'arêtes sur plan barlong (fig. 69). Une voûte d'arêtes est, géométriquement parlant, obtenue par l'intersection de deux cylindres ayant deux plans tangents communs. Dans le cas de la figure 69 nous avons deux berceaux, l'un plein cintre, l'autre elliptique surbaissé, ayant c w t a Plan (vu par dessous) ! % / .1 s 1 X N i-_ 1 i a i , �— 23 — même plan de naissance et même montée, ce qui leur donne un plan tangent commun réel et, en considérant la symétrie par rapport au plan commun des naissances, si les cylindres étaient complétés, on aurait un deuxième plan tangent commun au-dessous des naissances. Dans ce cas, l'intersection des deux berceaux se compose de deux courbes planes, projetées en plan suivant les diagonales -telles que S P. (a) OMBRES DE LA COUPE EN LONG. — Nous retrouvons en VAi l'ombre du pont § 23 ; le point V répond au point Y' de la coupe en travers pour lequel la tangente au cercle de base est à 45°. En Y la tangente est inclinée à 1/2. (b) OMBRES DE LA 1/2 COUPE EN TRAVERS. — C'est aussi l'ombre du pont mais pour un berceau elliptique. Le point de départ W répond au point W" pour lequel, sur la coupe en long, la tangente à l'ellipse de base du grand berceau est à 45". Nota. — En W la tangente à l'ellipse d'ombre portée W Ni n'est pas inclinée à 1/2. (c) OMBRES DU PLAN.— 1° Chercher les génératrices d'ombres propres (virtuelles) des deux berceaux creux. Celle du berceau plein cintre est VK, obtenue comme l'on sait (sensiblement AY — 0,3 du rayon). Celle du berceau elliptique est W W répondant au point W de l'ellipse pour lequel la tangente est à 45° sur la coupe en long; cela fait, on s'occupe d'abord des ombres sur le berceau circulaire ; 2° Le point V est le départ de l'ombre du pont V Ai sur le berceau circulaire (ellipse connue; en V, sa tangente est inclinée à 1/2 et Ai est sur la génératrice centrale) ; 3° Le point K est le départ de l'ombre portée par l'arête KF dans le petit berceau, et comme FK est une courbe plane, on sait, d'après un théorème connu (1), que l'ombre portée est aussi une ellipse KFi ; le point Fi est l'ombre du point F. La tangente y est à 45°. Ce point Fi est aussi dans l'axe comme le point Ai ; mais au départ, en K, la tangente n'est pas inclinée à 1/2. On passe alors aux ombres portées sur le berceau elliptique ; 4° Le demi-cercle S Bi B est l'ombre portée sur le petit berceau par la droite SBC supposée indéfinie ; ce cercle n'est à conserver que de Bi en ai ; 5° La génératrice ai Ci est l'ombre de la génératrice de naissance a C sur le berceau elliptique ; „. Coupe en long ,„ //2 coupe en travers 6° W Ci est une ombre du pont. En Ci la langente est à 45°, cette tangente est issue du pointC; son départ W est sur la ligne d'ombre propre trouvée ci-dessus. La tangente à ce départ n'est pas inclinée à 1/2 ; 7° L'ombre RSi est portée par l'arête S F ; c'est encore une ombre du pont sur berceau elliptique. Elle est facile à comprendre en regardant la figure. § 30. — Lunette cylindrique droite (fig. 70). Dans la lunette cylindrique, les deux berceaux sont, tous les deux, pleins cintres, et comme leurs ouvertures sont différentes, ils n'ont pas la même montée et, par conséquent, n'ont pas de plans tangents communs. Ils se recoupent suivant deux courbes gauche, savoir M fS et sa symétrique, et l'on démontre facilement que ces deux courbes sont, en projection sur le plan, des branches d'une même hyperbole équilatère (2) dont les asymptotes seraient les lignes à 43° issues du point de croisement des axes. L'analogie entre cette épure et la précédente est évidente. Ainsi sur le plan on retrouve en YGi et 6Pi l'ombre du pont circulaire. Seulement les courbes 0" Si et Y' Ni, qui sont les ombres portées par l'intersection gauche sur les berceaux, ne sont plus des ellipses; néanmoins, comme pour la figure 69, en Si et Ni les tangentes sont à 45°, ce qui suffit, en dessin, pour les tracer approximativement. (1) Lorsque deux surfaces du second degré ont une courbe d'entrée plane, la courbe de sortie est également plane. (2) D'après ce théorème, lorsque deux surfaces du second degré ont un plan de symétrie commun, leur intersection, quoique gauche dans l'espace, se projette sur ce plan de symétrie suivant une courbe du second degré, ellipse, hyperbole ou parabole. �CHAPITRE VII VOUTES SPHÉRIQUES OMBRES PORTEES DANS LES SPHÈRES EN CREUX. Septième Leçon. § 31. — Ombre de l'écuelle. — En plan (fig. 71). Nous avons une demi-sphère creuse formant une cavité dans un bloc cubique. L'équateur tku, en plan, donne une ombre portée t h u qui, d'après un théorème connu (voir la note du § 30), est une section plane de la sphère et, par lg' '' A conséquent, un cercle projeté suivant une ellipse. 1° Points d'origine tetu. — Ce sont ceux où le rayon lumineux est tangent à l'équateur ; tu est le grand axe. 2° Point le plus éloigné h . — C'est l'ombre portée par k, situé dans le méridien de symétrie à 45° ; pour l'obtenir on emploie la méthode des plans sécants. La section faite parle plan vertical kg est rabattue sur le plan de l'équateur suivant le demi-cercle guk; le rayon lumineux du point k e;t rabattu en kk", faisant l'angle tp avec kg, le point d'intersection k" est relevé en ki et l'on a dans le triangle k"oh : 1 oki z= ok" cos. 2 cp, c'est-à-dire ok (petit axe) — — R O (rayon de la sphère). Résultat important à retenir. § 32. — L'écuelle en coupe. En réalité nous n'avons devant nous qu'un quart de sphère creuse. 1° Si le méridien w'a'u' était complet, il donnerait comme ombre portée l'ellipse ic'u'd', identique à celle 1 trouvée § 31, et l'on aurait : o' d' (petit axe) — — R. O 2° Mais le méridien s'arrête en a'; on prend donc en u'i, sur l'ellipse, l'ombre de a' et on ne garde que w'u'î. 1 — . Remarque. —On a aussi a.a'% — — a g'; ce qui donne à très exactement le point a'%. On sait, en effet, que lorsque l'on décrit un cercle sur le grand axe d'une ellipse comme diamètre, le rapport des ordonnées du cercle et de l'ellipse ' 1 est constant. Ici ce rapport est —. 3° Ombre de l'équateur (t'a'%).— C'est l'ombre de l'arc de cercle a t du plan. Or : a ' donne a'% (tangente à 45°) ; — f est le point d'origine (à plomb de w'); ce qui suffit à tracer l'arc d'ellipse t'a'%. ■ 1 Remarque. — Eut', la tangente est parallèle à o' k'i, diamètre conjugué de o't'. Mais, en plan : o h — -^og ; donc 1 i ' * i - o' t" =-7ro' t'. Mais l' S' — .S'fc'i, puisque t' k'i est à 45° ; donc ::o'.S".= ^ S '.k't. Donc : au I (élévation) V k'i o o point d'origine t la tangente est inclinée à un de base pour quatre de hauteur �Fig. 72 — Coupe 25 — Elévation § 33. — Ombre de la niche sphérique (fig. 72). ELÉVATION. — a ii§ m iH m W/////, ///////// m wà lm'/// // EL 1° On prend o d à 45°) — ~ R. On mène en g la tangente à 45° et on trace le quart d'ellipse odg. Il est à conserver seulement jusqu'en f. L od=%oo: 2° On prend en ai l'ombre de a (dans l'axe). 3° Op relie f et <i\ par une courbe gauche tangente en f à l'ellipse et tangente en ai h la génératrice ai t. COUPE. —■ L'ombre est identique à celle de la coupe de figure 71, mais autrement orientée. 1 •//, la 34. — Berceau cylindrique terminé par un cul-de-four sphérique (fig. 73). Fig. 73 b c est l'ombre du pont. —.gm est l'arc de l'ellipse de l'écuelle. o m est, une ellipse raccordant m avec o, c'est l'ombre portée par la droite km sur le berceau ; elle est tangente en o à la génératrice co et tangente en m à l'ellipse de l'écuelle. § 35. — Voûte sphérique précédant un berceau plein-cintre, avec arc doubleau intermédiaire. (En coupe. Fig. 74.) Marche à suivre. — 1° Tracer en d gi mi Ai comme ci-dessus (§ 33) l'ombre de la niche, savoir : de a en gi , tracer un arc d'ellipse dont le petit axe o z soit le tiers du grand axe oa, prendre Ai sur l'axe, à 45° avec À. — Enfin relier Ai avec gi par un arc de courbe tangent en gi à l'ellipse a gi et tangent en Ai à la génératrice centrale Ai L)i . 2° Ressaut de l'ombre en h m sur le doubleau. — A cet effet, imaginer que l'on a fait une coupe par le plan de profil Fig. 74 A A" et que cette coupe a été rabattue sur la gauche ; le cercle kg k" est le rabattement du méridien de pi'ofil de la sphère et B fB" est le rabattement du cercle de base du doubleau. L'arc d'ellipse A fK (en A tangente à 45°, en K tangente verticale) est l'ombre portée connue du cercle A F A" sur le plan de profil ; cet arc d'ellipse rencontre en fie cercle du doubleau ; f, rappelé en ft , donne en ce point fi le départ du ressaut. Pour en avoir l'arrivée m, on cherchera comme ci-dessus ( ombre du listel en creux) l'ombre m di S Ai du doubleau sur le cylindre, et le point de brisure nu, remonté en m, donnera le point d'arrivée du ressaut de l'ombre. Le reste de l'ombre Bi Ci Di, etc.... a été étudié précédemment (ombre du listel en creux). § 36. — Mêmes voûtes. — L'arc doubleau précède la voûte sphérique. 1" Chercher en M S comme à l'ordinaire (ombre du pont) l'arc d'ellipse M S ombre intérieure du doubleau (fig. 73). 2° En WZ on a l'ellipse d'ombre de l'écuelle ; le petit petit axe OZ est le tiers du grand axe O W. Elle est bonne seulement jusqu'en Ai, ombre portée par le point A. 3° La ligne droite verticale de coupe ACD B, en la supposant non interrompue entre C et D, donnerait comme ombre 4 i �— 26 — dans la sphère une ellipse AW'B, qui ne serait autre chose que la section de la sphère par un plan vertical orienté à 45° et fis75 passant par son centre. D'où l'on conclut que W est à plomb du point à 43° W. • Vérification. — Ai déjà trouvé ci-dessus doit aussi se trouver sur cette ellipse. Elle est à conserver, d'une part, entre Ai et le point Ci , ombre du point C, et, d'autre part, à la partie inférieure, entre B et Di , ombre du point D. 4° La droite horizontale de coupe E G supposée indéfinie donnerait comme ombre une ellipse aJCiô', projection du cercle à 43°, suivant lequel le plan d'ombre de cette droite couperait la sphère. — Ce plan d'ombre est parallèle à la ligne de terre et incliné à 45° sur les deux plans de projection. — On démontrera facilement : (a) Que cette ellipse est tangente au méridien de front de la sphère au point a où la droite E C prolongée rencontre ce méridien ; (6) Que si on mène C S, incliné à 45°, le point S, rappelé en S' sûr C D, donne* en S 8 ' le demi-petit axe de l'ellipse ; (c) Que si l'on abaisse 01 perpendiculaire sur C 8, le grand axe est la droite horizontale SU et, de plus, le demi-grand axe SJ est égal à 18. J? '^V^>^ (d) Vérification. — Cette ellipse doit passer par le point Ci déjà obtenu. — On ne garde de cette ellipse que l'arc Ci Ei, le point Ei étant l'ombre du point E. S0 Ombre du doubleau sur la sphère. — Le point Vi le plus à gauche est obtenu par le rayon q> comme il a été indiqué pour d'autres cas. L'ombre du cercle de profil D C, passe donc par les points suivants, savoir : Di (déjà trouvé avec tangente à 43°), Vi déjà trouvé (avec tangente verticale) et Ci déjà trouvé (avec tangente à 43°). Il serait bon d'en avoir un point intermédiaire, par exemple le point Ni ombre portée par le point N située sur la génératrice MN d'ombre propre, virtuelle, du doubleau ; à cet effet : Cherchons l'ombre portée sur la sphère par la droite horizontale M N. Ce sera comme pour la droite horizontale EC, une ellipse à 43°. Le point a' situé sur la droite MN prolongée et à plomb du point a, déjà trouvé, est un point de cette ellipse ; car c'est le point où la droite MN perce la sphère. On le reconnaît en remarquant que si l'on déplaçait parallèlement à lui-même le cercle de profil CD, jusqu'à ce que G prenne la position a, le cercle CD ainsi déplacé serait tout entier sur la sphère : donc le point N prendrait la position a'. Ni' sera le demi-grand axe de l'ellipse cherchée et, comme elle doit être semblable à l'ellipse déjà trouvée J 8 ', on aura en K l'extrémité du petit axe. D'ailleurs a' K serait inclinée à l'angle 9 (facile à démontrer'. Cette ellipse une fois tracée, on ■en déduit en Ni et Mi les ombres des points N et M : de plus les ombres définitives du doubleau Si Ni Ci et Mi Si Ei sont tangentes à cette ellipse auxiliaire. Nota. — Observer la concordance à 43° du point limite S et du point de brisure Si. § 37. — Ombres d'une voûte sphérique sur pendentifs, avec arcs doubleaux (fig. 76). 1° Constitution de la voûte. — Imaginons une demi-sphère dont l'équateur passerait par les quatre sommets C Ci Ci d'un carré horizontal (voir le plan). Coupons cette sphère par quatre plans verticaux passant par les quatre côtés Ci C — G Ci, etc , du carré ; ce qui donne quatre petits cercles de la sphère. On peut prendre ces petits cercles pour bases de quatre cylindres, ou berceaux horizontaux, auxquels la sphère sert de jonction. On nomme pendentifs les triangles sphériqûes qui aboutissent en pointe aux encoignures G Ci.... et par l'intermédiaire desquels la voûte repose sur ses points d'appui. Au-dessus des pendentifs se trouve la coupole coW (voir la coupe) ayant la forme d'une calotte sphérique. Les berceaux peuvent être renforcés par des doubleaux à leur jonction avec la sphère. 2° Ombres de la coupe. — Nous supposons que le doubleau du fond est un formeret, c'est-à-dire qu'il est encastré à moitié dans un mur plein L L (voir le plan). Les trois autres doubleaux sont ouverts. (a) On trouve comme à l'ordinaire, par la connaissance des saillies, l'ombre O'i du centre 0 sur le plan Ci C2 du �— 27 - formeret et en O'â l'ombre de ce même centre sur le plan L L du mur de fond. De ces points, comme centre, avec un rayon ■ Fig. 76 égal à 0' b on décrit les deux arcs de cercle 1, 2 et 3, 4.. (b) On a en K' a ' V ï l'ombre connue de l'arcade en. • coupe. (c) En v K, l'ombre du pont. (d) En WZ ' l'ombre del'écuelle ; comme vérification lepoint 4 est commun à l'ellipse WZ ' et à l'arc de cercle 3, 4. 3° Ombres du plan. — On remarquera d'abord que la diagonale à 43°, CC2 sera une ligne de symétrie pour l'ombre. On cherchera donc seulement la portion de l'ombre située d'un côté de cette diagonale, par exemple au-dessous et à droite. Gela posé : (a) On cherche l'ombre de là ligne droite de coupe CGi supposée non rompue de b on b\. C'est une ellipsepassant par les points suivants : Ci (tangente à 43", car Ci est le point de tangence à 43° de l'équateur, contour apparent horizontal de la sphère.) W, placé dans l'axe. C', ombre du point C situé sur la diagonale CC2 et pour lequel OC '— ~ 0 C2 (voir ombre de l'écuelle). Cette ellipsen'est à conserver qu'entre G ' et b ' ; b ' est à 43° avec le point b dont il est l'ombre. (b) On cherche l'ombre portée par la ligne droite de coupe b a supposée indéfinie. C'est encore un arc d'ellipse Vf' dont on a déjà un point b ', obtenu ci-dessus. Le point f, extrémité de son petit axe, est à plomb de F2 ; obtenu comme suit : pFa est à 43° et (5 est à plomb de b (ce tracé est facile à justifier en considérant p¥2 comme la trace, sur un plani vertical, du plan d'ombre de la droite indéfinie h. bp); en f la tangente à l'arc d'ellipse b'a'f est verticale : cet arc est donc connu ; il est à conserver seulement entre b ' ombredu point b et a ' ombre du point a. (c) On cherche l'ombre b ' K' n ' bz portée par le premier arc CCi du doubleau. On a en b' déjà trouvé, son point de départ avec tangente à 43°. En n', obtenu par l'angle cp, le point le plus près. On trouverait facilement un point intermédiaire. On fait ressauter le point limite k de l'ombre du pont Vfc, en K', ce qui donne le point de brisure. L'ombre du te à 43°, et aboutit en K ' point de brisure que nous venons de Coupe deuxième arc a ai part du point a ' , déjà trouvé, avec tangi déterminer, ce qui suffit pour la tracer. �CHAPITRE VIII APPLICATIONS DIVERSES § 38. — Chapiteau dorique (fig. 77). (a) TALON DU TAILLOIR. — (Aucune difficulté, voir ombres portées sur les moulures cylindriques.) (b) ÉCHINE. — C'est une portion de tore dont la méridienne n'est pas un arc de cercle, mais la courbe connue du quart de rond. Le profil s'en trace à la main. On cherche : 1° Son ombre- propre savoir : Le point F situé à 45° sur l'équateur (tracé connu). Le point B sur le contour apparent de gauche (tangente à 45°) et le point B' sur lë méridien de profil et au même niveau que B. Le point le plus bas C en menant la tangente à l'angle <p, et ramenant le point de contact C en C. 2° L'ombre auxiliaire portée par le tore sur le plan fuyant à 43° (tracé connu). On voit la partie utile de cette ombre auxiliaire en F (tangente verticale), Bg (tangente à 45°), cp (tangente horizontale) ; nous nommerons cette courbe la courbe ovale de l'échiné. (c) OMBRE DU TAILLOIR A A', SUR LE TORE. — Cette droite porte ombre sur le plan auxiliaire fuyant, suivant la droite à 43°, A'I qui va servir. L'ombre portée par A A' sur l'échiné n'est autre chose qu'une section de ce tore par un plan passant par A A', incliné à 45° et parallèle à la ligne de terre. Si ce plan tournait de 45° autour de l'axe du chapiteau il deviendrait perpendiculaire au plan vertical de projection et y serait projeté en entier suivant sa trace AI qui serait l'ombre de l'arête projetée toute entière au point A de gauche. Faisons faire une rotation de 90° à cette section projetée suivant la droite AI et nous aurons l'ombre cherchée pp" M'P'. On aura le point le plus haut M', en ramenant le point M sur l'axe. Pour obtenir les autres points, appliquons la méthode des projections obliques et servons-nous du plan auxiliaire fuyant à 45°, de la manière suivante : Les deux points de perte P' et p s'obtiennent en prenant les intersections P'3 et P3 de la droite A' I ombre auxiliaire de l'arête A A' et de la courbe ovale F B2 a>, ombre auxiliaire de l'échiné et remontant par des rayons lumineux inverses, aux points p et P' sur la séparatrice du tore. (Enp et P', tangentes à 43°). Remarque. — 1° Par raison de symétrie le point P' reporté symétriquement enp" donne un autre point de la courbe d'ombre portée ; 2° l'arête du tailloir projetée en A a son ombre Mg, qui rencontre en g la séparatrice. Les deux points p et g doivent être au même niveau. (d) OMBRE DU TAILLOIR SUR LE GORGERIN ET SUR L'ANNELET. — "Du point I comme centre avec un premier rayon égal à celui du gorgerin on trace un arc de cercle A2 gi , c'est l'ombre indéfinie du tailloir sur le gorgerin. On prend un rayon égal à celui de l'annelet et, du même centre I un nouvel arc de cercle gi pi. donne l'ombre portée sur cet annelet. On limite cette dernière en p% qui est le ressaut du point de perte p. De même gi ressaute en gz. ie) OMBRE DE L'ÉCHINÉ SUR L'ANNELET, SUR LE GORGERIN ET SUR L'ASTRAGALE. 1° Sur l'annelet.—p% déjà obtenu en est un point. Le point limite h' s'obtient en traçant en KI13 le cercle d'ombre portée par la base de l'annelet sur le plan fuyant à 45°. (On sait que c'est le cercle qui passe par le point à 45°, k, du cercle de base de l'annelet, prenant son intersection h% avec la courbe ovale Ftp et remontant par un rayon inverse. 2° Sur le gorgerin. — On chercherait d'abord comme on l'a vu plus haut l'ombré g± ht n du listel sur le gorgerin ( en serait le point de perte). On fait ressauter gi en g-z et lu en h® sur cette courbe, qui n'est à conserver qu'entre g% et h% et, à gauche, au-delà de l'ombre à 43°, g A2. A partir de l'échiné substitue son ombre ht a- à celle de l'annelet. Le point de perte, avec tangence à 43°, est en a, au point où la courbe ovale Fœ rencontre la séparatrice du gorgerin. La tangente y est à 43°, ce qui suffit TT TC<7 pour tracer la courbe de ht en a. �— 29 — 3° Sur l'astragale. — On cherche en aOi la courbe ovale de l'astragale. (On sait que sans erreur sensible on peut lui Fig. 77 "1 Talon du TailloiT . Tailloir AU Anne/et Î l Astragsh et j son filet i \ \ \ \ s \ v * \ \ \ ', ■ ' \ ^ï N \ \ l substituer un arc de cercle de centre w.) On prend son intersection Oi avec la courbe ovale de l'échiné et on en déduit en G' le point de perte dans l'astragale, ce qui suffit pour tracer l'ombre portée ci 0' ; en 0' la tangente est à 45°. Le reste de l'épure se comprend facilement. �— 30 — (f) OMBRES DES CANNELURES. — Pour trouver les ombres portées dans les cannelures on a dû faire une section horizontale du fût. Elle est.rabattue en /31M; en réalité elle remplace un plan. On remarcmera la construction donnée pour avoir en y'2/ la tangente au point de brisure 2' de l'ombre portée par la courbe de tête 1 '5 ' sur le fond de la cannelure. On reconnaîtra que la droite 2 'y ' n'est autre chose que l'ombre portée par la tangente 1 'y' à la courbe de tête au point 1 ', sur le plan tangent 2y au cylindre creux qui constitue la cannelure. § 39. — Ombres d'une colonne dorique engagée dans un mur. On suppose (fig. 78) que la colonne est engagée au'tiers de son diamètre, ou, ce qui revient au même, que l'axe de la colonne est à une distance 8 du mur égale au tiers du rayon. 1° OMBRES PROPRES DU CHAPITEAU. (Voir l'épure précédente) ; 2° OMBRES PORTÉES SUR LE MUR. (a) L'ombre propre du fût de la colonne étant à une distance de l'axe x — ft_ son ombre se trouve à une distance x + 8. (b) Le tailloir ayant pour demi-largeur y, son ombre Ai se trouve à une distance à droite du point A égale à y -f- 8. (c) L'astragale donne une ombre portée assez développée gi mi Si. Soit y la saillie de l'astragale par rapport au fût de la colonne ; l'ombre portée de l'astragale fait par rapport à l'ombre portée du fût une saillie égale à y , soit sensiblement l,4y. Le point le plus à droite nu est l'ombre portée par le point m de l'ombre propre del'astragale situé sur l'équateur. (d) L'échine donnerait une ombre portée dont on a facilement le point de brisure p\ (à 45° avec le point de perte p) et le point le plus à droite m. On ne conserve, comme réelle, qu'une très petite partie p\ g\ de cette ombre portée. p\ répond au point de perte p de l'échine et g\ répond au point de perte g de l'astragale. Neuvième Leçon. fcj 40. — Ombres d'un fronton. (a) DESCRIPTION (fig. 79). — On sait que les moulures d'un fronton s'obtiennent en prenant les moulures horizontales de la corniche et en les inclinant à la pente Coupe Z Z du fronton. La doucine ne règne que sur les rampants. Le retournement se fait sur le filet inférieur de la doucine. La partie horizontale de la corniche comporte toutes les moulures du couronnement, sauf la douDoacine filet cine. Lsrmi Au point de vue géométrique nous considérerons les deux rampants comme deux cylindres- �— 31 — ayant pour base commune la section oblique faite dans chacun d'eux par le plan vertical de coupe ZZ. La coupe ZZ dessinée à droite donne le profil de cette section. Cette section oblique présente les mêmes saillies que la section droite donnée par le plan de coupe ZZ dans la partie horizontale ; mais les hauFig. EO teurs sont plus grandes. On peut la considérer comme une dilatation, en hauteur, de la section droite située au-dessous. (b) OMBRES. — On considère donc les rampants comme formant deux G *: cylindres inclinés, ayant pour base la section oblique faite parle plan ZZ vertical et on cherche d'abord (fig. 80) les ombres que porteraient sur le plan de cette section oblique une génératrice B A du cylindre de droite et une B C prolongée en BG du cylindre de gauche. .. La figure 80 indique cette recherche. Le point A a' de l'arête de droite porte ombre en a-z, rabattu en A2 et BA2 est l'ombre de cette arête de droite; de même BGî est l'ombre de l'arête de gauche. Il est facile de reconnaître que si le rampant du fronton est incliné à la "ïi% * * pente — (m de hauteur pour «de base), l'ombre du rampant de gauche BA2 est mm On se sert de ces directions B A2 à 43° pour les moulures horizontales. On voit (fig. 81) à plus grande échelle le détail des ombres portées aux environs du sommet D. Les points marqués d\di' et nin'\ servent de départ aux ombres Fis- SI portées sur le rampant de droite ; on s'est servi n—m pour les obtenir du rayon incliné à ■ Les m points marqués dtd'z et >i> n'-z s'appliquent au rampant de gauche. On s'est servi, pour eux, du . .. , , n'+m . rayon incline a ■m Les points de brisure D3 N3 sont à 43° avec les points de retournement D N. De D3 en ck nous avons une courbe qui est l'ombre portée par la portion Bf de l'arête de la doucine de gauche, sur la"1 doucine de droite ; c'est donc, en réalité, une section plane de la doucine de droite. La différence de pente des rayons B Ag et B G2 fait bien comprendre pourquoi le rampant de droite est beaucoup moins •ombré que celui de gauche. § 41. — Ombres d'une base attique (fig. 82). I™ partie. — Recherche des ombres propres. 1° a b est l'ombre propre du fût ; b\i est l'ombre propre du congé ; le point [3 est le point où le rayon à 45° est tangent au contour apparent du congé. Cette ombre propre est virtuelle dans la plus grande partie de son étendue ; c est l'ombre propre du grand listel (voir Ombres des cylindres). 2° K'V'Khg', ombre propre du petit tore (voir Ombres du tore). L'ombre propre du listel n° 1 est inutile à chercher, elle sera noyée. 3° q, ombre propre du listel n° 2 (voir Ombres des cijlindres). 4° aSrSi, ombre propre du grand tore. 2e partie. — Les ombres portées. (A) OMBRES AUXILIAIRES PORTÉES SUR UN PLAN FUYANT A 45° PAR LES LIGNES OUI PORTERONT ou RECEVRONT DES OMBRES. 1° Tous les listels et le fût ont pour ombres portées auxiliaires leurs ombres propres elles-mêmes. 2° Les cercles de base des listels donnent comme ombres auxiliaires des cercles passant par leurs points à 45°, savoir : inclinée à n -\-.m de hauteur pour, m de base, tandis que l'ombre BG2 du rampant de droite est inclinée à n — m de hauteur pour m de base. pour le rampant de gauche, et B G2 pour celui de droite, comme on se sert du rayon �— 32 (a) Le cercle du listel C donne l'arc de cercle c fe. (b). Le cercle P du listel P Q donne l'arc de cercle q P3. 3° Le petit tore donne la courbe ovale «pi fecp obtenue comme il a été indiqué plus haut (ombre de l'astragale) ; le grand tore donne la courbe Fi8-82 ovale rS dont nous ne traçons que la partie ■ supérieure. (B) OMBRES PORTÉES.— Les recoupements des ombres auxiliaires permettent de déterminer les ombres portées.Ainsi: Le cercle auxiliaire cfi recoupe en fs l'ombre Grand Listel \ propre du fût. Le rayon lumineux fzf' donne en L Listel /?-°7 Jp /" un point limite d'ombre portée dû fût sur le Scotie cercle C. L'ombre resListel n°-9± saute ensuite de f' en f" sur le petit tore. La courbe ovale ho du petit tore recoupe en </3 l'ombre propre du fût. Le rayon lumineux §3 g' donne en g ' le point de perte de l'ombre portée du fût sur le petit tore. De même : l'ombre auxiliaire qV% du cercle P rencontre en P3 la courbe ovale oiho du petit tore ; par conséquent, le rayon P3P2 donne alors en P2 le point limite d'ombre portée par le petit tore sur le cercle P. L'ombre ressaute ensuite de P2 en Pi sur le grand tore. Les deux courbes ovales oiho et S r se rencontrent en S ; par suite, le rayon S Si donne en Si le point de perte de l'ombre portée par le petit-tore sur l'ombre propre du grand tore, etc. Dixième Leçon. g 42. — Ombre d'un chapiteau ionique grec. — Dessin du chapiteau (fig. 83). Un chapiteau ionique grec, analogue à celui de l'Erecthéïon à Athènes, se compose en réalité de deux parties, savoir : 1° Un gorgerin et une échine comme dans le chapiteau dorique; 2° Un coussinet remplaçant le tailloir du chapiteau dorique, lequel coussinet, comprenant Yabaque et les volutes, s'emboîte très exactement sur l'échine grâce aux deux saillies débordantes constituées par les volutes. Une rondelle, affectant la forme d'un tore et analogue aux coussins en paille dont se servent les bardeurs pour empêcher les arêtes des pierres de taille de s'écraser, sépare les deux parties : en réalité cette rondelle fait corps avec le coussinet et est sculptée dans la même pierre que lui. Sans entrer dans le détail du tracé exact de ce chapiteau nous admettrons : 1° Que sa hauteur Di Z est donnée en traçant sur le diamètre du fût un triangle équilatéral; 2° Que les moulures, savoir : le quart de rond de l'abaque; le quart de rond de l'échine, le boudin inférieur et la rondelle supérieure s'étagent sur des lignes inclinées à 60°. (Voir le profil JE a donné à droite en pointillé ; voir aussi la coupe, figure 84) ; 3° Que la hauteur totale du chapiteau a été divisée en 11 parties égales, et que la volute occupe, en hauteur, neuf de ces parties ; 4° Que le centre 0 de l'oeil de la volute partage la hauteur de ces neuf parties en deux segments qui sont entre eux comme les nombres 2 et 3 ; �— 33 — 5° Que les directrices OX et OY des volutes sont à angle droit, l'une sur l'autre, ce qui permet, en se servant dtangentes horizontales et verticales, de tracer ces volutes soit à la main, soit au compas ; Fig. S3 6° Que le plan des volutes fait en ayant du nu de la colonne une saillie e (voir le plan) égale à une de ces parties, soit à 1/9 de la hauteur des volutes, c'est-à-dire une saillie égale à la hauteur de l'abaque. 5 �— § 43. — Tracé des ombres. (A) OMBRES DES VOLUTES SUR LE FUT. 34 — . . On commence par supposer que le fût existe seul, et on ne tient compte ni des cannelures ni de l'échine. L'ombre portée sur le fût lisse est la courbe fi ci b\ ai , obtenue rapidement comme suit : 1° La tangente horizontale g'b' a donné, comme ombre, le cercle g'i b'i dont le centre est I (voir ombre du tailloir) trouvé à priori, puisque l'on connaît la saillie e (voir le plan) du nu des volutes en avant du nu de la colonne, ce qui donne immédiatement le point Di le plus haut de ce cercle d'ombre-; Fig. Si 2° Les points d'angle g' et b' et les points /' et c' projetés à 45° sur ce cercle permettent de trouver les ombres des points les plus importants de la volute, savoir : /' en fi (tangente à 45°, point de contour apparent) ; d en di (la courbe et le cercle y ont même tangente) ; c en a , b en bi (tangente verticale), et a en ai (tangente à 45°, autre point de contour Apparent). On gardera cette courbe partout où le fût subsiste et on la fera ressauter, tout à l'heure, quand on aura déterminé les ombres propres et portées des autres surfaces, telles que : rondelle, échine, boudin et astragale. (B) OMBRES DES SURFACES DE RÉVOLUTION. Il n'y a rien de nouveau à dire à ce sujet. i° On déterminera les ombres propres de tous les tores et du fût ; 2 ' On tracera les courbes ovales des différents tores (ombres portées de ces tores sur le mur fuyant à 45°), savoir : Vife, courbe ovale de la rondelle ; Y 'k g, courbe ovale de l'échine ; V"//'S;s, courbe ovale du boudin ; on sait que pour les tores larges et de faible hauteur, on peut substituer sans erreur sensible à cette courbe ovale un arc de cercle (voir plus haut, ombre de l'astragale) ; 3° On en déduira, en remontant par des rayons lumineux inverses, en h et en S les points de perte (tangentes à 45°) et, du même coup, le point de brisure Si ; 4° On fera ressauter ensuite l'ombre de la volute sur l'astragale, sur le boudin, sur l'échine et sur la rondelle, en observant toujours de mettre un point limite, tel que 1 sur l'astragale, ou un I) point do perte, tel que w sur l'échine, sur la même ligne à 45° que le point de brisure correspondant. Ce ressaut se tracera surtout au sentiment. (C) OMBRES DES CANNELURES. 1° La cannelure centrale A donne l'ombre de la niche traitée plus haut. On se rappelle que le point de départ n répond au point où le rayon lumineux est tangent au quart de sphère qui constitue le plafond de la cannelure et que le point de raccordement I ' se trouve sur l'ombre portée par l'arête de gauche h h' de la cannelure. Sur les autres cannelures le tracé se fera comme suit : 2° Le plan permet de trouver en 1", 1", 1", les ombres portées par les arêtes de gauche h, h.. . . sur le fond des cannelures ; ce qui donne, en élévation, tous les points de raccordement 1 ', 1 ', 1 ', 1 '.. . 3° Les points de départ n, S, S, m ne se trouvent pas tous très facilement comme le point n de la cannelure centrale en menant des tangentes à 45°, aux ellipses projections verticales des cercles de couronnement. Mais on peut immédiatement trouver 4 de ces points de départ, savoir : (a) Sur la cannelure W W, à 45° en pleine lumière, le point d'origine est en k à la naissancè de l'ellipse ; car le petit cylindre qui serait circonscrit à la sphère du plafond, tout le long du cercle de couronnement, serait un cylindre horizontal à 45% parallèle, en plan, à la projection horizontale des rayons lumineux, et son ombre propre passerait par les points de naissance k, k..... (b) Sur l'autre cannelure de droite Y, à 45° dans l'ombre, le cylindre analogue serait perpendiculaire, en plan, au rayon lumineux, et son ombre propre s'obtiendrait en menant en m, une tangente à l'angle cp, à son cercle de base rabattu, ou, ce qui revient au même, une tangente à 45°, à l'ellipse 1, m,projection verticale de ce cercle de base. (c) Sur la cannelure centrale le point n répond au point de tangence à 43° (ombre de la niche). (b) Surladernière cannelure dedroiteB,parraisondesymétrie, lepoint»i'estauniveaudupoint?idela cannelure centrale. Cela donne donc quatre points de départ v, n, m et n' obtenus immédiatement. On joint ces quatre points par une courbe continue, ce qui donne, par recoupements avec les autres ellipses, les autres points de départ S, 8, 8 Le reste de l'épure s'achève facilement. (D) Nota. — Pour ne pas compliquer l'épure on n'y a pas indiqué l'ombre portée par les spires de la volute sur les �— 35 — parties en creux qui séparent ces spires. Pour tracer cette ombre, on supposera, dans une première approximation, que le fond de ces parties en creux est plan, ce qui conduira à chercher l'ombre d'une figure de front sur un plan de front. Cette ombre reproduira exactement la figure elle-même. On pourra donc décalquer la volute, et en la transportant à 43°, à droiteet en dessous de la longueur.voulue, la reproduire rapidement sur le fond. Après quoi, au sentiment, car ici la géométrie ne peut plus servir, on fera s'éloigner ou se rapprocher les points de cette ombre préalable, suivant que le fond réel sera plus près ou plus loin que le fond plan considéré en premier lieu et provisoirement. § 44. — Chapiteau corinthien (fig. 85). L'ombre du chapiteau corinthien ne peut pas être trouvée d'une manière réellement simple, à cause des feuilles qui ornent la corbeille ; mais il est possible, en ne considérant que Lépannelage des feuilles, de déterminer les grandes masses des ombres ; le détail se trace ensuite au sentiment. 1° Ombre de l'abaque sur luimême. — On pourrait, à la rigueur,, traiter l'ombre de l'abaque comme celle d'un listel en creux, mais il est préférable de se servir du plan. On obtiendra des points de l'ombre portée comme il est indiqué pour le point 55' portant ombre en 5i o'i. 2° Ombre de l'abaque sur la corbeille. — Le point A Ai, qui est dans le méridien de symétrie à 45°,. donne une ombre portée A'3 , obtenue par la méthode des plans sécants et par l'emploi de l'angle tp rabattu (voir A'i A'2 ramené eu A'A-3). . ■ Pour avoir les points limites a'i et S'i sur le cercle 4 qui forme rebord dé la corbeille, on emploie la méthode des projections obliques appliquée en prenant comme plan d'ombres portées le plan horizontal de la courbe y.' %'. A cet effet, lecercle 4 qui constitue le rebord de la corbeille est relevé par un rayon lumineux inverse à 45° sur le plan de la courbe a ' 8 ' de l'abaque ; l'opération se fait sur le plan. On relève à 45° 0 en Oi ; on décrit de Oi comme centre un cercle égal au cercle 4 et qui recoupe en a et (5 l'arc de cercle inférieur de l'abaque ;: on rappelle a et 8 en a ' et (5 ' sur l'élévation et on en déduit, par les rayons à 45", les points cherchés 0.1' et S'i. 3° Ombre de l'épannelage des Abacrus �— 36 — feuilles. — Cette ombre est tout à fait analogue à l'ombre de l'astragale, traitée dans les leçons précédentes ; on en obtient rapidement les points les plus hauts Qi ou Mi et les points de perte 81 et 82. Une fois ces masses d'ombres déterminées, on peut, en dessinant les feuilles dans leur épannelage, être fixé sur des points tels que Qi , Mi ou Pi appartenant réellement à l'ombre portée des feuilles; le reste s'achève au sentiment ; mais pour réussir dans ce dessin de sentiment, il est indispensable d'avoir copié et ombré d'après nature un certain nombre de chapiteaux de ce genre, en les éclairant par une lumière dont la direction se rapprochera autant que possible de celle des rayons usuels à 45°. PIN DES OMBRES USUELLES �DEUXIÈME PARTIE PERSPECTIVE LINÉAIRE TITRE PREMIER PERSPECTIVE DES PLANS CHAPITRE PREMIER GÉNÉRALITÉS Perspective. § 45. — Introduction. On se propose, dans les leçons qui vont suivre, d'exposer les principes essentiels de la perspective géométrique (perspective des architectes) et d'en dégager les constructions et les tracés applicables à la perspective d'observation (perspective des peintres). Dans une première série d'études, on s'occupera donc du trait perspectif, c'est-à-dire de l'ensemble des constructions qui permettent de déduire un tableau perspectif, d'une épure géomélrale sur laquelle sont indiquées, en grandeur naturelle ou à une échelle donnée, les dimensions des objets à représenter et les positions relatives du tableau, du spectateur et de ces objets. On insistera surtout sur le choix des méthodes et sur la différence à faire entre le trait de la perspective et le trait de la géométrie descriptive. Dans une autre série on dégagera des tracés indiqués dans la première, ceux que le dessinateur a besoin de connaître, pour assurer son dessin. On indiquera la part qu'il convient de faire à l'observation directe des objets à représenter, et on précisera le moment où l'observation directe devient inutile et doit céder le pas au tracé perspectif proprement dit. § 46. — Objet de la perspective. La perspective a pour but de représenter sur un tableau les objets tels qu'on les voit. 86) A cet effet: soit 0 (fig. l'œil du spectateur que nous supposerons réduit à son centre optique, c'est-à-dire à un �point, que l'on nomme le point de vue ; soit T un tableau que nous supposerons plan et vertical et que nous ferons bien d'assimiler, comme l'indique Léonard de Vinci, à une vitre transFi 86 parente au travers de laquelle nous apercevrions les objets à représenter. Soit enfin ABC un objet, un triangle par exemple, à mettre en perspective. Les rayons visuels OA, OB, OC sont des lignes droites. On les mènera et il est évident que, si l'on prend en a, b, c les intersections.de ces droites avec le tableau, les points du tableau ainsi toint obtenus en a, b, c, se superposeront, en apparence pour le spectateur 0, avec les points A, B et C de l'espace ; ils en constitueront comme un décalque. En regardant a, b et c, on croira voir A, B et C ; par conséquent la figure a, b, c sera bien la perspective de la figure ABC. Au point de vue géométrique le problème de la perspective revient donc à mener dans l'espace des lignes droites qui, des divers points des objets, convergent au point de vue, et à prendre les intersections de ces droites avec le plan du tableau. On pourrait appliquer les méthodes de la géométrie descriptive à la solution de ce problème. Voici la marche à suivre : Dans une première partie des opérations on figurerait en projections horizontale et verticale : 1° l'objet à représenter, 2° le tableau, 3° le point de vue. Dans une seconde partie on mènerait tous les rayons visuels et on en chercherait les intersections avec le tableau. Dans une troisième partie, on ferait le rabattement de ce tableau pour avoir en vraie grandeur la figure obtenue à sa surface, et enfin, le plus ordinairement, comme cela donnerait un dessin très petit, on serait, en outre, obligé de faire une amplification déterminée pour amener le dessin à s'inscrire dans un cadre donné. Ces constructions seraient longues et compliquées. Elles auraient en outre pour inconvénient d'exiger beaucoup plus de place que n'en comporte le tableau et aussi de ne pas faire image ; elles seraient purement géométriques. Aussi ne sont-elles pas employées si ce n'est pour des cas exceptionnels ; elles ne constituent pas le trait perspectif. § 47. — Esprit des méthodes. Le véritable trait perspectif peut être caractérisé de la manière suivante : (a) 11 doit permettre d'opérer dans l'intérieur du tableau ou du moins, sans en sortir beaucoup. (b) Il doit toujours faire image, ce qui veut dire : que les lignes de construction exécutées sur ce tableau doivent être les perspectives de lignes de l'espace, que le perspecteur doit bien se figurer et voir, et non des lignes purement géométriques tracées sur un plan, comme elles le seraient pour un problème de géométrie plane. (c) Il doit permettre de'tirer directement d'une épure géométrale, ordinairement à petite échelle, sans amplification à faire a posteriori, un tableau perspectif d'une grandeur quelconque. {d) Il doit disposer de méthodes pour mettre en place, d'après l'épure géométrale, les grandes lignes, c'est-à-dire ce que les peintres nomment l'ensemble de la perspective ; et avoir d'autres méthodes pour dessiner ensuite les détails, en s'appuyant sur l'ensemble précédemment déterminé. Les premières méthodes sont dites de perspective générale ; les secondes sont dites de perspective directe ou immédiate. De cette façon, les détails étant, en chaque point, dessinés en s'appuyant sur les figures d'ensemble tracées aux environs de ces points, il résultera plus d'homogénéité dans les erreurs inévitablement commises, ce qui les rendra moins choquantes et, par conséquent, plus acceptables. Ce sont surtout ces méthodes de perspective directe que le peintre ou celui qui dessine d'après un modèle en relief, doit connaître, puisque la mise en place de l'ensemble lui sera fournie par l'observation directe de son modèle, et, bien entendu, sans avoir recours à une épure géométrale. § 48. — Définitions. La figure 87 permet de résumer les principales définitions. Le tableau est en général plan et vertical (1). (1) Dans les panoramas le tableau est cylindrique. Des obstacles adroitement dissimules obligent le spectateur à se tenir aux environs de l'axe du cylindre, c'est-à-dire aux environs du point de vue pour lequel le panorama a été fait. De cette façon l'illusion est aussi complète que possible. Dans d'autres cas, le tableau est sphérique : c'est ce qui a lieu pour d,cs. décorations de coupoles. Le tableau, tout en étant plan, peut être horizontal i c'est ce qui a lieu pour un plafond. On a, dans ce cas, ce que l'on nomme une perspective plafond. �— 39 — Le plan horizontal sur lequel il est supposé reposer par sa base XY, se nomme le géométral. On distingue la base du tableau ou ligne de terre X Y, le côté gauche Fig. S7 et le côté droit du tableau. Espace réel Espace i intermédiaipe Espaci virtuel 4° A / (Pointprincip / Flan. d'horizon • / ■ / / JI <u / H'* •il / Q / a 3 a a S F .t. / & «J / y* 7Ô y /LeGéo•métrai OP. distance principale. Le plan horizontal mené par le point de vue 0, se nomme le plan d'horizon. Il coupe le tableau suivant la droite horizontale HH' qui se nomme la ligne d'horizon. Si du point de vue on abaisse une perpendiculaire OP sur le tableau, le pied P de cette perpendiculaire se nomme le point principal de fuite (1), et la longueur OP mesurée donne la distance principale de l'œil au tableau ou plus simplement la distance principale. Enfin la perpendiculaire Oo abaissée de l'œil sur le géométral donne par sa longueur la hauteur de l'œil ou hauteur d'horizon. Nous nommerons : espace réel, l'espace compris au-delà du tableau du côté opposé au spectateur; Espace intermédiaire, celui qui est compris entre le plan du tableau et le plan de front R du spectateur ; Espace virtuel, celui qui ett situé en arrière du plan de front du spectateur ; Plan neutre, le plan de front qui contient l'œil du spectateur ; Ligne neutre, la ligne suivant laquelle le plan neutre coupe le géométral. § 49. — Coordonnées perspectives d'un point A de l'espace. Pour déterminer la position d'un point A dans l'espace, on se donnera (fig. 88) ses trois coordonnées perspectives qui sont: La largeur, la profondeur et la hauteur de ce point. Fig. SS Projetons A en a, sur le géométral. La longueur de la verticale Au sera la hauteur du point. Imaginons que dans le géométral, par le point X, extrémité de gauche de la base du tableau, nous ayons mené une droite XL oblique ou perpendiculaire sur XY, peu importe. Nous nommerons cette droite une échelle de profondeurs. Si par a, nous menons une droite de front a a',parallèle au tableau, c'està-dire à X Y, a a' sera la largeur du point et a'X ou son égale a a" sera sa profondeur (oblique). Si l'échelle des profondeurs avait été prise perpendiculaire sur XY au lieu d'être oblique, on aurait eu des profondeurs droites au lieu de profondeurs obliques ; et l'on conçoit que si on emploie les profondeurs obliques il faille donner, en plus, l'angle oc, que fait l'échelle des profondeurs avec la ligne de terre, ce qui est inutile avec les profondeurs droites, puisque dans ce cas cet angle a est droit. La mise en perspective d'un point A comprendra toujours les trois opérations suivantes : mise en largeur, mise en profondeur, et mise en hauteur du point. Les deux premières (mise en largeur et en profondeur) se font, en général, en une seule opération et constituent ce que l'on nomme la perspective des plans. § 50. — Ligne droite. Il faut distinguer les droites de front, c'est-à-dire qui sont parallèles au tableau. (Elles peuvent être parallèles au plan ■d'horizon ou inclinées sur lui.) Les droites perpendiculaires au tableau, ou droites principales, et les droites quelconques auxquelles on donne ■quelquefois le nom de droites accidentelles. Laperspective d'une droite AB (fig. 89) de l'espace est une droite ab. Il suffira de deuxpoints pour assurer sa mise en place. Les points les plus importants à considérer dans une droite sont (fig. 89) : 1° sa trace, au tableau T, c'est-à-dire le point •de profondeur nulle ; ce point est, à lui-même, sa propre perspective ; 2° le point situé à l'infini ou point de profondeur infinie. (1) Dans quelques ouvrages on donne improprement au point P le nom de point de vue. Le point de vue est, en réalité, le ■point où l'on se place pour voir; ■c'est le point 0, œil du spectateur. �— 40 — Pour comprendre comment un point situé infiniment loin sur une droite peut avoir une perspective située à distance finie, il suffit de considérer un point quelconque A, de chercher sa perspective a à l'aide du rayon visuel A a, puis de se figurer que le point A s'éloigne indéfiniment sur la droite ; à la limite le rayon visuel 0 a A sera devenu la droite 0/parallèle à la droite A B, et son point {Point de fuite des d'intersection / avec le tableau donnera la perspective du point à l'infini. droitesAB,etCD) Ce point / se nomme le point de fuite de la droite AB. Les considérations qui précèdent montrent : 1° Que si l'on a plusieurs droites AB, CD parallèles dans Point l'espace, leurs perspectives ne sont pas .parallèles, mais qu'elles ont de vue. toutes un même point de fuite /' ; 2° Que ce point de fuite commun s'obtient, une fois pour toutes, en menant par l'œil une droite Of, parallèle à la direction de ces droites, et en prenant son intersection / avec le tableau ; de telle sorte, qu'en perspective, un point de fuite définit une direction. Autant de directions on. pourrait imaginer dans l'espace, autant de points de fuite y répondraient ; 3° Le point de fuite principal P (fig. 87 et 90) est le point de fuite de toutes les droites qui sont perpendiculaires au tableau ; 4° Toutes les directions horizontales auront leurs points de fuite situés sur la ligne d'horizon (fig. 90). Ils seront plus ou moins loin du point principal, suivant que ces Fie. 90 directions s'écarteront plus ou moins de la direction principale. Les directions qui ne sont pas horizontales auront leurs points de fuite soit en Fi au-dessus de l'horizon, si la direction est ascen^ (Point de fuite aérien) dante, soit en Fa au-dessous de l'horizon, si elle est descendante. - . Les peintres disent que le point de fuite Fi est aérien, parce _// \sj<>, Vlan d'horizon que dans un tableau on le trouverait placé dans le ciel, tandis /(Poinlprii ripai) T^'—. queFg est un point de fuite terrestre; il semblerait placé dans le sol. Les points de fuite qui répondent à des directions autres que Araint accidentel) la direction perpendiculaire au tableau prennent, quelquefois, le nom de points accidentels de fuite. (Point défaite Nota. — Nous nommerons (fig. 89) rayon de fuite d'une directerrestre) tion, le rayon visuel tel que 0/, mené par l'œil, parallèlement à cette direction et dont l'intersection avec le tableau donne en f / le point de fuite de la direction donnée. / § 51. — Figures situées dans des plans de front (fig. 91 ). — Échelle d'un plan de front. Prenons une figure tracée dans un plan de front R (un triangle ABC, par exemple). Pour obtenir sa persF g. 9.1 pective, il faudrait imaginer la pyramide OABC forméepar les rayons visuels et la couper par le plan du tableau r qui est parallèle au plan R. La section sera donc un triangle abc ^semblable au triangle ABC et dont les côtés seront parallèles aux siens. A a D'où l'on conclut ce principe très important : A -'' ia.b Principe. — Toute figure de front se perspective semUB" X J blable- et parallèle à elle-même. La perspective abc sera plus petite que la figure de l'espace ABC si cette dernière est, par rapport au spectateur, de l'autre côté du tableau, et d'autant plus petite qu'elle sera plus éloignée. ABC sera dans l'espace QJ\ réel. �— h\ — Elle serait, au contraire, plus grande si la figure ABC de l'espace eût été placée entre le spectateur et le tableau c'est-à-dire dans l'espace intermédiaire. Ce qui caractérisera donc un plan de front ce sera l'échelle à laquelle une figure qui y serait tracée apparaîtrait sur le tableau. De telle sorte que, à tel plan de front répondra l'échelle de 1/10, à tel autre l'échelle de I/o. Nous aurons le plan de front des vraies grandeurs, celui des demi-grandeurs, etc... etc... L'échelle d'un plan de front serait donnée numériquement par le rapport ~ de la distance de l'œil au tableau, à la Fif;. 02 . Fig. 93 ' (aJ.L'épure géométpale b. Le Tableau.. Elévation- distance de l'œil au plan de front considéré. Par exemple, si tel plan de front est 8, 10, 12 fois plus éloigné de l'œil que le 1 1 tableau, son échelle sera ,, -—, c'est-à-dire que toute 10 12 ■ ligure de ce-plan de front apparaîtra sur le tableau 8, 10 ou 12 fois plus petite qu'elle n'est en réalité. On voit combien il serait peu correct, au point de vue de la précision du langage, de demander à quelqu'un de donner la perspective d'un objet en grandeur naturelle. En effet, si telle ligne de l'objet située dans un plan de front donné, se perspective en grandeur naturelle, telle autre qui sera plus près ou plus loin que la précédente doit apparaître plus grande ou plus petite que nature. Pour parler avec précision il faudrait dire : « dans tel plan de front (que l'on aura soin de bien spécifier sur le tableau) les lignes devront être dessinées en grandeur naturelle ».§ 52. — L'épure géométrale et le tableau. Ces généralités posées, abordons la description des méPoint de vue. thodes qui constituent le trait perspectif. Lorsqu'un dessinateur veut exécuter, par les procédés absolument précis, la perspective d'un objet (une croix, par exemple), il commence par faire le relevé géométral (1) de cet objet, ce qui lui permet de le représenter en plan, élévation et, s'il y a lieu, en coupe, à'une échelle déterminée. (1) Voir plus loin le chapitre relatif au dessin d'après nature et au relevé géométral. / �Ce premier dessin constitue ce que nous nommerons l'épure géométrâle, ou plus simplement l'épuré. Le plan nous donne les largeurs et les profondeurs ; l'élévation nous fait connaître surtout les hauteurs. Nous indiquerons sur le plan (fig. 92) la position du tableau. A cet effet nous tracerons en xy la base du tableau ; 0 sera la position de l'œil (1) en plan et en hh' sur l'élévation, nous donnerons la hauteur de l'œil ou hauteur d'horizon. Si nous joignons ox et oy, les deux lignes ainsi menées constituent l'angle optique; elles limitent ce que l'on nomme le champ du tableau, c'est-à-dire ce qui peut être vu, du point 0, sur le tableau (2). Les opérations de la perspective se divisent en deux parties. Dans la première, on cherchera sur le tableau (voir fig. 93) la perspective du plan tout seul. [a'b'Cd' est la perspective du plan abc al.) Dans une seconde partie, on mettra les points en hauteur en s'appuyant sur le plan déjà ■mis en perspective. (Cette mise en hauteur n'est pas réalisée figure 93.) La première partie s'occupe donc de la mise en largeur et en profondeur; c'est la perspective des plans ou perspective du géométral ; la seconde s'occupe de la mise en hauteur, c'est la perspective des élévations. (1) Ordinairement 0 est sur une perpendiculaire élevée au milieu ou aux environs du milieu de xy. (2) On recommande de ne faire cet angle optique ni trop grand ni trop petit, mais d'environ 22 à 2o degrés. Trop grand, l'œil ne jugerait d'un seul regard que l'ensemble des parties situées dans le centre du ,tableau, les côtés lui échapperaient ; trop petit, la perspective se rapprocherait trop d'une projection. En adoptant une distance OP, comprise entre 2 fois et 3 fois la largeur xy, on sera dans de bonnes conditions. Il sera bon, également, de placer le spectateur k une distance de l'objet qui soit comprise entre deux fois et trois fois la plus grande dimension de cet objet. �CHAPITRE II PERSPECTIVE DES PLANS (PERSPECTIVE DU GÉOMÉTRAL). — MÉTHODES DE PERSPECTIVE GÉNÉRALE Perspective. Deuxième Leçon. § 33. — Perspective d'une droite du géométral. Un point pouvant toujours être considéré comme l'intersection de deux droites, on voit que le problème de la mise en perspective d'un point reviendra toujours à la mise en Tableau perspective d'une droite. (a) Mise en perspective d'une droite. — Soit (fig. 94) AB cette droite sur l'épure; XY la base du tableau, 0 la position de l'œil, h sa hauteur. -k h K. f Je donne, à côté de l'épure h géométralé, le tableau en vraie !l U a grandeur (fig. 95 . ! a On a pris : xy (tableau) ^ V n ce a V = X Y (épure). La ligne d'horizon est tracée en h h' à la hauteur de l'œil. Je mets en perspective le point A (trace au tableau de la droite, profondeur nulle) et son point à l'infini, ou point de fuite (profondeur infinie). Le premier a sa perspective en a sur la base du tableau. On a pris xa (tableau) = XA (épure). Pour avoir le point de fuite, je mène (épure) OF parallèle à AB; je prends la trace F de cette droite sur le tableau et je reporte (tableau) F en /'sur la ligne d'horizon. On a /i'f (tableau) — YF (épure). La perspective de la droite est donc «6/ (tableau). Fi°- 93 Fig. 94 [b) Placer un point M sur la droite. — (Epure.) Par M je mène une droite quelconque MN. Je cherche comme ci-dessus sa trace au tableau N, son point de fuite K. Je reporte ces points sur le tableau en n et en k ; la perspective de MN (épure) est la droite mn (tableau) et le croisement de a b et de mn donne en m la perspective du point donné M. Telle est la méthode générale du tracé perspectif. Elle est très simple et nous verrons, cependant, comment il est possible de la simplifier par la connaissance que nous allons faire de ce que l'on nomme les points de distance, principaux ou accidentels, réduits ou non réduits. Cette méthode utilise deux directions AB et MN et, par conséquent, deux points de fuite / et k. C'est pourquoi on lui donne le nom de méthode du double point de fuite (1). § 54. — Droites dans des positions particulières. — Points principaux de distance. Cherchons à mettre en perspective des droites occupant, dans le géométral, des positions particulières. (1) Toutes les méthodes de perspective utiliseront, elles aussi, deux points de fuite. Ces points de fuite porteront, comme on va le voir, le nom de points de distance ; peu importe ; le principe sera le même. En réalité la méthode du double point de fuite est donc la méthode générale de perspective. Il n'y a qu'une méthode que l'on applique par des procédés plus ou moins simples. �\ . (a) DROITES PRINCIPALES, — M — Soit AB (fig. 96) une pareille droite. Je fais la perspective comme tout à l'heure. Le point de fuite Fig. 97 c'est-à-dire perpendiculaires au tableau. Fig. 96 des lignes principales est le point principal de fuite p (tableau). Je porte xc (tableau) iz: XC (épure) et j'ai en cap la perspective deCA. (b) \ < Epure \ AT3=BJf=MB Tableau. / j\ ■à/ — ! * C P i ; ! + ,3) ^Distancep; mcipale P\ DROITES D'ÉGALE RE- SECTION.— On nomme ainsi en oc c z y des droites telles que MA et NA qui recoupent front (BN) et les parties égales les lignes de lignes principales B A. On a sur l'épure : BNzzBAetBM=BA. Pour avoir le point de fuite de la ligne d'égale resection M A, je lui mène une parallèle OD, et la similitude des triangles me donne aussi OPzzPD. + + Le point D (tableau) est le point de fuite des lignes d'égale resection. Pour l'obtenir, il suffit donc de porter sur la ligne d'horizon, à partir du point principal de fuite P, une longueur Fig. 9S PD égale à la distance principale de l'œil, ce'qui fait donner à ce point Je.nom de Il faut donc bien se persuader que le point de distance est un point de fuite point principal de distance. comme un autre, et il serait bon de retenir la définition suivante : Définition. — Le point principal de distance est le point de fuite des lignes d'égale ■resection, c'est-à-dire des droites qui recoupent en parties égales les lignes de front et les fuyantes principales. Il y a le point de distance de droite (c) + D (plus D D) pour les lignes d'égale resection D) de droite, et le point de distance de gauche DROITES DE RESECTION, 1/2, 1/3, 1/4 (moins pour celles de gauche. m/n. — Sur une épure analogue (fig. 98), menons une droite principale AB et une ligne A M, telle que le segment de front BM soit, par exemple, les 2/5 de AB. Nous.nommerons une droite telle que MA une ligne de resection 2/5. J'obtiendrai le point de fuite de la droite M A en lui menant la parallèle et la similitude des triangles m'indique encore que 2/5 de la distance principale. Nous nommerons ce point le point principal de 215 de distance. C'est un point de distance réduite. Il peut y en avoir autant que l'on veut. Ainsi, en portant à droite ou à gauche du point principal 771 11% P PD' OD', — 2/5 PO, c'est-à-dire les une longueur égale aux — de la distance, on aura le point principal de — de distance, ce qui conduit à la définition suivante : m Définition. — Le point — de distance est le point de fuite des lignes de resection m c'est-à-dire des lignes qui interceptent sur des lignes de front et sur des fuyantes principales, des segments qui sont entre eux comme m est à n. m Ce rapport— peut être quelconque 1/2, 1/3, 3/4, etc , voire même être incommensurable. lit �— S 55. 45 — Points de fuite accidentels et points de distance correspondants. Il faut savoir généraliser les notions qui précèdent et les étendre aux directions autres que les directions principales. Soit (fig. 99) en épure : 1° le tableau xy ; 2° une droite quelconque AB ; F est son point de fuite obtenu comme on sait ; 3° MN une droite de front, et, de part et d'autre de B, deux segments MB . et NB, égaux chacun à A B. Nous appellerons aussi les droites telles que MA et NA des lignes d'égale résection, relativement à la direction AB dont le point de fuite est F. On aura le point de fuite 8 de la droite AM en lui menant par l'œil la parallèle 08, ou bien, ce qui reviendra au môme, en portant au compas, à partir du point de fuite f, sur la ligne d'horizon, la distance oblique 0 F mesurée sur l'épure. Ce point S sera le point accidentel de distance répondant à la direction f (c'est-à-dire dont le point de fuite est f), et il jouira des mêmes propriétés que tout à l'heure. Ce sera le point de fuite des droites d'égale resection pouf la direction f, c'est-à-dire des droites qui interceptent sur les lignes de front et sur les fuyantes au point f, des segments égaux. Remarque. — Nous disons la direction /'parce que, en effet, en perspective, une direction est indiquée par son point de fuite. Nota. — Nous emploierons la lettre d, ou ~- d, ou • À O i j f m.——'/ ■-^ d, pour désigner les points principaux de distance. Quand il s'agira d'un point accidentel, nous emploierons ordinairement la lettre grecque 8 — 8. POINTS ACCIDENTELS DE DISTANCE RÉDUITE. En portant à droite ou à gauche de f, I r—-, 3 ——, — 1 m — de la distance oblique OF, on aura les points de .—■ de distance correspondants. n Fig. 100 1 2 3 i~' ~3~' ~4 Ce seront, par rapport à la direction f, les points de fuite des droites 1 771 de resection ■ . —. Il est inutile d'insister. 2 ' 3 ' 4 n ' ' Pour résumer, retenons bien le fait suivant : On nous donne sur un tableau tout fait (fig. 100) un point accidentel 8 1 de fuite f, et en —le point de — de distance qui lui correspond. 4 4 Si je mène : 1° la fuyante abf; 2° la ligne de front «c; et enfin, 3° la 8 fuyante cb —, je puis affirmer que, dans l espace, on a réellement ac IL f — ab, de même ma — 4 * -4- mn. cas où on aurait donné 4 . On généralisera facilement pour le 2. c 8 8 T' ~W m ... ;: 8 8 — au heu de —n 4 G Les applications qui vont suivre fixeront sur l'usage des points de distance, principaux ou accidentels, réduits ou non réduits, et feront apprécier les simplifications que leur emploi apporte aux tracés perspectifs. �— § 56. 46 — — Perspective d'un quadrilatère du géométral. — Tableau non amplifié. 101) {a) MISE EN PLACE DU TABLEAU. — Je prends le quadrilatère ABCD (fig-. distribués d'une manière quelconque dans le géométral. comme exemple d'une série de points Par X (épure) je mène XR perpendiculaire sur XY, c'est Y échelle, des profondeurs droites, et j'y projette ABCD,. en abcd, par des lignes de front. Je mène aussi par les points ABCDr des parallèles à XR, et j'obtiens en X, a' V c' d'les largeurs des points. Gela fait, je reproduis le tableau (fig. 102) sans l'amplifier. J'ai xy (tableau) zz XY (épure) et la ligne d'horizon h h ' donnée par la hauteur de l'œil. (b) MISE EN LARGEUR. — Sur une bande de papier je prends (épure) les largeurs X a' b' c' d' et je les reporte (tableau) sur la base, en xa"b"c"d". Du point 0 (épure) j'abaisse OP perpendiculaire sur XY et, par suite, parallèle àXRetàAa',Bô', etc Je reporte P en p sur la ligne d'horizon h h' (tableau), ce qui me donne le point principal de fuite, etr joignant (tableau) a'p, b'p, c'p j'obtiens les perspectives des droites de l'épure Aa' ,Y>b!, etc On dit alors que les points sont mis en largeur ; ils doivent se trouver sur ces fuyantes principales. (c) MISE EN PROFONDEUR. — L'échelle des profondeurs XR de l'épure a pour perspective la fuyante xp du tableau. Sur cette échelle je vais porter les points abc, ; raisonnons pour a. A cet effet, imaginons que par le point a, on ait mené une ligne à'égale resection a a"; on aura X«" — Xa (épure). Mettons en perspective cette ligne d'égale resection. Son point de fuite est le point principal de distance D, obtenu (tableau) en portant à gauche dep,pT) zz OP. on prendra donc la profondeur X a (épure) ; 2° on la portera (tableau) en largeur de x en a" sur la base du tableau et à gauche à partir du pied x de l'échelle Fig. 102. des largeurs ; 3° on joindra a"D et on aura, par recoupement en a, la perspective demandée ; 4° par a, on mènera une ligne de front a A (tableau) jusqu'à la rencontre avec la fuyante a' P. On voit que ces constructions pourront se faire sans plus rien tracer sur l'épure, car les lignes auxiliaires d'égale resection sont inutiles à figurer sur cette épure. Nous ne les avons tracées que pour faciliter le raisonnement. Pratiquement on opère comme suit : Sur une bande de papier on relève, à la fois, toutes les profondeurs X a, Xb,Xc ; on les reporte en largeur, sur la base du tableau, à partir de x, en x a", b", c" Puis, plaçant une réglette en papier plié (fig. 103) de telle sorte qu'à l'aide d'une épingle, elle puisse pivoter autour du point de distance, on joint a" c" Dfl", Dft" et, par recoupements, on obtient sur l'échelle des profondeurs les points abcd. Il reste enfin, avec le T, à l'amener, par des lignes de front, ces points sur leurs fuyantes respectives, en AB CD (tableau). 1° On achèvera comme il suit : Remarque. — Ces tracés sont simples ; ils ne surchargent de lignes, ni l'épure ni le tableau ; cependant ils ne répondent pas encore complètement à ce qui a été annoncé au début. T> lui Eningle En effet : 1° le tableau est très petit et il faudrait après coup l'amRéglette pivotante en. papiepplïé. plifier ; 2° le point de distance D qui est un point de fuite auxiliaire, tombe très en dehors du cadre, puisque nous avons recommandé § 52, note 3, de prendre la distance au moins égale à deux fois et demie, environ, la largeur du tableau, ce qui n'a même pas été fait sur la figure 113.11 serait ainsi ce que l'on nomme inaccessible. Fig. 103. �— 47 — Nous allons montrer, qu'en amplifiant directement le tableau non-seulement on ne compliquera pas les constructions, mais encore on n'aura plus à se servir de points de fuite auxiliaires inaccessibles. § 37. — Même problème en amplifiant le tableau (Tableau triplé). Je garde l'épure (fig. 101), mais je construis (fig. 104) un tableau qui sera, par exemple, 3 fois plus grand. Voici la meilleure manière d'opérer. (a) LE PETIT TABLEAU ET LE GRAND TABLEAU. — Je commence par dessiner, comme figure 102, un tableau non amplifié. Nous l'appellerons le petit tableau, h h' xy. Puis joignant p x et p y, j'inscrirai entre ces deux Fig. 104 fuyantes prolongées la base XY de mon grand tableau,, de telle sorte quelle ait la largeur que je désire : ici j'aurai X Y zz 3 fois xy. La hauteur de l'horizon HX sera donc égale à 3 fois la hauteur primitive hx. Pour bien voir ces deux tableaux, il faut imaginer que le petit tableau primitivement placé très loin et par suite apparaissant très petit, s'est rapproché en glissant sur les deux droites parallèles dans l'espace pxX etpyY comme sur des rails de chemin de fer, et se grandit à l'œil jusqu'à apparaître 3 fois plus grand qu'il ne paraissait dans la position h h' xy. (b) MISE EN LARGEUR. — On fera comme tout à l'heure ; on portera les largeurs prises sur l'épure, en x a ' b ' c ' sur la base du petit tableau. On mènera les fuyantes p a', pb', pc'et on aura en XA', (c) B'C sur la base du grand tableau les largeurs amplifiées dans le rapport voulu. MISE EN PROFONDEUR. — L'échelle des profondeurs a toujours pour perspective X/;. On prendra sur l'épure et avec la bande de papier les profondeurs xa, xb, xc (épure). , On se gardera bien de les tripler, et on les reportera en largeur à partir de X, en Xa", b", c" exactement comme tout à l'heure. En réalité, on n'a donc là que les tiers des profondeurs. Mais prenons aussi la distance P 0 (épure) et sans l'amplifier, reportons-la sur le tableau de P en -. Le point - ainsi ■obtenu ne nous donnera en réalité que le point ^ de distance du grand tableau. Enfin joignons les points a",b",c" recoupements a, b, c au point 5 : nous obtenons avec l'échelle des profondeurs les mêmes que si nous avions triplé les profondeurs de l'épure et aussi triplé la distance. En effet la ligne du tableau a" 5- est o une ligne de resection -ï3 on a donc, dans l'espace : a X zz 3 fois Xa" et comme Xa" était 3 fois trop petit, Xa, qui est 3 fois plus grand, est bien à la profondeur voulue. On achève ensuite en menant les lignes de front, comme dans le cas précédent. Remarques. — 1° L'amplification n'a compliqué en rien les tracés. Elle n'a eu pour effet, heureux, que de ramener le point de fuite auxiliaire -j dans les limites du cadre, ce qui est très important. 2° Oh aurait pu donner au tableau X Y une grandeur quelconque, celle qui plairait. Le rapport d'amplification pourrait être aussi compliqué que l'on voudrait, même incommensurable, les constructions seraient toujours aussi simples. �— 48 — 3" On a employé ici des fuyantes principales ; l'échelle des profondeurs était perpendiculaire au tableau. On va montrer, dans l'exemple suivant, l'avantage qu'il y aurait, dans certains cas, à se servir de profondeurs obliques, et des points de fuite accidentels qui correspondent à la direction de ces profondeurs obliques. § 58. — Perspective d'un plan régulier ne se présentant pas de front. — Méthode dite des trois échelles. Le plus ordinairement lorsque l'on fait la perspective d'un édifice ou d'un fragment d'architecture (voir le plan d'escalier, fig. 105), les points sont distribués sur des directions déterminées que nous.nommerons les dominantes du dessin. Souvent aussi il y a deux dominantes perpendiculaires entre elles et, comme on évite de donner des vues faites complètement sur l'angle, il y aura,-presque toujours, une de ces dominantes dont le point de fuite sera accessible. On prendra cette dominante comme direction des profondeurs obliques et on fera les tracés en se servant de ces protondeurs obliques comme nous venons de le faire avec les profondeurs principales. Soit à mettre en perspective un plan d'escalier (fig. 105). Le tableau est en xy (épure). Comme dominantes je prends Fig. 105 les lignes auxquelles répondent les lettres a, b, c, d, parce que leur point de fuite / est dans les limites du cadre. Je vais mettre en perspective les points 1, 2, 3, 4 situés sur la ligne a. J'abrège la description des opérations. 1° En hh 'xy (fig. 106) je construis le petit tableau à la grandeur de celui de l'épure ; 2° Je reporte f sur la ligne d'horizon ; je joins fx, fy 'et j'-inscris en XY entre ces lignes prolongées le grand tableau à la grandeur qui me plaît ou qui m'est imposée par les dimensions de la toile. (Le rapport d'amplification ici est 50 . ' • compliqué ; il est —) ; �— 49 — 3° Sur une bande'de papier je relève les largeurs de l'épure xa, xb, xc, xi; je les reporte sur la base du petit tableau, et, menant les fuyantes fa, fb, fc j'obtiens en A, B, C, D sur la base XY du grand tableau les largeurs 50 amplifiées dans le rapport donné (—) ; 4° Je prends, au compas, sur l'épure, la distance oblique Of, et (tableau) je la reporte de f en 8 et S à droite et à gauche, mais surtout à droite, car le point de gauche serait trop en dehors du cadre ; ■ • ' ..'''■. , ' -i 23 J'ai ainsi les points accidentels de distance réduite de La direction f. (Ce sont les points — 8 ;) . OU 5° Avec une autre bande de papier je relève (épure) les profondeurs obliques al, 2, 3, 4, et (tableau) je les reporte à gauche de A en 1', 2' ; 6° Avec une règle pivotante,, je joins 1 '8, 2'8, etc , et j'ai en 1, 2, 3, 4 sur la droite Af les points cherchés ; 7° Je fais de même pour les points 1, 2, 3, 4 situés sur la droite G, en remarquant que la bande de papier qui m'avait servi pour relever les profondeurs ai, 02, as me sert encore pour les profondeurs C\, c%, C3 Il suffit de changer le point de repère a, et de lui substituer le point c. Le reste du tracé se saisit facilement. § 59. — Résumé. On voit que cet emploi du point de fuite accidentel des dominantes réduit au minimum les lignes de construction. S'il avait fallu se servir des fuyantes principales pour mettre en place les points 1, 2, 3, 4. nous eussions été amené à tracer au moins un nombre triple de lignes. Le tableau, lui-même, est aussi peu chargé que possible et les constructions sortent très peu en dehors du cadre. Le petit tableau joue ici un rôle très important. C'est, en réalité, un plan de front dont on connaît l'échelle qui est celle de l'épure géométrale. Si l'épure est à l'échelle de 1/10, toute ligure du petit tableau se perspective aussi dans le grand, à l'échelle de 1/10. La base xy du petit tableau prend le nom d'échelle des largeurs, parce que, en effet, nous y avons porté les largeurs à l'échelle qu'elles ont sur l'épure et qui nous est connue. * Le côté vertical xz du petit tableau se nommera l'échelle des hauteurs pour une raison analogue, parce que nous y porterons les hauteurs à la même échelle que sur l'épure. Enfin Xf est la perspective de l'échelle des profondeurs obliques. L'existence de ces trois échelles fait quelquefois donner à la méthode que l'on vient d'exposer le nom de méthode des trois échelles. 7 �CHAPITRE III PERSPECTIVE DIRECTE SUR LE GÉOMÉTRAL • LES POINTS (PROBLEMES SE RÉSOLVANT SANS CONNAITRE PRINCIPAUX) Perspective. Troisième Leçon. § 60. — Introduction. Pour les questions qui vont être traitées dans les chapitres suivants, on supposera que les lignes principales à mettre en perspective ont été établies parles procédés indiqués ci-dessus, c'est-à-dire par les méthodes de perspective générale. lîlles pourraient aussi, lorsque l'on dessine d'après nature, avoir été établies par l'observation directe du modèle. Sur ces lignes, que nous supposerons justes, nous pouvons avoir à résoudre quelques problèmes de détail. Nous voulons les résoudre sans plus avoir recours à l'épure ; nous avons dit (§ 47) pourquoi nous voulions ne nous appuyer que sur les lignes perspectives déjà tracées sur le tableau ; il nous faut donc pour cela des méthodes particulières qui constituent les procédés dits de perspective directe ou immédiate. § 61. — Problème 1. — Partager une droite de front en parties égales ou qui soient entre elles dans un rapport donné. Puisque les rapports dans lesquels une ligne de front est divisée se conservent en perspective, il suffit de diviser la perspective de cette droite en parties égales ou qui soient entre elles dans le rapport donné (figure inutile). § 62. — Problème 2. — Partager une ligne fuyante ab en parties qui soient entre elles dans, un rapport donné (fig. 107) (par exemple comme les nombres 4, 3 et 2). 1S' 107 On joindra les deux points d'extrémité a et.b à un point quelconque f de la ligne d'horizon. On inscrira une ligne de front a'.b' entre ces deux fuyantes. On divisera a'b' dans le rapport donné aux points c' et d'. On mènera les fuyantes fc', fd' et aux intersections avec la droite ab on aura aux points c A' \h 3^-/ C i' et d les points demandés. En effet, dans le géométral, les fuyantes f c', f d' , fb' sont parallèles; Les deux sécantes ab et a' b' les recoupent donc en donnant des segments proportionnels. C. Q. P. D. Nota. — Le point / n'a pas besoin d'être le point principal. Il suffit qu'il soit pris sur la ligne d'horizon. Fig. 108 à' ' v § 63. — Problème 3. — Prolonger sur une droite du géométral une division amorcée sur cette ligne. Soit ab un premier fragment de droite du géométral divisé dans un rapport quelconque par le point c. On veut prolonger au-delà du point b la division amorcée acb. Solution. — On mène les trois fuyantes quelconques fa, fb, fc. On les coupe par une ligne de front quelconque a'c'b'. Sur cette ligne de front prolongée on répète la division a' c' b[ en a b'i, c'% b'%...'.. autant de fois qu'on le désire. On mène les fuyantes par ces points et l'on obtient par recoupements avec ab prolongée les points demandés ci 61, b's c-î bz... etc A .f h' "/x lu 1 à' ce \ li\ c± c à' 6, a \ S\ c'g Problème 4. — Trouver le rapport exact dans le [uel une droite ab est divisée par un point c. (Même figure.) On mène fi ' C ' les fuyantes fa, fb, fc. On les coupe par une ligne de front a' c ' b ' et l'on obtient sur cette ligne le rapport exact : —Ç1' \ �— Fig. 109 51 — § 64. — Première application. — Continuer, sur une route, un tracé d'arbres (fig. 109). Ordinairement, ce problème se présente quand on dessine d'après nature. Par exemple : Sur une route horizontale fuyante abf (fig. 109), on a dessiné d'après nature les deux premiers arbres, « et b, d'une rangée et on veut en A' dessiner d'autres de manière à être certain qu'ils soient également espacés. A cet effet : 1° on mène une ligne de front quelconque a ' 3 ; 2° on prend un point de fuite quelconque g sur l'horizon ; 3° on mène les fuyantes g a et gb répondant aux deux premiers arbres, ce qui donne sur la ligne de front un premier segment a • b ' ; 4° on reporte ce segment en 1, 2, 3, autant de fois que l'on veut d'arbres à la suite, et 5°-joignant I g, 2(7, 3 g, on a, par recoupement en ede, les pieds des arbres demandés. h 1 à' i11 1 6' ï 2 3 APPLICATION. DEUXIÈME CONTINUER SUR UN MUR (fig. 110) UN TRACÉ DE FENÊTRES ET DE TRUMEAUX AMORCÉ. La première fenêtre est AB ; le trumeau qui vient ensuite est Fig. 110 BC (fig. MO). On demande de dessiner à la suite deux fenêtres et deux trumeaux identiques. Il est inutile d'expliquer le tracé indiqué en a ' b ' 1 ' 2 ' sur une ligne de front: il est analogue au précédent. La même figure montre comment sur la gauche on a trouvé la verticale SU qui, passant par l'axe du mur de gauche, contient le sommet S du pignon. On voit deux méthodes indiquées : Dans la première on a cherché en I comme ci-dessus le milieu perspectif de la fuyante M N ; Dans la seconde on a mené les diagonales wiN et nM du rectangle de l'espace de Taxe cherché. \2' MÎÎINM "l| j \\V>i. :.. .1 / i; Vj*^)" Vf \.\ .-.i£i__\ V IE S 65. et leur croisement J donne un point V lit Nota. — Les deux droites mn et MN doivent fuir à un même • point inaccessible de la ligne d'horizon (Problème résolu au paragraphe suivant). Mener des fuyantes dont le point de fuite est inaccessible. Pour fixer les idées, prenons un exemple ffig. 111). Fig. 111 Ce que nous allons dire s'applique aussi bien à des horizontales du géométral, qu'à des horizontales quelconques hors du géométral. Supposons que nous ayons mis en place, soit par les méthodes exactes, soit par l'observation directe, en dessinant d'après nature, la masse d'un fragment de corniche. Son épannelage (1) est ici un parallôlipipède rectangle que nous supposons parfaitement dessiné en ABCD, A'B'C'D' et nous avons seulement figuré la perspective du profil Al, 2,3,4, 5. etc face antérieure ABCD de la masse. Nous pouvons, et même nous devons, à partir de ce A moment, achever le dessin, presque sans regarder le modèle qui pose ou sans revenir à l'épure géométrale. 11 nous faut : 1° par les points 1, 2, 3... du profil déjà dessiné, mener des fuyantes qui convergent avec A A' ou (1) On nomme épannelage, en construction, la masse de pierre simplement dégrossie, mais en général taillée sous forme d'un solide géométrique simple, dans laquelle le sculpteur viendra plus tard faire apparaître une moulure ou une sculpture. Nous devons aussi, lorsque nous dessinons un objet en relief un peu compliqué, imaginer des sortes d'épannelages simples (ce que les peintres appellent les masses), serrant d'aussi près que possible cet objet,mais plus faciles que lui à voir et à mettre en perspective soit par l'observation directe, soit par la.perspective générale. , situé dans la �— 52 — BB' en un point de fuite très souvent inaccessible, situé sur la ligne de l'horizon, et 2° déduire le profil, inconnu clans la face A'B'C'D', du profil connu dans la face ABCD. Occupons-nous immédiatement de cette seconde partie, et supposons que nous sachions mener les fuyantes ; nous indiquerons tout à l'heure divers moyens pour cela : 1° Je projetterai en l'2'3' les points 1, 2, 3,4 du profil connu sur la base CD du rectangle d'épannelage qui le contient et qui est en avant ; 2° je ramènerai, par des fuyantes, ces points en 1"2"3" . sur la base CD' de l'autre rectangle ; 3° je remonterai de ces points, par des verticales, en -1, 2, 3 sur les fuyantes déjà tracées dans l'espace, et 4° je ferai passer le second profil par ces points. N'insistons pas sur cette partie de la question, car nous donnerons plus loin un moyen très précis et très rapide pour tracer perspectivement, dans un rectangle d'épannelage connu, un profil, donné de moulures. (Voir plus loin emploi des -échelles divergentes, perspective des moulures). Revenons au tracé des fuyantes. § 66. — Réseau perspectif. — Procédé approximatif à employer surtout quand on dessine d'après nature. On voit (fig. 112) sur la feuille de dessin : 1° la ligne d'horizon h h', qu'il ne faut jamais oublier d'indiquer avant toute autre quand on dessine d'après nature, et, 2° une ligne fuyante AB, qui a été établie par l'observation ou autrement, mais que nous admettons comme étant parfaitement juste. Imaginons que l'on prévoie un grand nombre de fuyantes à faire passer par le point de fuite inaccessible, de A B. On s'y préparera en exécutant d'abord, très légèrement, le réseau de lignes indiqué en 1 1, 2 2, 3 3;.... et obtenu de la manière suivante : 1° On mène la verticale A a, et. on la partage à partir de' l'horizon en 4 ou 6 parties égales (peu importe le nombre) (1) ; 2° On fait de même pour la verticale B b et on joint ensuite les points de division. On prolonge même les divisions de l'autre côté de la ligne d'horizon, en 3 ', 2 . si cela est nécessaire. , Ces lignes fuient, évidemment, au point inaccessible, d'après la théorie des lignes proportionnelles ; 3° Si, maintenant, on a, par un point M, qui n'est pas sur une des lignes précédentes, à mener une fuyante M G, on la trace facilement alors en se guidant sur les deux lignes du réseau qui sont aux environs. On fait en sorte que la ligne M G que l'on trace, partage dans un rapport constant l'intervalle des lignes du réseau qui lui servent de guide. Le coup d'œil suffit pour cela. Dans beaucoup de dessins, nous aurons des fuyantes dans un sens A B, ét d'autres dans un autre sens A G. On appliquera le procédé dans les deux cas. Ce réseau auxiliaire sera, bien entendu, tracé très légèrement au crayon ou au fusain et effacé une fois le dessin terminé. § 67. — Procédé par lignes proportionnelles (Exact). Même problème. — Mener par M une parallèle (perspective MN) à la droite horizontale déjà tracée AB (fig. 113). Je mène la droite A M m perpendiculaire sur h h '. Sur une Fig. il 2 Feuille de dessin. A — J1 \ 'S. " 1 i 0-—-m--— A i|6 horizon. [i ! 1 i l u I ni h' ■ta' i 1 Fig. 113 A! VB' A B M' \] \ '1 \\\ \ h m horizon. n (1) La division on 2, 4, 8 parties égales est très commode, quand on dessine d'après nature et sans compas, parce qu'elle peut se faire à l'aide d'une bande de papier que l'on replie 2, 4 ou 8 fois sur elle-même. �— 53 — autre verticale B n, je cherche (par les méthodes connues de géométrie) un point N qui la partage dans le même rapport AM BN , . . . .. ,, :„ — , et ie 101ns ensuite i\l et N. J Mm • N» Nota. — Dans le cas où l'on se serait servi d'un mur latéral fuyant pour la mise en hauteur, comme nous l'indiquerons plus loin, la figure 113 montre, sur la gauche, comment cette opération peut se faire, en utilisant les fuyantes A'h — M'h tracées sur ce mur. § 68. — Emploi du Té-brisé ou règle à 3 branches. Soit (fig. 114) à résoudre encore le même problème : MN est une fuyante déjà tracée. On veut mener par des points isolés, par le point Q par exemple, des lignes horizontales perspectives ayant même point de fuite inaccessible, sur l'horizon hli'. Je fais d'abord la construction suivante : 1° Je prends le point M', symétrique de M par rapport à la ligne d'horizon ; 2° Je-mène MI perpendiculaire sur MN qui est donné et Fie. 114 je joins IM '. Gela fait, je découpe dans une feuille de carton ou de papier très fort une sorte de règle triple dont une branche sera la ligne d'horizon IH et les deux autres branches les droites M I et M ' I. Cela nous donne une espèce de T dont les lignes de tête IM et IM' ne sont pas perpendiculaires sur la tige I H. Nous l'appellerons'un Té-brisé. (Une teinte' indique sur la figure 114 la partie du carton qui est conservée.) j{ Cela posé, je plante une épingle bien verticalement dans' le bois de la planche à chacun des points M et M ', et si je fais glisser les deux branches MI et M'I sur ces épingles, la troisième branche IH prendra différentes positions, mais toutes convergentes au point de fuite inaccessible de M N. Ce fait est facile à démontrer par la géométrie de la manière suivante : Démonstration (fig. 115). — En effet, l'angle M I M' est constant par construction. Par conséquent, lorsque dans la position M J M', ses deux côtés JMet.JM' passeront par les deux points fixes M et M', le sommet J se trouvera toujours sur un segment capable de l'angle MIM', c'est-à-dire sur l'arc de cercle MIM'. Mais, les deux angles FMI et FM'I étant droits, ce cercle passe aussi par le point F (accessible ou non) qui est le point où MF rencontreFig. Ht rait h h '. Cela posé, IF est la bissectrice de l'angle MIM' à cause de la symétrie de la figure par rapport à h h' ; donc, puisque l'angle M J M ' est inscrit dans l'arc \\ de circonférence MJM;, il faut que la bissectrice JF passe toujours par le \ \ \ milieu de l'arc opposé, 'c'est-à-dire par le point F ; ce qu'il fallait démontrer. Nota. — Nous appellerons angle a du Té-brisé l'angle (fig.. 114) que fait la h o h' (\y \ \ A tête oblique IM ou IM ' avec la normale IK à la règle IH. Sur la figure 115, cet angle a se retrouve en IF M. 7/ J //* On se servira donc de cette règle à 3 branches aussi facilement que d'un T, //s t si l'on a une fuyante à faire passer par un point quelconque G de l'épure, on e trouvera rapidement la position à donner à la règle triple pour que la branche III vienne, passer par ce point G. Nota. — Pratiquement, on devra faire en sorte que la première fuyante MN qui sert à découper le Té-brisé soit, de toutes celles qu'il faut mener, celle qui s'écarte le, plus de la ligne d'horizon. On a construit, en bois, une règle à trois branches mobiles, pouvant s'appliquer à tous les cas (tig. 116). Un N ■écrou (x) permet d'arrêter les branches à l'écartement voulu. �— Fi 34 — s- 1,6 Nota. —L'emploi de cet instrument est tellement avantageux que nous avons cherché à le généraliser dans la pratique. — La règle à 3 branches (fig. 116) est assez encombrante ; les 3 règles qui la composent ne sont pas dans un même plan, ce qui rend, le tracé des lignes au crayon difficile à faire exactement. Le Té-brisé, découpé dans du carton ou dans du bois mince, s'applique, au contraire, très exactement sur la planche, comme une équerre. Il est très facile de le guider par deux épingles. —Le seul inconvénient qu'il présente serait d'être obligé d'en construire un pour chaque cas particulier. — Nous allons montrer comment un seul Té-brisé,- quel que soit son angle a, peut servir dans tous les cas ; il suffit de savoir placer convenablement les épingles. § 69. — Emploi d'un Té-brisé d'angle déterminé. Problème. — Etant donné une droite AB (fig. 117) fuyant à ùn point inaccessible F de la ligne d'horizon, placer les épingles de manière à mener des fuyantes à ce point F en se servant d'un Té-brisé déterminé [d'angle a). Solution. — En se reportant à la démonstration Fig. 117 (fig. 113), on voit que s'il était possible de connaître une droite IF, passant par le point de fuite inaccessible F et faisant avec l'horizon l'angle a, un point quelconque I de cette droite et son symétrique I' pourraient être pris pour position des épingles. Pour trouver cette droite IF, ou simplement un de ses points, d'un point J quelconque de l'horizon, abaissons une perpendiculaire sur la première droite donnée AB. Abaissons aussi la perpendiculaire ,TI sur la direction IF, ce qui se fera en plaçant la tigé du Tébrisé en J L ' sur l'horizon ; la tête prendra naturellement la direction JL Mais A et I sont deux positions du sommet du Tébrisé ; par conséquent, plaçons la tige en A L sur le prolongement de AB, et la tête prendra naturellement la direction AI qui, par recoupement avec J I, donnera en I la position de l'épingle. L'autre épingle I ' se placera symétriquement par rapport à l'horizon. Fig. 118 J. Y//////////AJ//.// if llÉ f \% \ W % \ ■ t Cs,c!pe \ § 70. — Emploi du Té-brisé quand on opère sur une toile. Pour les peintres, il est impossible de fixer des épingles dans la toile; ils ne peuvent les planter que sur le bois des châssis, c'està-dire sur les lignes formant le cadre du tableau. Pour eux, le problème se pose ainsi : Enoncé. — AB (fig. 118) étant une fuyante, dont le point de fuite F sur l'horizon est inaccessible. YZ étant le bord vertical du tableau, trouver en I, sur la ligne YZ, la position de l'épingle permettant d'utiliser pour tracer des fuyantes au point F un Tébrisé d'angle donné a.. Solution. — 1° Du point B où la droite donnée AB rencontre le bord vertical YZ, mener, en se servant du Té-brisé placé comme l'indique 1 N2 3, une droite NB faisant avec l'horizon le complément de l'angle a ; 2° Du point N, où cette ligne rencontre l'horizon, abaisser N1 �Fie. H 9 A \ \ \ \ \ \ \ \ \ S' perpendiculaire sur AB. — Le point I, où cette droite rencontre le cadre, est la position de la première épingle. L'autre I', non indiquée sur. la figuré, sera symétrique de I par rapport à l'horizon. Pour démontrer la justesse de la construction, il suffit de prouver que IF est perpendiculaire sur NB et par conséquent inclinée à l'angle a sur l'horizon. En effet, dans le triangle NI F, la droite IB est perpendiculaire sur le côté N F ; FB est perpendiculaire sur le côté NI par construction et,, comme dans un triangle les trois hauteurs passent par un même point, la droite N B est la troisième hauteur et, par conséquent, est perpendiculaire sur IF ; — C.Q.F.D. a- \ Y \ S 71. —Emploi du Té-brisé dans les problèmes d'ombres. Nous verrons plus loin, quand nous traiterons des ombres en perspective, que pour avoir fig. 119) l'ombre portée ai par un joindre le point A de l'espace à la perspective S du soleil dans l'espace point A de l'espace sur le géométral, il faut (S est ordinairement une perspective virtuelle) ; 2° joindre le pointa,Fig. 120 . projection de A sur le géométral, au point S', projection.du soleil sur ) le géométral (S ' est sur l'horizon et à plomb de S), et le point de rencontre des deux droites, l'une A ai rayon lumineux dans l'espace, l'autre a ai projection de ce rayon sur le géométral, donne en ai l'ombre portée par A sur le géométral. I' Il faudra répéter cette construction autant de fois qu'il y aura de \\\\\\\jAV points ; or, le plus souvent, S ' sera inaccessible sur la ligne d'horizon et à plus forte raison S. Cherchons donc à placer les épingles pour mener toutes ces \ fuyantes en se servant d'un Té-brisé d'angle donné a (fig. 120). 1° Pour les lignes telles que «ai S' dont le point de fuite est sur 9» l'horizon, la question est résolue (§§ 69 et 70). 2° Pour les rayons tels que AB qui fuient en S, prenons en B l'intersection de celui que l'on connaît avec la ligne d'horizon. Supposons en outre que le rayon projeté a ai fasse avec la ligne d'horizon l'angle œ du té-brisé : s'il n'en était pas ainsi on le mènerait (voir § 69). Par le point B, en nous servant du té-brisé placé comme l'indique 1, 2, 3, 4, menons une droite B I faisant avec A B un angle complémentaire de l'angle a. Soit I son point de rencontre avec a ai. Les quatre points IBS et S ' sont sur une même circonférence à causé de l'égalité des angles IB S et I S' S. Donc Fis. 121 l'angle IS B est égal à l'angle 1 S'B et par conséquent égal à a. En piquant une épingle en I et l'autre en I' symétrique de I par rapport à A B, on pourra se servir du té-brisé. On pourrait encore, puisque l'angle BIS est droit, placer une première épingle en B, et une autre au point I" symétrique de B, par rapport à IS. 1 1 § 72. — Changement de position des épingles, dans le courant d'une opération. On reconnaît, en expérimentant le té-brisé, que les épingles limitent assez vite le champ des opérations. Soient I et I' les épingles dans une première position (fig. 121). Lorsque le té aura pris la position 1, 2, 3, 4 et même un peu avant, l'épingle I' l'arrêtera et il serait impossible de mener des fuyantes telles que A K, situées au-dessous de MI. �— 5G — Prenons alors pour pied de l'épingle un point quelconque K' de l'horizon, et plaçons une autre épingle au point K symétrique de K' par rapport à M N, et ainsi de suite. Après K' et K nous prendrons L' et L ou bien encore I et J. On pourra reculer ainsi autant que l'on voudra la limite de l'emploi du té-brisé. v' Remarque. — Les problèmes précédents ne nécessitent pas la connaissance du point de fuite ni de distance principaux. Ils ont donc leur solution indépendante de la position du spectateur, pourvu que son œil reste dans lè plan d'horizon et ne monte ni ne descende. Il n'en sera pas de même de ceux qui vont suivre. �CHAPITRE IV PROBLÈMES DE PERSPECTIVE DIRECTE EXIGEANT LA CONNAISSANCE DES DE FUITE ET DE DISTANCE POINTS PRINCIPAUX Perspective. Quatrième Leçon. § 73. — Problème. — Construire un carré sur une droite de front ab comme côté. Fi . 182 g Soit p le point principal et le point de demi-distance (fig. 122). Menons les fuyantes principales ap - bp. Ces droites seront les côtés du carré. Prenons le milieu i de ab, et joignons-le au point -5-. h n P . ' H 3 / 21 2 / h' \° a ■ « j 6 Nous savons, en effet, que cette droite fuyant au point de demi-distance intercepte sur la ligne de front a b, un segment i b qui est la moitié du segment bc intercepté sur la fuyante principale. On a donc dans l'espace bc — 2 cd etbc — ab. Menons ensuite la ligne de front c d et nous aurons en a b c d la perspective d'un carré. 1 Remarque. — Si l'on avait à sa disposition le point -^-D (tiers de distance), on l'aurait joint au point j situé au tiers de ab. On généralisera pour tous les cas de distance réduite. § 74. — Perspective du cercle. — Problème. — Sur une droite de front, ab, comme diamètre, construire un cercle : lre méthode, dite par recoupements. Cette méthode est fondée sur les remarques suivantes : Soit AB, C D (fig. 123), deux diamètres à angle droit d'un cercle. Menons une perpendiculaire quelconque MN sur le diamètre AB. Menons les lignes à 45° AC et B C. Prenons les intersections M et Q avec la ligne M N. Joignons A Q et B M ; ces deux droites se renconFig. 123 trent en un point S, qui appartient au cercle. On le démontrera en considérant les trois droites MQ-AQ-BQ comme les trois hauteurs d'un même triangle A MB, qui, on le sait, se rencontrent en un même point. C /;_ A B De plus, si l'on mène l'horizontale CI et si l'on joint IS, cette dernière droite est tangente au cercle. On le démontre en prouvant que CI — IS et comme CI est une tangente, IS le. sera aussi comme étant égale à CI. En effet : GI — IM — I Q, puisque les lignes CM et C Q sont inclinées à 45° ; donc I est le milieu de M Q. L'angle M S Q est droit, nous venons de le démontrer ; donc IS = IQ — IC;ce qu'il fallait démontrer. On voit immédiatement l'application de cë qui! précède à la mise en perspective d'un cercle (fig. 124). 8 �— Fig. 124 58 — Si l'on met en perspective la figure 123, les lignes à 45°, AC, BD, fuiront aux deux points de distance D et D'. — Les lignes parallèles à AB resteront de front. Les lignes perpendiculaires à A B fuiront au point principal P, etc L'épure perspective (fig. 124) est la traduction évidente de la figure géométrale (fig. 123). Malgré sa simplicité apparente, cette méthode n'est pas très praticable ; elle force à se servir des points D et D' non réduits ; et l'on sait que ces points sont presque toujours inaccessibles. § 75. — Même problème : 2e méthode, dite des huit-points. Cette méthode est applicable lorsque, le cercle étant assez petit, il suffira, pour le déterminer, d'en posséder huit points bien choisis. On remarquera que sur le cercle en vraie grandeur (fig. 125) les meilleurs points à déterminer sont les points milieux ABU et les points de diaFig. 126 • gonale VV, WW (voir lro partie, ombres du cercle). Soit sur le tableau (fig. 136) le diamètre de front donné par sa perspective AB. Soit P le point principal et-)p le point tiers de distance. 1° Je prends en S le tiers du rayon OB, je joins S — et, par prolongement o et recoupement, j'obtiens en I l'extrémité du rayon 01; 2° Une construction analogue me donne le point V. J'ai donc en MN, NN la perspective du carré circonscrit ; 3° Je mène les diagonales et je les partage, perspectivement, dans le rapport de 1 à / 2 , ce qui me donne les points de diagonale. Ce partage se fera en partageant rigoureusement, au point K, le demi-côté de front IN, ou le demi-rayon OB dans le 1 rapport —— (sensiblement 0,7) et menant la fuyante principale KWWK'. v/2 Nous avons donné, à l'occasion de l'ombre du cercle, une construction simple pour faire ce partage. Tangentes aux points de diagonale WWW. — Sur le cercle géométral (fig. 125)>on voit que cette tangente Wa, détache sur le côté du carré un segment Ka = KN.— On prendra donc sur le tableau (fig. 126) K a =: KN et on aura en a V la tangente. On fera la même construction pour les autres points de diagonale. § 76. — Même problème : 3e Méthode, dite par les échelles circulaires. Cette méthode est applicable surtout lorsqu'il faut déterminer rigoureusement, sur le cercle, des points équidistants, ■en nombre donné. On commencera par construire, comme ci-dessus, le carré perspectif circonscrit au cercle. Soit mnp q (tableau fig. 128) ■ce carré en perspective. — Cela fait, exécutons sur une feuille à part, et une fois pour toutes, la construction suivante (fig. 127). �— Fi 59 — (a) 0 est un cercle ou, ce qui suffit, un demi-cercle quelconque. On l'a divisé en autant de parties égales qu'il en est demandé, 24 par exemple. — (Cette division par 24 est utile pour les cannelures des colonnes, en architecture ; n'ayant pris que la moitié du cercle,nous ne l'avons divisé qu'en 12 parties égales.) Prenons au-dessus du diamètre un point S quelconque que nous nommerons le sommet de l'échelle. s- 127 rons les divisions de l'échelle en m, W, E Fig. 128 (b) On a projeté les points de division 123 sur le diamètre, en 1 2 3 4 , et, par ces points on a mené des droites S I, S 2, S3 convergeant au point S qui constituent ce que nous nommerons une échelle circulaire, que l'on garde pour s'en servir par la suite, dans de très nombreuses occasions, comme on le verra plus tard. Il est évident que si, sur les côtés d'un carré, nous portons des divisions proportionnelles à celles de notre échelle comptées sur des parallèles à sa base, et si nous menons par les points-de division des parallèles aux côtés du carré, nous aurons, par recoupements, des points du cercle inscrit. Nous appliquerons cette construction en perspective de la manière suivante. (c) 1° Dans le carré perspectif (fig. 128), nous tracerons, à peu près et fort légèrement au crayon, l'ellipse inscrite, dans le seul but de savoir approximativement où sont les points exacts, et pour ne pas garder un réseau trop chargé de lignes inutiles. 2° Sur le côté de front m n, nous reporteA cet effet nous aurons relevé sur une première bande de papier Z, les 3 points m (extrémité), n (extrémité) et E (milieu) et inscrivant (fig. 127) la bande de papier en i»W, W», sur l'échelle, nous pointerons les points de rencontre et nous les reporterons sur mn du tableau. 3° Sur un côté fuyant nq, nous ferons une division proportionnelle à la précédente, soit en nous servant des points déjà obtenus sur mn et les reliant, par l'intermédiaire d'un point de fuite , auxiliaire, aux points à obtenir, soit en opérant comme à un problème précédent (partager une droite dans un rapport donné). Mais il sera plus simple et plus rapide, pour faire ce report, de se servir encore de l'échelle divergente de la manière suivante : 1° Sur une troisième bande de papier, Z', je relève (tableau) les points d'extrémité n et q �— 60 — et le point milieu B ; 2° j'inscris par tâtonnements, ce qui est facile, la bande de papier,"en 7J dans l'échelle (fig. 127), de telle sorte que les extrémités ri' et q' étant sur les lignes extrêmes le point B soit sur la ligne milieu ; 3° je reporte, sur le tableau, en n 1' 2' 3' les points ainsi obtenus ; 4° je fais la même opération sur tous les côtés et joignant deux à deux les points qui se correspondent, j'obtiens, par recoupements, les points de l'ellipse cherchée (1). Nous donnerons plus loin une application des échelles divergentes à la mise en perspective des moulures et d"un cercle placé d'une manière quelconque. Nous nous occuperons d'abord, dans le chapitre V, de l'opération perspective connue sous le nom de Relèvement du géométral. (1) La justesse de ce tracé se prouve par la théorie des rapports anharmoniques. �CHAPITRE V RELÈVEMENT DU GÉOMÉTRAL I Perspective. Cinquième Leçon. § 77. — Relèvement d'un point. On relève le géométral, ou plutôt une portion du géométral, en la faisant tourner autour d'une ligne de front comme charnière, et l'amenant à être elle-même dans un plan de front. Ce mouvement est analogue à celui d'un dessus de table à jeu qui tournerait autour de sa charnière et qui, de la position horizontale, passerait à la position verticale. Dans cette position, la portion du géométral qui est relevée se perspective semblable à elle-même, ce qui permet de résoudre tous les problèmes d'angles ou de rapports.— En rabattant ensuite autour de la même charnière, on remet les figures en place. Soit, par exemple, le point m .(fig. 129) à relever autour de la ligne de front x y comme charnière. 1° J'abaisse du point m, dans le géométral, une perpendiculaire sur x y : sa perspective est la fuyante principale p m i ; 2° Je joins m au point tiers de distance (supposé donné) et je prolonge jusqu'en m" sur la charnière xy.; 3° m"i donne, à Y échelle du plan de front qui aurait xy pour trace géométrale, le tiers de la longueur im ; 4° Je relève la perpendiculaire i m ; elle devient la verticale i Mi, que je prends égale à trois fois im", et j'ai en Mi le relèvement demandé. Nota. — L'opération inverse ou rabattement d'un plan de front sur le géométral se fera en exécutant les constructions précédentes dans l'ordre inverse. D' p~. Nous nommerons o Fig. 129 Table Plan de Front xy M \3% ' 5 —rx i) ,3 "\A\ (centr-e)1 Rayon de rotation.. y / Q_ n* Remarque. — Prenons, sur la verticale du point p, une longueur p D' o le point terrestre D' de tiers de distance, et il est évident sur la figure que si l'on joint — à m, cette droite recoupe en g la verticale iMi au tiers de sa hauteur; on a im" = ig. D' 1 Le point —- sera le point de fuite des droites de resection — clans des murs perpendiculaires au tableau ; c'est-à-dire o o des droites qui détacheront sur des verticales, telles que iMi, des segments qui seront le tiers de ceux détachés sur des D' lignes de front telles que ip. L'emploi de ce point terrestre — permettra souvent de simplifier les constructions. �— 62 — § 78. — Même problème : Le tableau ayant été amplifié dans un rapport quelconque. On connaissait dans le problème précédent le point ce qui supposait implicitement que le tableau était une ampli- fication, au triple, de l'épure. Nous avons vu que cette amplification pouvait être toute autre et même être incommensurable. Dans ce cas, on a le point D — de distance réduite, le rapport — pouvant être très compliqué. L'épure sera cependant facile à exécuter. m On a en X Y (fig. 130) le grand tableau, en xy le petit tableau, et l'on a vu que le rapport d'amplification ~ est égal au rapport (30 FK . On se donne aussi (c'est une conséquence m le point de distance ré- AX de la mise en perspective) en D duite, correspondant à cette amplification. Soit AB la perspective d'une droite du géométral, que l'on veut relever avec le géométral en prenant l'horizontale de front xf y' pour charnière. Relevons le point A ; à cet effet : 1° Menons la perpendiculaire A a sur la charnière et cherchons sa grandeur à l'échelle du plan de front x' y' ; — 2° joignons A au point D'—^- de gauche; le segment obtenu n a a' est les-—du segment a A du géométral; par consém quent, amplifions le segment a a' (= a) dans le rapport d'amplification — du tableau, et nous aurons à l'échelle du plan de front x'y' la grandeur de a A ; —3° pour faire cette amplification, portons a a' de y en ai sur l'échelle des hauteurs yZ, laquelle est contenue dans le petit tableau ; joignons Pai et par prolongement avec le côté Y h' du grand tableau nous aurons en Ya'i la grandeur cherchée qu'il suffira de porter de a en a! pour avoir en Ai le relèvement du point A. On a relevé de même le point B en Bi. A cet effet : 1° on a mené la fuyante principale PB b ; 2° on a mené B (D' —) et pris le recoupement b' de cette droite avec la charnière ; 3° le segment bb' ainsi obtenu a été porté de y en |3i sur l'échelle des hauteurs ; 4° on a joint P(îi et par recoupement de cette ligne avec le côté droit Y h' du grand tableau on a obtenu en yp'i la grandeur de bB à l'échelle du plan de front x'y'; 5° on a porté Yp'i de b en Bi sur la verticale du point b et cela a donné en Bi (au-dessous de x'y') le relèvement de B. La droite AB est relevée en Ai Bi. Remarquer le point I, dit point de charnière qui, ne bougeant pas dans le mouvement, est commun à relèvement Ai Bi. AB et à son Nota. — Dans un cas analogue, en prenant pour charnière la trace xy du petit tableau, on simplifiera beaucoup les constructions et, de plus, on pourra déduire très facilement du relèvement les vraies grandeurs (longueurs ou surfaces) des figures relevées, comme l'exemple suivant le fera comprendre. § 79. — Problème de restitution perspective. Enoncé. — Sur un tableau XY m amplifié arbitrairement (fig. 131) (— est quelconque), mais dans lequel est figuré en xy le petit tableau on a, en perspective sur le géométral, un triangle ABC. On demande, sachant que l'échelle du 1 petit tableau, x y est de — (c'est-à-dire de 0m,05 pour 1 mètre), de déterminer les dimensions absolues des côtés du triangle ABC, ses angles et sa surface. �— Fig. 131 63 — Solution. — (A) RELÈVEMENT. — Je prends pour charnière la base xy du petit tableau, et je relève les trois points AB et C. Opérons pour A : 1° On mène la fuyante principale PA rencontrant la charnière en a ; 2° On joint A au point D — de gauche, ce qui 1% donne le point a sur xy ; 3° On amplifie aa dans le rapport inverse—,ce m qui se fait en joignant P«, Pa et prolongeant ces fuyantes jusqu'à la base XY du grand tableau ; On obtient ainsi le segment amplifié aV — Ri ; 4° On prend la verticale a Ai égale à Ri et on a en Ai le relèvement de A. Nota. — Les points de charnière I, J et K permettent des vérifications et des simplifications. En en faisant usage, ainsi que le montre la figure 131, on peut éviter d'avoir à construire, comme on vient de le faire, les relèvements directs des sommets B et C. (B) Vraies grandeurs. — Mesurée sur le petit tableau, la ligne AiBi a pour longueur 0m,08, et, comme le petit tableau est à l'échelle de il en résulte que 20 la ligne AB du géométral est lm,60. même les autres côtés Bi Ci tableau et on les multipliera i—, la vraie grandeur de égale à 0m,08 X 20 = On mesurera de et Ci Ai sur le petit par 20. On calculera la surface et elle sera multipliée par 2, c'est-à-dire par 400. 20 Quant aux angles, ils sont les mêmes sur la figure relevée Ai Bi Ci que dans l'espace ; le rapporteur les donnera donc immédiatement. i/ § 80. — Recherche des points accidentels de fuite et de leurs points de distance. Problème (fig. 132). — Déterminer le" point de fuite et le point de distance (accessibles ou non) d'une direction horizontale, sachant qu'elle doit faire un angle donné a avec le tableau (a n'est pas égal à 90°). Solution. — Il suffira d'établir la perspective d'une droite du géométral parallèle à la direction imposée. En prolongeant ensuite cette perspective jusqu'à la ligne d'horizon Fig. 132 on aura le point de fuite demandé ; le plus ordinairement il sera inaccessible, mais la ligne perspective trouvée permettra de placer des épingles pour utiliser le té-brisé (§§ 68.69, 70). On aura le point de distance en construisant la perspective d'une ligne d'égale resection pour la droite précédente. P A Cette nouvelle droite perspective, prolongée jusqu'à l'horizon, ■ . donnera le point de distance cherché. Exécution (fig. 132). — Soit XY le grand tableau ; xy le — petit tableau répondant à un rapport d'amplification quel- ;/\ > ^\ m ,. . m 1 . conque — (ici — = —). \ \ \ / / ^ / Soit P le point principal et D —■ son point de distance réduite correspondant à la grandeur du petit tableau. �— 64 — Dans le petit tableau je trace une droite quelconque ABi faisant avec xy l'angle donné a, et je la considère comme le relèvement d'une droite du géométral. , Je fais l'opération inverse du relèvement, elle porte le nom de rabattement. A cet effet : 1° j'abaisse Bi b perpendiculaire sur xy; 2° je prends sur XY le segment b'p' égal à 6.BÏ; 3° je mène la fuyante principale p'p et j'ai en bp la grandeur ôBi Tïl réduite dans le rapport — ; 4° je joins S au point de distance réduite D — de gauche et j'ai en B le rabattement de Bi. Donc AB est la droite perspective demandée. Nota. — Son point de fuite f est inaccessible, mais nous avons néanmoins appris à y mener des fuyantes, surtout avec l'aide du té-brisé. Pour avoir le point de distance S de la direction f, je prends sur xy la longueur AB2 égale à AB et je joins B2 B. Cette ligne est d'égale resection pour la droite AB ; puisque, en vraie grandeur, ABi — AB, et que ABi — AB2,. donc AB2 — AB. Par conséquent BBa prolongée jusqu'à l'horizon donne en S le point accidentel de distance. Nota. — Ce point S pourrait lui aussi être inaccessible, mais il est à remarquer que plus le point f sera inaccessible, moins son point de dislance S le sera, et inversement. § 81. — Problème. — (Même figure.) Trouver le point de distance S d'une direction donnée dont le point de fuite /'est accessible ou non. Solution : Soit AB une droite perspective définissant la direction donnée : 1° On relève la droite en ABi sur xy comme ci-dessus ; 2° on prend sur xy AB2 = ABi, et 3° BB2 prolongée donne en 8 le point de distance cherché. Cette construction du point S sera utilisée dans la méthode dite de la corde de l'arc. �CHAPITRE VI PERSPECTIVE DES CERCLES HORIZONTAUX. Perspective. Sixième Leçon. § 82. — Construire un cercle sur une ligne fuyante, comme diamètre. Soit AB le diamètre fuyant donné. Solution : (fig. 133). 1° Chercher le milieu perspectif O de AB, ce sera le centre du cercle: A cet effet, mener la ligne de front AA', et la fuyante principale PB. Prendre le milieu vrai I de A A'. Joignant ensuite IP, on en déduit le centre O du cercle ; ' 2° Mener par O, la ligne de' front x' Oy' et faire un relèvement du géométral autour de cette ligne x' y' comme charnière. Le point A se relève en Ai. On a utilisé pour ce relèvement le point tiers de distance -^j- de gauche; 3° OAi est la grandeur, à l'échelle du plan de front x'y', du rayon du cercle. On décrit ce cercle, ce qui donne en C et D les extrémités du diamètre de front ; 4° Prenant O S — O S' principal ; 5" On construit alors en 1 2 3 4 le trapèze, perspective du carré de front circonscrit au cercle et on achève comme à la figure 126, en se contentant des points W, W de diagonales, c'est-à-dire par la méthode des huit points. zz. —~ o du rayon et joignant S et S' au point o on obtient en E et P les extrémités du diamètre § 83. — Architecture. — Perspective de plans de colonnes cannelées. Nous supposerons (fig. 134) que par les méthodes générales, ou par l'observation, nous ayons mis en perspective en A Aaa et A'A' a' a' les carrés circonscrits aux cercles cannelés. Nous menons les diagonales ; nous avons en O et O' les perspectives des centres et nous trouvons facilement les perspectives ; fio, f i' o', des axes principaux des cercles. Nous �— 00 avons à ce moment la perspective des masses ; il faut maintenant entrer dans le détail des cannelures en considérant comme exacte la pers^ pective A Aaa du carré circonscrit. Nous emploierons encore à cet effet une échelle divergente. Supposons qu'il y ait à établir 20 cannelures comme aux colonnes du Parfhénon : 1° Construisons (fig. 135) en épure, un cercle, ou plutôt un demi-cercle, ce qui suffira, à cause de la symétrie, et figurons sur ce cercle les cannelures que nous voulons W, 1, 2 1,2.....; 2° Projetons ces points de division du cercle ainsi divisé en À, W, 1, 2 sur le diamètre A A, et construisons une échelle divergente de sommet S sur cette division, en ayant soin d'y marquer aussi la ligne SI, que nous nommerons la ligne milieu, et qui répond au^milieu de À A ; 3° Sur une bande de papier N° 1 (Tableau), relevons les 3 points Ai A sur iki des côtés du carré ; ■4° Par tâtonnements, inscrivons sur l'échelle (Position n° 1 ') la bande de papier de manière que les 3 repères, savoir les repères d'extrémité A, A et celui du milieu. I soient sur les lignes correspondantes ; 5° Marquons en W, 1, 2 reportons cette division en AWI les points de division et du tableau ; 6° Faisons la même opération pour tous les côtés des carrés circonscrits et en joignant les points qui sont en face les uns des autres nous aurons un réseau dans lequel on retrouvera facilement les points cherchés. Nota. — Dans la pratique on se garde bien de surcharger ainsi le dessin. Lorsque l'on a le carré circonscrit en perspective, on trace très légèrement au crayon et de sentiment, l'ellipse perspective du cercle ; elle est inexacte, bien entendu, et sera effacée plus tard ; mais on ne trace les lignes du réseau qu'aux environs de cette courbe (voir fig. 128), ce qui dégage beaucoup le dessin. �— 67 — § 84. — Perspective d'une série de cercles concentriques. — Emploi d'échelles divergentes. Le problème se présentera souvent de la manière suivante (fig. 136) : Fig. 136 On a en A A A A une ellipse, perspective d'un cercle horizontal. Cette perspective a été obtenue par un procédé quelconque, P soit que l'on dessine d'après nature, soit que l'on ait employé les h 3 méthodes exactes. On voudrait, maintenant, tracer directement, sans être obligé de revenir à l'épure, d'autres ellipses, perspec, -'- r 'A \rL„tives de cercles concentriques au premier : on sait seulement que -V les rayons R' R" de ces nouveaux cercles sont dans un rapport donné avec le rayon R du cercle déjà tracé. m' lre Partie. — RESTITUTION PERSPECTIVE DU CENTRE. — On mène \z\ deux tangentes de front mn-m' n'. On détermine les points decontact A A. On les joint par une droite qui, prolongée, donne en P, sur la ligne d'horizon, le point de fuite principal. — Du point P on mène deux tangentes à l'ellipse, ce qui détermine en mnm'n' la perspective du carré circonscrit. — On en mène les diagonales qui se recoupent en un point I qui est la perspective du centre (1). Fig. 137 -— — 2e Partie.— (fig. 137) CONSTRUCTION D'UNE ÉCHELLE DIVERGENTE.. — Prenant 3 longueurs I A -IB - IC qui soient entre elles comme les rayons R, R' et R", on construira une échelle divergente sur ces lignes comme base. Les 3 lignes de repère de cette échelle sont SA, SI et SA'. 3e Partie. — MISE EN PLACE DIRECTE DES POINTS DES CERCLES\Y \j\|A \fP I R' ET R". — On mènera (fig. 136) un rayon quelconque al a' . kX^vu V—J —--/ n"-/---/— Sur une bande de papier Z on piquera les trois points derepère, savoir : a et a' pris sur le cercle donné en perspective Jot//~~~\ et I pris au centre. On reportera la bande de papier en Z' sur l'échelle en la repérant par les points a, i et a' sur les droites A, I et A' de l'échelle. — On y marquera les autres points .c, 6, V et c! et, reportant l'échelle sur le tableau, on aura en c, b, b' et c' des points des cercles concentriques demandés. On recommencera cette opération plusieurs fois et on joindra par des courbes continues, qui seront ordinairement des ellipses, mais qui (voir § 86) pourraient être des hyperboles ou des paraboles, les points qui répondent à un même cercle. A '/ / Remarque. — Cet exemple est de nature à faire comprendre ce qui doit guider le perspecteur dans l'application des méthodes de perspective directe. On voit comment après avoir accepté comme exacte la perspective d'un premier cercle on en déduit celle d'autres cercles, sans avoir recours à l'épure. On pourrait croire préférable, au point de vue. de l'exactitude, de revenir à l'épure et d'établir avec autant de précision que possible lés autres cercles sans s'occuper du premier. Ce serait mauvais au point de vue du dessin. Il faut admettre que le premier cercle présente quelques fautes, et si l'on dessinait les autres avec une précision absolue les erreurs seraient beaucoup plus choquantes que si, admettant, comme nous l'avons fait, le premier cercle comme bien mis en place, nous en déduisons, point par point, ceux qui lui sont concentriques. § 83. — Application au plan d'un escalier circulaire. La figure 138 donne le plan géométral de l'escalier à une l'échelle quelconque figurée sur le croquis. — Le cadre de la feuille est indiqué en M, M, M... ;. On s'impose l'obligation de ne pas sortir sensiblement de ses limites. — On a pris en X Y la position du tableau et on a tracé en YA' et XZ les côtés de l'angle optique, en ayant soin, si l'on veut que le point principal P tombe au milieu du tableau, de prendre égaux entre eux les angles faits en X et Y par les côtés de l'angle optique et par la base du tableau. (1) On voit que cette construction permet de restituer non-seulement le contre du cercle mais encore, en P, le point principal. — La diagonale m'n prolongée jusqu'à l'horizon restituerait le point principal de distance ; Ce point sera presque toujours inaccessible. — Mais, si on prenait le tiers ou le quart de A n, en y joignant le centre I, on aurait une ligne de resection 1/3 ou 1/4, qui donnerait le point tiers, ou quart de distance, probablement accessible. �— Flg"138 68 — On voit de suite que ces côtés prolongés se rencontreraient hors de la feuille. L'horizon est suppos.é à 3 mètres de hauteur. On fait alors une réduction proportionnelle. 11 y a bien des manières de la faire ; nous' avons adopté la suivante : On a pris en Xy' le quart de XY. Par y' on a mené une parallèle à YA' et on a obtenu un point O' que l'on nomme l'œil réduit. Il est évident que Xy'O' est une réduction, au quart, des côtés de l'angle optique. On abaisse O'P' perpendiculaire sur XY et on a en O'P' le quart de la distance principale. On voit que O' tient à très peu près dans la feuille. — S'il n'avait pas tenu on aurait fait une réduction au cinquième ou au sixième. Cela posé : prenons comme dominantes les lignes telles que AD, parallèles à l'axe du dessin. Employons donc la méthode des points accidentels de fuite : De l'œil réduit O', menons O' f parallèle aux dominantes et, portant XP égal à quatre fois X/, nous avons en P le point de fuite des dominantes, le même que si nous avions à notre disposition l'œil non réduit et que nous ayons mené par lui une parallèle aux dominantes. La distance accidentelle S, sera égale à 4 fois O' f. Cela posé on ne met en perspective, par la méthode générale, que les lignes DD'-CCBB'- A A' et les dominantes numérotées I, II, III, IV et V. • Tableau (fig. 140). — On voit en h h' xy le petit tableau : La hauteur d'horizon a été prise égale à 3 mètres mesurés sur l'échelle de l'épure. En P on a reporté le point de fuite des dominantes (FA du tableau — FX de l'épure). — On a joint Fx — F y et on a pris le grand tableau XY aussi grand que le permettait la feuille ou 81 la toile. Ici le grand tableau est environ les — Fig. 139 ° 46 du petit tableau. — Le l'apport d'amplification est donc très compliqué. On a porté, sur l'horizon, la longueur F. 8 égal à 4 fois O' f de l'épure, et S est le point de distance réduit de la direction F. En réalité 46 c'est le point — de distance. 81 . MISE EN LARGEUR. — On a reporté sur l'échelle des largeurs xy les points I, II, III, IV, V pris sur le bord du tableau XY dans l'épure. On a mené les dominantes FI, F, II, etc MISE EN PROFONDEUR. — Afin de ne pas sortir du cadre on a mis en profondeur les points situés sur les dominantes II et IV. — On voit en Z' et Z" sur le tableau la position des bandes de papier qui ont servi pour cela. — Il est inutile d'insister, la méthode ayant été exposée en détail dans un chapitre précédent. �— 69 — A ce moment nous n'avons encore obtenu (tableau) que les perspectives DD'-CC- A A', du demi-carré circonscrit lig. uo Tabl au plus grand cercle, et que cb-c' b', perspective du demi-carré circonscrit au plus petit cercle. Tout le reste va s'obtenir par les procédés de la perspective directe. On commencera par compléter en Ai A'i en se servant des diagonales, la perspective entière du carré, afin d'avoir, tout à l'heure, pour repères sur les côtés du carré les 3 points A, C et Ai, car on sait que pour employer les - échelles il faut trois points de repère. LES MARCHES. — De chaque côté de l'axe il y aurait 7 marches; l'éspacedes deux premières est occupé par le palier. On construira donc (fig. 139) une échelle circulaire répondant à la division du demi-cercle en 1-4 parties égales et se servant de l'échelle et de la bande de papier comme on sait, on obtiendra (tableau) en 1, 2, 3, 4 les extrémités des marches sur la grande circonférence. On obtient de même les extrémités situées sur la petite circonférence. BALUSTRADE ET MARCUES PLACÉES EN AVANT (R, Q, P ). On relève sur l'épure (fig. 138) les points I, M, N, S, P, Q et R, parmi lesquels les 3 points I, M et P serviront de repères. On construit (fig. 141) une échelle sur cette division et s'en servant comme nous avons dit au paragraphe précédent et comme l'indique la bande de papier placée en Z'" sur le tableau et ensuite en Z'" sur l'échelle (fig. 141', on aura autant de points que l'on voudra des balustrades et des marches centrales. Le reste de l'épure se comprend facilement. Nous engageons le lecteur à exécuter lui-même cette épure ou une autre analogue. Perspective, ipticnic Leçon. § 87. — Cas particuliers de la perspective d'un cercle horizontal. — Ellipse, hyperbole ou parabole. Le croquis perspectif de la figure 142 montre en T la position du tableau, en O celle du point de vue. Nous avons nommé plan neutre, le plan S qui est mené par l'œil parallèlement au tableau, et ligne neutre, LQ, son intersection avec le géométral. Il est facile de voir qu'un point quelconque M, ou N du plan neutre a sa perspective sur le tableau reculée à l'infini, car le rayon visuel OM, du point M, étant parallèle au tableau rencontre ce dernier à l'infini. �— 70 — Par conséquent si, dans un tableau, nous voyons deux droites, que nous saurons être dans un môme plan, avoir pour perspectives deux lignes parallèles, loin d'en conclure qu'elles sont parallèles en réalité dans l'espace, nous pouvons affirmer, au contraire, qu'elles se rencontrent dans le plan neutre. Il n'y-aurait d'exception que si les deux droites étaient de front. Dans ce cas le parallélisme se conserve en perspective. Gela posé ; un cercle peut avoir pour perspective, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. 1° L'ellipse estime courbe fermée qui n'a pas de branches infinies ; Pour que la perspective d'un cercle donne une ellipse il faut donc qu'au112 cun des points du cercle ne soit dans le plan neutre ; c'est le cas du cercle GP (fig. 142). Nota. — Une partie du cercle, telle que P, peut être située dans la région intermédiaire, c'est-à-dire comprise entre le tableau et le plan neutre, sans que la perspective cesse d'être une ellipse. 2° L'hyperbole présente des branches infinies avec des asymptotes ; ces dernières sont des tangentes aux points situés à l'infini. Pour- que la perspective d'un cercle donne une hyperbole, il faut donc que le cercle occupe une position analogue à GMN, c'est-à-dire rencontre le plan neutre en deux points M et N. Ces points M et N se nommeront les points neutres du cercle et se'perspectiveront à l'infini sur le tableau. 3° Asymptotes. — Menons les tangentes en M et N aux points neutres ; mettons-les en perspective et nous aurons les tangentes à l'infini, c'est-à-dire les asymptotes. Les points G et H, où elles rencontrent le tableau , sont à eux-mêmes leur perspective ; joignons OM et ON, les perspectives seront I' H et I'G parallèles à OM et à ON. 4° Parabole. — Si le cercle occupe la position EK, c'est-à-dire s'il est tangent au plan neutre, en E par exemple, ce point E se perspectivera aussi à l'infini comme les points M et N ; mais la tangente au cercle LQ étant dans le plan neutre, se perspective toute entière à l'infini, ce qui veut dire qu'elle n'existe plus.'Donc, dans ce cas, la perspective sera unecourbe à branche infinie, mais sans asymptote ; ce sera donc une parabole. § 88. — Application. — Perspective des bancs d'un cirque. On peut observer tous ces cas de perspective lorsque (fig. 143) on est placé en O sur Fis- !î4 des bancs d'un Un cirque. On peut se figurer le tableau placé en xy, en avant du spectateur, et, si ce dernier regarde le centre I de l'arène, alors le plan neutre LQ est tangent au cercle du banc sur lequel on est assis. — Donc ce cercle PP apparaîtra (voir fig. 144) suivant une parabole P' I". Les deux cercles (fig. 143)Ei et E2 placés en avant de lui auront pour perspective des ellipses- �— 71 — E' et B' (flg. 144). Enfin, les deux cercles Hi et Ha qui passent derrière le spectateur apparaissent sur le tableau suivant des hyperboles H' et H'. Remarque sur la position prise par la ligne neutre quand on relève le géométral. § 89 La figure 143 représente une coupe faite par un plan vertical perpendiculaire au tableau. XT est le tableau, — LS le plan neutre, — 0 le point de vue, — Z est une charnière autour de laquelle on a relevé le géométral. — La ligne neutre L a pris la posiFi g. 145 tion Li : la perspective de la charnière se fait en 71 et celle de la ligne neutre relevée Li se 116 fait en V. s Or les triangles semblables donnent : I) J1 G z 0 H L C V T Z' V ZLi 0 71 OZ LX LZ et comme L Z — Z Li, il en résulte que : 71V — L X (distance principale). D'où il résulte ce fait assez important : Si, dans un tableau (flg. 146), on fait autour d'une charnière de front quelconque x' y' un 2, relèvement du géométral, la ligne neutre se relèvera, soit au-dessus, soit au-dessous de la charnière, en LiQi à une distance de la charnière toujours égale à la distance principale D, et cela aura lieu quelque loin ou quelque près du tableau que soit placée la charnière x' y'. . ' Cette remarque peut trouver son application dans certains problèmes de tangence, comme celui-ci : Problème. — Connaissant la perspective du carré circonscrit à un cercle du géométral, déterminer directement le point de la perspective du cercle pour lequel la tangente est parallèle à une direction donnée, et en particulier est perpendiculaire à la ligne d'horizon. Si le cercle est le cercle de base d'une colonne, la tangente verticale sera le contour apparent de la colonne. Nous engageons le lecteur à chercher la solution de ce problème, quoique dans la pratique du dessin perspectif on préfère tracer d'abord, par points, la courbe, perspective du cercle, comme nous l'avons indiqué plus haut, après quoi on lui mène les tangentes par simple appréciation du contact. T �CHAPITRE VII PERSPECTIVE DES PLANS 1RRÉGULIERS. — CRATICULAGE § 89. — Méthode par les carreaux (ou craticulage) pour mettre en perspective des plans irréguliers. 1° Craticulage du plan. — Soit (flg. 147) un' plan irrégulier à mettre en perspective, XY la position du tableau et XZ, YZ' les côtés de l'angle optique. On couvrira le plan par un réseau de lignes de front (lignes a, b, c, d ) et de lignes principales (numérotées 1, 2, 3 à gauche et 1, 2, 3 à droite). — Ces lignes seront équidistantes et formeront un réseau de carrés égaux entre eux. C'est ce que l'on nomme un craticulage. Nota. — Autant que possible on fera en sorte que les côtés des carrés représentent à l'échelle du dessin une longueur exacte, par exemple, 1 mètre, 2 mètres, etc Sur le croquis (flg. 147), ils représentent 5 mètres. 2° Mise en perspective du réseau (flg. 148). — On a comme à l'ordinaire en xij — h h' le petit tableau; sur ïjona reporté les longueurs 1, 2, 3... 1, 2, 3... prises sur l'épure et les fuyantes principales sont mises en perspective. Le grand tableau est XY; il est une amplification tout à fait quelconque du petit tableau. — Pour mettre en profondeur les lignes de front a, b, c il faudrait connaître soit le point de distance, soit le point de demi ou tiers de distance du grand tableau. Mais remarquons d'abord que la feuille d'épure (flg. 147),. est trop petite pour avoir la position du point de yueet par conséquent pour en déduire la distance. Nous lèverons la difficulté en prenant sur l'épure, de Y en T, le tiers de la demi-largeur du tableau ; la ligne principale 1 TS nous donne donc en TS le tiers de la distance. Portons cette distance T S, de P en — d sur le tableau, nous aurons en 1 ■ d — d le point tiers de distance du petit tableau. — Ainsi une ligne telle que 1 — du petit tableau fuirait à ce point tiers do^ 3 3 distance. Mais le grand tableau étant une amplification du petit tableau, si, par le point 1 ' (grand tableau), homologue du point 1 (petit tableau), nous menons une vraie parallèle 1/8 à 1 siblc d'ailleurs) du grand tableau. 1 Cela fait, l' S est une ligne de resection — ; donc elle recoupe les fuyantes 2', 3', 4' en des points qui appartiennent aux lignes de front, de trois en trois, c'est-à-dire aux lignes c, f,i traits pleins sur lè tableau. Pour avoir les lignes intermédiaires ab — de Pour les distinguer, nous les avons marquées en 4-, cette ligne l'S fuira au point tiers de distance (inacees- 1° nous menons des diagonales telles que 1'V —V'V — V"V" ;. �— 73 — 2° nous divisons O' V en trois parties égales aux points a, |3 ; 3° nous menons les fuyantes aP — pp, et 4° par les points de recoupement avec les diagonales, nous traçons les lignes de front intermédiaires. Le réseau est ainsi mis en perspective. — En menant, dans toute leur longueur, les diagonales on aurait de nombreux points de vérification. 3° Mise en perspective du plan. — On placera les points les plus importants des courbes ou des lignes droites du plan Fig. 14S et les lignes se traceront ensuite au sentiment. On considérera quatre catégories de points : («) Point tel que M (épure) placé au croisement de deux lignes du réseau. M sera le point b 2, c'est-à-dire placé au croisement de la ligne b et de la ligne 2. On le place immédiatement en M sur le tableau au croisement des lignes b et 2 de la perspective. (6) Point tel que N (de l'épure), placé sur la ligne de front e, entre les fuyantes 2 et 3. — On le placera de même en N sur le tableau, soit en évaluant sur le côté de front du petit carré le rapport de division à vue d'œil, soit en portant sur l'échelle des largeurs xy, un segment In égal au segment correspondant de l'épure et menant la fuyante PnN. (c) Point tel que G (épure), placé sur une fuyante (2 par exemple, entre les lignes de front b et c). On mène (tableau) la diagonale tu du petit carré ; on porte le segment tG pris sur l'épure de 2 en t' sur la base xy du petit tableau qui est l'échelle des largeurs. On mène la fuyante^ {'Y, jusqu'en \ sur la diagonale tu du petit carré et on trace la ligne de front Y G. (d) Point quelconque tel que L. On combine la mise en largeur et la mise en profondeur dans un carré en opérant comme nous venons de l'indiquer § b et § c. Fi 149 11 serait plus commode encore, pour un point tel que L (flg. 149), qui n'est pas situé ; sur une ligne de front, de le joindre au sommet d'un carré quelconque tel que a, et de prendre en & ou en c l'intersection de cette droite avec une ligne de front. -r—, Le point a se mettra immédiatement en perspective ; le point c se placera en appré\j ciant le rapport dans lequel il divise le côté de front 2 3. — Ce rapport se conserve en f\ perspective. Il suffira, le plus souvent, de faire cette appréciation à vue. Par le point L sur ; \b \ l'épure, on mènera une autre ligne, par exemple une ligne principale L f: on la mettra de même en perspective et le point L sera au croisement des deux lignes auxiliaires «L et L f. 1 f s cs 4° Mise en hauteur d'un point W. — Supposons que l'on veuille mettre en hauteur le point W situé à plomb du point N, sachant que W est à 15 mètres de hauteur au-dessus de N. — Sur la ligne de front l, sur laquelle se trouve le point N, on sait qu'une des divisions représente o mètres, on prendra donc la verticale N W égale à 15 mètres, c'est-à-dire à 3 divisions . Nota. — Sur le tableau (fig. 148), le plan n'est pas complètement mis en perspective. Il sera facile d'achever. § 90. — Généralisation de la mise au carreau. Cette méthode, bien appliquée, est très exacte et surtout très rapide ; Yiollet-Leduc l'employait presque exclusivement pour la mise en place perspective des admirables dessins dont il a, avec tant de prodigalité et de talent, enrichi ses ouvrages. Un dessinateur qui voudrait se spécialiser dans la mise en perspective pourrait s'organiser de la manière suivante : D'une part, il aurait une série de papiers transparents sur lesquels auraient été tracés des réseaux analogues à celui de la figure 147. Ces feuilles différeraient les unes des autres par les dimensions des côtés des carrés. Ayant un plan à mettre 10 I �en perspective, on placerait un de ces réseaux transparents sur le plan en le fixant sur la planche par un moyen quelconque. Dé cette façon on n'aurait pas à tracer le réseau sur l'épure, laquelle resterait intacte et sans aucune ligne de construction. D'autre part, sur des feuilles blanches, non transparentes cette fois, on aurait à l'avance exécuté des perspectives de ces réseaux, analogues à la figure 148, avant qu'on n'y ait rien dessiné. Ces réseaux perspectifs différeraient les uns des autres par l'écartement des lignes et par la hauteur d'horizon. Gela fait : sur le réseau perspectif que l'on aurait choisi, on fixerait une feuille de papier transparent, ayant les dimensions que l'on veut donner au tableau et c'est sur elle que, sans avoir à retracer le réseau perspectif, puisqu'il apparaîtrait au travers, on exécuterait directement la perspective du géométral donné. De cette façon, grâce à cette double collection de quadrillages géométraux et de quadrillages perspectifs, les premiers sur calque et les seconds sur feuilles ordinaires, il serait possible d'exécuter les perspectives les plus compliquées sans faire, pour ainsi dire, aucune construction graphique auxiliaire. �TITRE II PERSPECTIVE DES ÉLÉVATIONS CHAPITRE VIII PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA MISE EN HAUTEUR Huitième Leçon. § 91. — Mise en hauteur d'un point. Problème. — Etant donné la projection m d'im point sur le géométral et connaissant la hauteur vraie h de ce point,, au-dessus du géométral, construire la perspective M de ce point. — Cette opération se nomme la mise en hauteur du point M (fig. 130). Si la perspective du plan a été faite comme nous l'avons indiqué dans les leçons précédentes, il existera toujours un plan de front xy, celui que nous avons appelé le petit tableau, dont nous connaîtrons l'échelle. Supposons que cette échelle soit ici 1/200, c'est-à-dire de cinq millimètres pour un mètre. Si au lieu d'être en m le point était reporté en m'r sur la base xy du petit tableau, base que pous avons appelée Y échelle des largeurs, en prenant la verticale m" M" égale à la hauteur h donnée, réduite à l'échelle (ici nous l'avons supposée de 3,u, 30) ; le point M" serait mis en hauteur. Gela posé, menons par m une fuyante quelconque Pm. Par le point m" où elle rencontre l'échelle des largeurs, menons la verticale m"M" zz 3m,50, hauteur donnée à l'échelle; puis la fuyante PM" jusqu'à la rencontre en M avec la verticale du point m. On aura évidemment, dans l'espace, m M — m" M", mais m"M" — h — 3m,50, donc le point M est bien dans l'espace à une hauteur /* au-dessus de la projection m. M est donc le point cherché. § 92. — Emploi d'un mur fuyant auxiliaire. — Echelle des hauteurs. La construction précédente aurait pour inconvénient de tracer de nombreuses lignes dans la partie importante du tableau. Lorsque l'on a une sérié de points à mettre en hauteur, on procède comme il suit : Sur le côté du tableau, en h'Y, on trace une fuyante quelconque ayant une inclinaison aussi voisine que possible de 43°, afin de donner plus de précision aux recoupements. Cette droite est la trace sur le géométral d'un mur vertical fuyant. Soit xi le point où l'échelle des largeurs rencontre la trace h'Y de ce mur. La verticale xi z se nomme échelle des hauteurs. Il est évident que toute hauteur portée sur cette droite se perspective à la grandeur qu'elle posséderait sur l'épure, ou, pour parler plus généralement, se perspective à l'échelle qui caractérise le plan de front xyxy. �— 76 — Fig. 150 Cela fait : pour mettre le point M en perspective, on porte, à l'échelle voulue, sa hauteur h de xi en m'i sur l'échelle des hauteurs. On trace la fuyante h' m'i dans le mur fityant. On l'arrête en Mi sur la verticale du plan de front qui passerait par m.— Puis on reporte la hauteur nii Mi sur la verticale du point m, de m en M, ce qui donne le point cherché. On remarquera que dans une épure faite par cette méthode, sur une planche à dessin, toutes les lignes de construction se tracent avec le té et avec l'équerre, ce qui permet de les exécuter rapidement et presque sans laisser de trace sur l'épure. Si l'élévation et le plan n'étaient pas donnés à la même échelle sur l'épure, l'échelle des largeurs et l'échelle des hauteurs ne seraient pas dans un même plan de front. § 93. Application à la perspective d'une croix. (a) EPURE. — On a (flg. 151) l'épure géométrale de la croix en plan et élévation— x y est la base du tableau, o le point de vue — h h' la hauteur d'horizon. Les dominantes du plan sont les lignes a, b, c, d, e, g, dont le point de fuite / est accessible. (b) PERSPECTIVE DU PLAN SUR UN GÉOMÉTRAL ABAISSÉ (fig. 152).— Nous prenons, comme cela a ét^é dit plus haut, en x y un petit tableau égal en grandeur à celui de l'épure. — Le point de fuite est reporté en f; nous menons les fuyantes f x — f y et nous les arrêtons en X et Y lorsque la largeur X Y est celle que nous voulons donner au tableau (Le petit tableau x y avait 31mm de large ; le grand tableau en a 88; Fie-,51 le rapport d'amplification est donc—-, il est compliqué.) 88 Seulement nous descendons X Y en X ' Y ' aussi bas que la feuille de papier le permet, et, gardant le même horizon h h', c'est sur un géométral qui aurait X' Y' pour ligne de terré, c'est-à-dire abaissé au-dessous du vrai géométral X Y de toute la hauteur X X' que nous faisons la perspective du plan. On voit cette perspective en 1 4 m n, etc Il est inutile d'expliquer comment elle a été obtenue (voir § 58). (c) MISE EN HAUTEUR. — Nous remarquons (épure) que les points de l'objet à représenter sont à cinq niveaux différents ; il y en a sur le sol (hauteur zéro) puis aux niveaux indiqués en chiffres romains I, II, III, IV. Nous prenons, sur la droite du tableau, en disposant de toute la place libre qui reste sur la feuille, un mur vertical fuyant dont H ' a est la trace sur le géométral vrai (niveau zéro) et dont H'a' est la trace sur le géométral abaissé. En OZ, dans le plan de front du petit tableau, nous traçons une verticale qui est Y échelle des hauteurs, et nous y reportons en I, II, III, IV, les différents niveaux. Le croquis de la moitié de la croix que l'on voit en pointillé à droite de l'échelle des hauteurs aide à se reconnaître dans ces différents niveaux ; il n'est pas indispensable. Nous menons les fuyantes horizontales H' I, H' II, etc Cela fait : soit à mettre le point M (épure) en hauteur : Il est au niveau n° II. Sa perspective sur le géométral abaissé (tableau), est m. — On mène la ligne de front m m' jusqu'à la rencontre en m' avec H' V.— On mène la verticale m M'2 que l'on arrête en M'a au niveau n° II, et on reporte finalement M'2 en Ma à plomb, du point m, par une ligne de front M'2 M2. �— 77 — On opérera de môme pour un certain nombre de points convenablement choisis. Avec un peu d'habitude, cette mise en Fig. 152 hauteur se fait très vite et presque sans laisser de traces sur le tableau, car il n'y a pas besoin de dessiner les lignes de construction dans toute leur longueur. ; �— 78 — La considération du point de fuite accessible auquel doivent converger toutes les dominantes, donnera des vérifications nombreuses et permettra de réduire considérablement les points à mettre directement en hauteur. Nota. —- Le lecteur fera bien, pour se familiariser avec la méthode, de mettre en perspective des objets simples don>t le relevé géométral aura été fait préalablement. On prendra comme premiers exercices un tabouret, une table, un perron, un escalier. On terminera par un entablement d'architecture : Voir plus loin, titre III, relevé d'un fragment d'architecture (1). (1) Nous croyons être utile au lecteur en lui donnant quelques énoncés des épreuves de relevé géométral et de perspective données aux examens pour l'obtonlion des certificats d'aptitude à renseignement du dessin dans les établissement universitaires de France. Session de 1882. — Premier degré. 1° EPREUVE DE DESSIN GÉOMÉTRAL. — Tracé géométral d'une base, d'un chapiteau et d'un entablement ioniques, d'après des modèles en relief. — On donnera de ces objets : t" Un plan comprenant la projection des moulures ; — 2" Une élévation ; — 3» Une coupe. — On déterminera les ombres des modèles, les rayons lumineux étant supposés parallèles à la diagonale d'un cube. — Ces tracés porteront l'échelle à laquelle ils seront exécutés; ils devront couvrir une feuille de demi grand-aigle. — (Les modèles choisis étaient ceux qui portent sur le catalogue de l'Ecole des Beaux-Arts les numéros 2772 (base : prix 16 fr. 50), 2773 (chapiteau 21 fr.), 2774 (architrave et frise 15 fr.), 2775 (corniche, lre partie, 19 fr.), 2776 (corniche, 2° partie, 11 fr. 50). Les 5 pièces réunies, prix 75 fr.) 2° EPREUVE DE PERSPECTIVE. — Mettre en perspective un entablement ionique et un prisme hexagonal, d'après des modèles en relief. — La distance du spectateur aux modèles et la distance des modèles au tableau, la hauteur de la ligne d'horizon et la position du point principal sur cette ligne sont laissées au choix des candidats sous les réserves suivantes : 1» La face ornée de l'entablement sera parallèle au tableau ; — 2" Les moulures supérieures de l'entablement seront au-dessus de la ligne d'horizon : — 3° Le prisme hexagonal, portant dos divisions linéaires, sera placé sur le sol en avant do l'entablement Les arêtes des côtés de cet objet seront horizontales, elles ne formeront, avec le tableau, ni un angle de 45°, ni un angle de 90" ; — 4° La figure perspective de l'entablement couvrira au moins le tiers d'une feuille demi grand-aigle. Ombles. — On déterminera les ombres des objets représentés (ombres propres et ombres portées). La direction des rayons lumineux est laissée au choix des candidats (L'entablement ionique était celui indiqué ci-dessus numéros 2774, 2775 et 2776 du catalogue de l'Ecole des Beaux-Arts. Pour prism; hexagonal on pourra prendre le prisme en zinc peint en blanc de la collection des Lycées et des Ecoles normales. (Edr Charles Delagrave, 15, rue Soufflot.) Prix 5 fr.) Même session. — Degré supérieur. Mettre en perspective un entablement corinthien et un piédouche, d'après des modèles en relief. — La distance du spectateur aux modèles et la distance des modèles au tableau, la hauteur de la ligne d'horizon et la position du point principal sur cette ligne, sont laissées au choix dos candidats sous les réserves suivantes : 1° L'entablement sera représenté dans une position quelconque, c'est-à-dire qu'il ne formera, avec le tableau, ni un angle de 45°, ni un angle de 90"; — 2" Les moulures supérieures de l'entablement seront au-dessus de la ligue d'horizon ; — 3° Le piédouche sera placé sur le sol en avant de l'entablement ; l'axe de cet objet sera vertical ; — 4° La figure perspeetive de l'entablement couvrira au moins le tiers d'une feuille grand-aigle. EPREUVE DE PERSPECTIVE. — Ombres. — On déterminera les ombres des objets représentes (ombres propres et ombres portées). La direction des rayons lumineux est laissée au choix des candidats. (Le modèle choisi comme entablement corinthien était celui do la collection officielle des Lycées, Collèges et Ecoles normales, portant suite catalogue de l'Ecole des Beaux-Arts les numéros 2825 (architrave et frise 34 fr.), 2S26 (corniche, lr° partie, 38 fr.), 2827 (corniche, 2° partie, 68 fr.). — Le piédouche peut être pris quelconque.) Session de 1883. — Premier degré. 1° RELEVÉ GÉOMÉTRAL. — Même énoncé que ci-dessus. — Les modèles étaient : un entablement dorique (numéros 2769 et 2770, prix 41 fr. 25, du catalogue do l'Ecole des Beaux-Arts) et un vase. Ce dernier devait être placé sur l'entablement. 2" EPREUVE DE PERSPECTIVE. — Même énoncé qu'en 1882 et mêmes modèles. Même session. — Degré supérieur. Même énoncé qu'en 1883.— Les modèles étaient : un ordre dorique (numéros 2768, 2769, 2770, prix 60 fr ) et un vase. Le vase, dont l'axe devait être vertical, devait reposer sur l'entablement. EPREUVE DE PERSPECTIVE. — Session de 1884. — Premier degré. 4° RELEVÉ GÉOMÉTRAL. — Relevé d'un tombeau lycien (Quantin, édr, rue Saint-Benoit, Paris). — On donnera : 1° Un plan entre les traverses inférieures du monument ; les saillies situées au-dessus de la section seront projetées ; —■ 2° Une élévation de face ; — 3° Une élévation latérale ; — 4" Une coupe entre les montants du tombeau ; les saillies situées derrière la section seront projetées. — On déterminera les ombres du modèle, les rayons lumineux étant supposés parallèles à la diagonale d'un cube. — Ces tracés porteront l'échelle à laquelle ils seront exécutés ; ils devront couvrir une feuille "demi graDd-aigle. 2" EPREUVE DE PERSPECTIVE. — Mettre en perspective un tombeau lycien et un fragment de colonne égyptienne (Quantin. édr). — La distance du spectateur aux modèles et la distance des modèles au tableau, la hauteur de la ligne d'horizon et la position du point principal sur cette ligne sont laissées au choix des candidats, sous les réserves suivantes : 1" La face principale du tombeau sera parallèle au tableau ; — 2" L'entablement sera au-dessus de la ligne d'horizon ; — 3° Le fragment do colonne sera incliné et aura son axe compris dans un plan perpendiculaire ou parallèle au tableau ; ce fragment sera disposé de façon à ce qu'il n'oppose pas d'obstacle à la vue du tombeau. — On indiquera les lignes de construction nécessaires pour vérifier la justesse des tracés. —La figure perspective du tombeau couvrira au moins le tiers d'une feuille demi grand-aigle. Ombres. — On déterminera les ombres des objets représentés ; les rayons lumineux seront supposés en avant du tableau, l'inclinaison do ces rayons est laissée au choix des candidats. Même session. — Degré supérieur. Mettre en perspective un tombeau lycien et un fragment de colonne égyptienne. — La distance du spectateur aux modèles et la distance des modèles au tableau, la hauteur de la ligne d'horizon et la position du point principal sur cette ligne sont laissées au choix du candidat,, sous les réserves suivantes : 1" Le tombeau formera avec le tableau un angle quelconque, c'est-à-dire que cet angle ne sera ni de 45° ni de 90° ; — 2° L'entablement sera au-dessus de la ligne d'horizon ; — 3° Le fragment de colonne sera incliné et aura son axe compris dans un plan formant un angle quelconque avec le tableau; ce fragment sera disposé de façon a ce qu'il n'oppose pas d'obstacle a la vue du tombeau. — La figure perspective couvrira au moins le tiers d'une feuille grand-aigle. — On indiquera les lignes de construction nécessaires pour vérifier la justesse du tracé perspectif. ■ EPREUVE DE PERSPECTIVK. — Ombres. — On déterminera les ombres propres et les ombres portées des objets représentés. Le soleil sera supposé en avant du tableau. L'inclinaison des rayons lumineux est laissée au choix des candidats. Nota. — Le lecteur, arrivé en ce point du cours, fera bien de s'exercer a mettre en perspective, par les méthodes que nous avons données, les épannelagcs ou masses des modèles proposés pour ces concours. Il no s'occupera, pour le moment, que des épanuelages, car les détails devront être mis en place par les méthodes de perspective directe qui sont exposées dans les chapitres qui suivent. On gardera inachevées ces épures des masses et on les complétera plus tard, lorsque l'avancement du cours le permettra. �CHAPITRE IX PERSPECTIVE DIRECTE DANS L'ESPACE A. PROBLÈMES GÉNÉRAUX Perspective. vieme eçon. 94. — Représentation perspective d'un point du géométral. pe m£me que p0ur ie géométral nous avons à donner des méthodes permettant de résoudre directement des problèmes sur des figures déjà mises en perspective par les procédés généraux. Il importe d'abord d'être fixé sur la position perspective d'un point du géométral suivant que ce point est situé : 1° dans la partie réelle (c'est-à-dire au-delà du tableau) ; 2° dans la partie intermédiaire (entre le tableau et le plan de front du spectateur ou plan neutre) ; 3° dans le plan neutre ; 4° dans § la région virtuelle (c'est-à-dire en arrière du plan neutre). La figure 133 montre tous ces cas. 1° Le point a est dans la région réelle; sa perspective a' (voirie tableau flg. 154) est au-dessous de l'horizon, mais audessus de la ligne de terre X Y, ou base de tableau. Fig. 153 . Fig. 15i 2° Le point b, dans la région intermédiaire, a sa perspective b' située au-dessous de la ligne de terre, en dehors du cadre. 3° Le point g situé dans le plan neutre aurait sa perspective à l'infini. 4° Enfin le point c dans la région virtuelle, a une perspective c' tout à fait de convention, puisque le rayon visuel c o, passe par l'œil avant de percer le tableau : Aussi dit-on que c'est un point virtuel. Nous aurons, pour les problèmes d'ombre, à faire usage de points virtuels analogues au point c'. — Sur le tableau (flg. 154), la perspective c' se trouve au-dessus de l'horizon. Il y a dans ce cas un renversement apparent des positions occupées par le point c et par sa perspective, renversement avec lequel il faut se familiariser. Ainsi le point c est au-dessous du plan d'horizon, sa perspective c' se tient au contraire au-dessus. — Le point c était à gauche du point de vue o ; sa perspective c' se trouve au contraire à droite du point principal p. �— 80 — § 95. — Perspective d'un point de l'espace (flg. 155). Un point, pour être bien déterminé, doit être donné sur un tableau par sa perspective propre A, et sa perspective géométrale a, c'est-à-dire la perspective de sa projection a sur le Fig. loo géométral. Par conséquent nous désignerons toujours un point par r deux lettres; la grande lettre s'appliquera au point lui-même et la petite lettre à sa projection géométrale. 1° A a représente un point dans l'espace réel : le point A est < î situé au-dessus de l'horizon. < h p H a 1 k p r ( 2°Bft est aussi un point réel, mais B est placé au-dessous de l'horizon. 3° F f est un point situé à l'infini: On le reconnaît à ce que son géométral f est placé sur l'horizon, c'est-à-dire à l'infini. F sera donc un point de fuite. 4° C c est un point de l'espace intermédiaire. Il est au-dessus de l'horizon. 5° G g est un point virtuel: On le reconnaît à priori, à ce que son géométral g est au-dessus de l'horizon. Le point G est donc situé derrière le spectateur. Pour mieux juger encore de sa position on dira : G apparaît en perspective, à droite de la verticale principale P p. Donc, en réalité, à cause du renversement, le point G de l'espace est à gauche du spectateur. La perspective G est au-dessous de l'horizon. Donc, le point de l'espace est au-dessus du plan d'horizon. § 96. — Perspective d'une droite. — Recherche de sa trace géométrale (fig. 156). Il suffit de prolonger la droite de l'espace jusqu'à la rencontre avec la droite qui est sa projection sur le géométral. 1er cas : droite AB — a b. La trace géométrale Fig. lSf . .. O h \ a < T B / \ K: > m \ \\ r C) l^cas \ s? cas — 3? cas D 4? cas/ m est réelle. 2B cas : droite CD — c d. La trace géométrale est à l'infini en / sur l'horizon: La droite AB de l'espace est horizontale et parallèle à la droite en géométral a b. 3° cas : G K de l'espace est parallèle, sur le tableau, à son géométral g k; or, ce n'est pas une ligne de front ; on le reconnaît à ce que le géométral g k n'est pas parallèle à la ligne d'horizon : on en conclut donc que G K et son géométral g k, loin d'être parallèles dans l'espace, se rencontrent, au contraire, clans le plan neutre. 4e cas : Droite M N — m n. La trace est virtuelle, et obtenue en t : ce qui veut dire que la droite perce le géométral enarrière du spectateur ; et de plus, comme t apparaît à droite du point principal P, le point t de l'espace, en vertu du renversement des figures virtuelles, est en réalité à gauche et en arrière du spectateur. § 97. — Problème 1 (fig. 137). — Trouver l'intersection d'une droite AB - ab et d'un plan vertical KLfc (un pareil plan se nomme un mur). Solution. —Un mur se projette géométralement tout entier suivant sa trace géométrale kl. Par conséquent, en relevant par une verticale le point m (où la droite en géométral Fig. I5S Fig. 157 rencontre la trace du mur) en M sur la droite, on a le point A. ! v ^ \. .K s' ] 3 cherché. S' ivPf -Mur H 1 1 i 1 1 k sj § 98. — Problème 2 (fig. 158). — Trouver l'intersection d'une droite quelconque MN-mw et d'un plan quelconque défini par 3 points Aa - Bb - Ce. Solution. — 1° Par la droite on fait passer un murauxiliaire dont la trace géométrale est mil ; �— 81 — 2° On prend en 1 relevé en 1 ' et en 2 relevé en 2' les intersections de ce mur avec les droites AC et BG du triangle, ce qui donne en 1 '2' dans l'espace l'intersection auxiliaire Fig. 159 du mur et du triangle ; 3° Le point N n où la ligne de l'espace recoupe 1'2 ' est le point d'intersection cherché. / !v ! B ' V/ / / \ N JP ! Remarque. — Si M étant un point de l'espace, MN - mil était un rayon lumineux, le point N serait l'ombre portée par le point M sur le plan du triangle ABC. § 99. — Problème plans (flg. 159). 3. — Trouver l'intersection de deux h A A'-' r A ix | 7;V / ,-|'' j iî\ —tirs ^~ Vi w/ T/ Y/3 77 Nous supposons chacun des plans défini par trois points qui sont sur le tableau, les sommets Aa-Bô-Gc et Mm-Nrc-Pp de deux triangles. Solution. — On coupe par deux plans de front auxiliaires. Le premier Zi donne dans chaque triangle une ligne de front, savoir : ai - Al' dans le premier triangle et 2 3 - 2' 3' dans le second. Ces lignes se recoupent en un point Xx qui est un premier point de l'intersection. Un deuxième plan de front Zg donnera un second point Yy. L'intersection est X Y - x y. Fig. 160 Nota. — Le tracé précédent montre comment on obtient une ligne de front J d'un plan quelconque. N . / B h f ,77' - § 100. — Problème 4. — Partager une droite de l'espace en parties proportionnelles à des longueurs ou à des nombres donnés (fig. 160). Soit AB - ab la droite à partager en trois parties qui soient entre elles comme les nombres 3, 2 et 4. Solution. — l°Par le procédé connu on partage aux points m' et n' le géométral ab de la droite dans les rapports donnés ; 2° On remonte par des verticales des points m' et n' aux points M et N dans l'espace. B. PERSPECTIVE DIRECTE DE MOULURES DROITES 'm' N a— 3 771 s n 4 i. § 101. — Moulures d'un piédestal isolé. Les moulures qui couronnent un édifice ou une partie d'édifice doivent avoir leur perspective bien en rapport avec la masse qu'elles accompagnent; c'est pourquoi on les met presque toujours en perspective par les méthodes directes, sans revenir à l'épure géométrale et en acceptant, comme bien mises en place, les masses ou épannelages (1) des moulures. Il suffit de connaître à une échelle quelconque le profil exact de la moulure, profil encadré dans son épannelage, pour la mettre ensuite en perspective en employant, comme nous allons le montrer, des échelles divergentes construites spécialement pour chaque cas. ; . 1° Masses et épannelages. — Nous supposons d'abord que la masse AA - BB... du piédestal a été mise en perspective (fig. 161) par les méthodes générales, ainsi que l'épannelage AGGD du couronnement et celui BKLQ du soubassement. Ces épannelages affectent ici la forme de parallélipipèdes rectangles. On les comprendra parfaitement en observant sur un édifice en construction les masses de pierre que les appareilleurs livrent aux sculpteurs lorsque le gros œuvre de la construction est terminé. 2° Profils. — On se donne (fig. 162) à une échelle quelconque le profil exact des moulures. Autour de ce profil on trace en A 'D'G 'G ' et en B 'K 'L'Q ' l'épannelage correspondant à celui qui a été mis en perspective. On prend en 1,2, 3, 4 12 les points importants de ce profil et on les projette sur les côtés du rectangle (1) L'épannelage d'une moulure est le bloc de pierre de forme simple, en général, dans l'intérieur duquel on Yient ensuite sculpter ou traîner la moulure. �— 82 — d'épannelage. On a soin, de plus, de prendre le centre I du rectangle d'épannelage et dé le projeter aussi sur les côtés 3° Echelles divergentes. — On cons Fig. 161 truit en S et en T deux échelles divergentes répondant aux points de division des. côtés du rectangle. L'échelle S sera l'échelle des ordonnées ou hauteurs. L'échelle T sera l'échelle des largeurs. On sait que pour se servir perspectivement d'une pareille échelle il faut trois points, c'est-à-dire trois lignes de repère. Ces trois lignes seront S C SA' et la ligne milieu SI'. Gela posé, revenons au tableau : Remarquons d'abord que si. l'on coupe une moulure cylindrique par un plan de section droite et par d'autres plans de sections obliques, les sections obliques seront toutes différentes de la section droite ; mais les ordonnées et les abscisses, autrement dit, les hauteurs et les abscisses ou f largeurs de toutes les sections resteront proportionnelles entre elles. La section oblique sera une dilation en largeur, et quelquefois aussi en hauteur, de la section droite. Par conséquent, pour mettre moulure ' on (droites ou correspond en place les lignes de la deux on sections déterminera du pratiquera obliques) ; les points dans le rectangle d'épannelage qui leur importants profil et on joindra deux à deux les points qui se correspondent. C'est à nous de choisir convenablement les plans.de section. Fig. 102 Dans le cas actuel, qui est le cas ordinaire, les moulures se retournent d'une face sur l'autre, par l'intermédiaire d'un plan dit de retournement, qui est ordinairement le plan bissecteur du dièdre formé par les deux faces. On choisira donc ce plan, car les points qu'on y aura placés serviront pour les deux faces. L'épure perspective se comprend facilement comme il suit : 4° Mise en perspective d'un profil de retournement. — On voit (fig. 161) en ACGD l'épannelage du plan de retournement. Les diagonales se croisent en I. On relève à la bande de papier les trois points de repère GIG; on porte la bande de papier en Z sur l'échelle T des largeurs en s'appuyant sur les 3 lignes de repère. On marque les points de division. On reporte la bande de papier sur le tableau et on marque les points. On fait de même pour les hauteurs, d'une part en CA, d'autre part en GD, et on déduit le profil perspectif 1, 2, 3, 4 (voir en plus grand la figure 163). �— Fig. 163 83 — Le reste de l'épure se comprend facilement. La figure 163 montre, en plus grand, les effets à observer aux environs-du retournement. On remarquera particulièrement, en dehors des lignes qui aboutissent à des angles, telles que 22'-33'-44'..., etc , les lignes tangentiellesr telles que mm' et n. Ces dernières sont des lignes de contour apparent. On remarquera aussi que les dessous plans et horizontaux, tels quecelui qui est compris entre les lignes S et" 6, doivent se retourner sans accuser de ligne d'intersection dans le plan de retournement. Nota. — 1° Pour ne pas embrouiller l'épure, le soubassement (flg. 161) ne comporte que les profils de retournement sans indication des constructions qui ont permis de les obtenir. Il resterait à joindre les points qui se correspondent. 2° Dans la pratique, avec un peu d'habitude, les architectes tracent au sentiment les profils dans les rectangles d'épannelage. Ces profils s'étagent en général sur des lignes droites qui ont des directions faciles à. retrouver, car elles partagent les côtés du rectangle dans des rapports qui sont ordinairement très simples. On met en place ces lignes d'étagement et, se guidant sur elles, on trace ensuite au sentiment le profil en perspective, mais cela demande une certaine habitude du dessin. § 102. — Moulures d'un fronton droit (fig. 164). Les frontons droits sont formés par des moulures à arêtes parallèles, mais inclinées sur le plan horizontal. Les moulures d'un fronton ne Fig. 104 sont autre chose que celles de la corniche que l'on incline en leur gardant la même section droite M N. Une section verticale AB, CD faite à la fois sur lefronton et sur la corniche, donne un profil ab cd fcj sur le fronton ayant les mêmes saillies que le profil c'd'f'g' delà corniche mais des hauteurs plus grandes. Pour mettre un fronton en perspective on établira par les méthodes générales la perspective des lignes extrêmes A A' et BB' de son épannelage; puis, on déterminera, commeci-dessus, deux profils verticaux, tels que AB, ce qui suffira. On fera bien de choisir le profil vertical GH (fig. 16S), suivant lequel se coupent les deux rampants du fronton, parcequ'il servira pour chacun d'eux. C. Perspective. Dixième Leçon. — PERSPECTIVE DIRECTE DES MOULURES CIRCULAIRES § 103. — Moulures d'une archivolte. L'archivolte est la moulure qui couronne une arcade. 1° Les masses (fig. 166). — (a) La masse de l'arcade a été mise en perspective par les méthodes générales. Un géométral quelconque donne en aa-a'a' le plan de l'arcade. Le carré circonscrit au cercle d'ouverture del'arcade est mis en perspective en A A Ai Ai par la méthode générale de mise en hauteur. (Le tableau ne porte pas trace de ces diverses constructions préalables.) �— F>S166 84 — (b) Du carré circonscrit A A Ai Ai on déduit l'ellipse perspective du cercle exactement comme on l'a fait dans la perspective du géométral, soit en se contentant de trouver le point milieu Ci et les points à 45° situés sur les diagonales du carré (c'est la méthode des huit points) soit, si l'arcade est divisée en voussoirs dont on veuille dessiner les joints, une en construisant circulaire échelle divergente répondant au nombre donné de voussoirs. (c) Le cercle extérieur de l'arcade BGQB est déduit du cercle qui vient d'être tracé en employant la mé thode donnée déjà pour les cercles concentriques.D'ailleurs son carré circonscrit possède les mêmes diagonales que le carré qui a "déjà servi. (d) Des cercles tracés dans le plan de laface antérieure a a de l'arcade on déduit les points NP....N'P' qui leur correspondent sur le plan de la face postérieure a' a', de la manière suivante : -M'a pour géométral ^ ' ^ m ' ; on mène- la génératrice M' N' f dont on a le point de fuite accessible, en f. Son géométral est m'n'f, que l'on arrête en n' sur le plan a a! ; on remonte ensuite, par une verticale de n' en N'. On a en G et G' les centres des deux cercles parallèles (1); par conséquent, joignant CM' et C'N' et menant la fuyante Q'f, on complétera facilement en M'N'P'Q' la perspective du rectangle de joint. (1) Ou voit sur le géométral les constructions faites pour obtenir le milieu perspectif c de la droite aa et le milieu perspectif o de la ligne ce' et ensuite de CC. .; �— 83 — On opérera de même pour un autre joint M N'P Q et pour tous les autres. On remarquera que les figures M N P Q. M' N'P' Q', sont des quadrilatères tout à fait quelconques. Flg 167 A ce moment le dessin des masses est terminé. 2° LES DÉTAILS. — (a) On se donne (flg. 167) en vraie grandeur ou à une échelle quelconque, le profil exact 1, 2, 3, 4....... de l'archivolte, lequel déborde le profil Pi Qi Mi Ni du rectangle de joint. On construit en S et T des échelles divergentes : L'échelle S répond aux hauteurs, l'échelle T aux largeurs, et, comme toujours, on prend pour troisième repère le centre I du rectangle. (b) Cela fait, sur le tableau (fig. 166) nous allons reporter perspectivement le profil de l'archivolte sur chacun des plans de joint ; par exemple sur le plan de joint MNPQ. A cet effet : nous menons les diagonales, ce qui donne le centre I ; nous avons, au préalable, cherché en O, le milieu perspectif de la ligne des centres C C, et joignant d'une part I O et I /, nous trouvons ainsi les milieux perspectifs des quatre côtés du rectangle MNPQ. Dès lors, sur chaque côté, nous avons les trois repères voulus pour appliquer les échelles comme cela a été indiqué plusieurs fois déjà. Nous obtenons ainsi le profil en perspective 1, 2, 3 T (c) On opérera de même pour le joint M'N'P'Q'et pour tous les autres. (d) On joindra, finalement, tous les points analogues des différents profils par des arcs d'ellipse. Nota. — Sur le croquis ci-contre les ellipses ne sont tracées que pour un voussoir. § 104. — Perspective directe des surfaces de révolution. — Application à un vase. Nous étudierons le cas où l'axe de la surface est vertical. Si l'axe était quelconque et incliné, on entourerait la surface comme nous allons le faire dans le cas actuel, par un épannelage d'abord en forme de prisme à base carrée et ensuite en forme de cylindre. La marche à suivre serait ensuite tout à fait analogne à celle que nous allons indiquer. Méthode pratique : La méthode pratique, la seule qui soit d'un usage commode en dessin, consiste : 1° A mettre en perspective une série de méridiens, en général également espacés ; 2° A joindre par des ellipses les points correspondants de ces méridiens ; ces ellipses seront les perspectives de parallèles de la surface convenablement choisis ; 3° A tracer, au sentiment, une courbe enveloppant tous les parallèles et tous les méridiens, c'est-à-dire leur étant tangente, exactement comme nous avons fait dans les questions d'ombre. Cette courbe enveloppe sera le contour apparent perspectif de la surface ; 4° A observer la loi des points de passage. Nous indiquerons tout à l'heure en quoi cela consiste. Soit (fig. 168) le profil d'un vase à une échelle déterminée. Ce profil s'enveloppe dans un rectangle d'épannelage M N R S ; nous prenons une série de parallèles et nous construisons deux échelles divergentes ; la première T relative aux hauteurs, la seconde V relative aux largeurs. Cela posé, dans un tableau quelconque (fig. 169) dont on connaît le point principal P et le point tiers de distance — on o se donne une droite verticale O Z limitée en hauteur, et quelconque. On s'impose, comme donnée, que cette droite soit, en perspective, l'axe du vase dont nous avons le profil sur la figure 168. On demande, sur ces seules données, d'achever la'perspective du vase. Voici l'ordre des constructions : (a) MISE EN PLACE DU CYLINDRE D'ÉPANNELAGE. 1° En MNRS (tableau) on construira en partant de OZ comme hauteur, un rectangle d'épannelage semblable à celui de la figûre 168. C'est une question de lignes proportionnelles ; 2° Se servant du point on obtiendra, comme cela a été dit plus haut, la perspective dù carré construit sur MN comme axe, et celle du cercle Mi M'Mg M inscrit dans ce carré. Ce cercle serait la base du cylindre d'épannelage dans lequel pourrait s'inscrire le vase ; 3° On prendra dans ce cylindre plusieurs positions du rectangle d'épannelage, telles que Mi Ni Ri Si ; elles �— bfi — seront donc obliques au tableau. On prendrait aussi les positions M'N', perpendiculaires au tableau, et Ma Ng passant par les points de diagonale. A ce sujet, indiquons comment l'échelle divergente des hauteurs T (fig. 168) peut facilement servir pour mettre en hauteur les sommets, tels que Ri et Si, du rectangle d'épannelage dans une position quelconque. On prend (tableau) sur le rectangle d'épannelage de front, et en se servant d'une bande de papier la hauteur Ml On Fig. I6S • Fig. 169 a soin de marquer au passage le point H situé sur l'horizon ; puis on inscrit cette bande de papier dans l'échelle T en la tenant bien verticale, et on y reporte le point H"; la ligne TH" de l'échelle correspondra, comme hauteur, à l'horizon du tableau. (Sur la figure 168, T H" n'est pas forcément horizontale.) Cela fait, je veux mettre en hauteur non seulement le point Ri (tableau) mais aussi les points b, c, d répondant aux parallèles de la surface. Alors, sur une autre bande de papier, je prends (tableau) la distance de Mi à la ligne d'horizon ; j'inscris la bande de papier, tenue verticale, dans l'échelle T, en me repérant sur la ligne inférieure Tk et sur la ligne TH" qui répond à l'horizon; je marque tous les points de rencontre avec les lignes de l'échelle, y compris le point le plus haut et, finalement, je reporte la division sur la verticale Mi Ri du tableau. (6) MISE EN PLACE PERSPECTIVE DES PRINCIPAUX MÉRIDIENS. On voit, sur la figure 169, comment en se servant des deux échelles T et V le méridien placé dans le rectangle d'épannelage Mi Ni a été obtenu. �— On dessine de même le méridien de front (c) (d) M 87 — N et l'on pourrait (ce qui n'est pas fait sur le tableau) trouver la pers- pective d'autant de méridiens que l'on voudrait. MISE EN PERSPECTIVE DES PRINCIPAUX PARALLÈLES. On joindra par des ellipses les points qui se correspondent sur les méridiens déjà obtenus. CONTOUR APPARENT. La figure 170, dessinée à plus grande échelle, fait comprendre comment on -trace la courbe enveloppe des méridiens et des parallèles; cette enveloppe constituera le contour apparent perspectif du vase. On voit (fig. 170) en ABCD.... le méridien de front, et en Ai Bi Ci Di déformé par la perspective. On a figuré en Bi p B - Ci CC"- D|DD" les ellipses perspectives des principaux parallèles. On a eu le soin, aux points B, C et D de ces ellipses situées sur le méridien de front, de leur donner des tangentes Bp - Cp -Bp, allant passer par le point principal. Il ne reste plus qu'à prendre l'enveloppe ou les enveloppes de ces différentes courbes, pour avoir les contours apparents. Une première enveloppe se trace facilement, c'est S, y'-y, laquelle est tangente en S au parallèle Di D", en y' au méridien de front et en y au méridien oblique. Elle laisse le parallèle C Ci dans son intérieur. Une seconde enveloppe est la courbe (e) EO^ le méridien oblique, ce dernier très Elle est tangente en w au parallèle C Ci et elle le serait à d'autres, tels que 12 POINT DE PASSAGE. En traçant un très grand nombre de parallèles analogues à 1, 2, etc présenter un très rapprochés et essayant de mener leur et, de la direction l'2'«', passer enveloppe, on la verra, comme l'indique le croquis placé à gauche, Fig. no rebroussement «>' brusquement à la branche w'3'. Ce point de rebroussement « ' se nomme le point de passage ; en réalité, le contour apparent, qui était réel en 1-2 , cesse en ce point (o d'être réel. Il devient virtuel ; comme dessin il cesse d'exister, et, après avoir suivi la ligne Fig. 171 1-2 en M ,il semble se perdre dans la masse généLa géométrie supé- rale du solide. rieure donne des méthodes pour déterminer rigoureusement le point de passage ; ces méthodes sont compliquées. En dessin, on se contente d'obtenir ce point par à peu près, en voyant où les On devra (fig. 171) observer aussi ces points de passage en w, sur la base du vase. parallèles cessent d'avoir une enveloppe. co, Ils existent toutes les fois qu'une surface est à double courbure, c'est-à-dire lorsqu'elle est convexe dans un premier sens et concave dans le sens perpendiculaire au premier. On les remarque surtout dans un piédouche. Les surfaces à courbures simples, comme la sphère, les ellipsoïdes, n'en présentent jamais. �CHAPITRE X MISE DE ' FRONT D'UNE FIGURE PLANE. — METHODE DE LA CORDE DE L'ARC Perspective. Onzième Leçon. § 103. — Mise de front d'un mur vertical. Dans les problèmes qui précèdent, nous n'avions pas à nous occuper d'angles connus en vraie grandeur, ni des rapports des lignes ayant des directions différentes. Ces problèmes n'exigeaient pas la connaissance exacte de la position du spectateur, c'est-à-dire se résolvaient sans les points de fuite et de distance principaux ; il n'en sera pas de même des suivants. On se proposera, dans les problèmes qui vont être traités, d'amener, comme dans l'opération que nous avons appelée le relèvement du géométral, une figure plane quelconque et dont les rapports de dimensions sont altérés par la perspective, à se présenter de front de manière à pouvoir juger de ses proportions exactes. Nous supposerons d'abord que le plan de la figure est vertical. C'est ce que nous nommons un mur, et nous nous proposons, comme application, d'y tracer la perspective du demi-cercle d'ouverture d'une arcade. Soient A « — Bb (fig. 172), deux verticales définissant le mur; —nous voulons amener ce mur à être de front en le faisant tourner, comme une porte, autour de la charnière A a. Nous supposons de plus : 1° que A a est sinon dans le plan de front des vraies grandeurs, du moins dans un plan de front dont nous connaissons l'échelle ; 2° que les points A et B sont au même niveau et que nous voulons mettre en perspective un demi-cercle décrit sur AB comme diamètre. Solution. — Après la rotation, le point b sera venu en bi, et l'on aura, dans le géométral de l'espace ab■— abi. — Par conséquent, joignons b br, cette droite intercepte un segment de front abi qui est perspectivement Fig. 172 égal au segment ab intercepté sur la fuyante abf; O' c'est donc une ligne concourant au point de distance accidentel d'de la direction ayant pour point de fuite f. ' On se rappelle comment s'obtient d' quand on connaît le point principal p et le point de distance principale D. — On joint O'f, et l'on prend fd'—fO'. La verticale bB prend la position bi Bi. Mais maintenant le mur est de front et les figures qui y sont contenues se perspectivent en vraie forme, c'est-à-dire semblables à elles-mêmes. On décrira donc, en vraie forme, le cercle sur AiBi comme diamètre, et l'on ramènera tous ses points en place par une construction inverse de la précédente. Par exemple, soit Mi un point du cercle de front. Mi est projeté géométralement enmi sur ai bi. — Je mène les lignes mi m et Mi M, qui fuient toutes deux en d1, car elles sont parallèles dans l'espace. Je prends l'intersection m de la fuyante m\ d! et de a b, et remontant par une verticale de m en M sur la fuyante du point Mi, j'obtiens un point M du cercle perspectif. �— 89 — Tangente. — Menons la tangente Mi t au cercle de front. Elle rencontre la charnière au point t qui ne bouge pas. On a donc en tM la tangente cherchée. Il est facile de trouver le point pour lequel la tangente est parallèle perspectivement à une direction donnée. — Il suffit de se donner dans le plan vertical-a6 AB une droite parallèle-à cette direction ; de faire tourner cette droite en l'amenant de front ; de mener au cercle en vraie forme A Mi Bi une tangente parallèle à cette direction devenue de front, et de remettre en place cette dernière tangente. Remarque 1. — Dans ce mouvement de rotation, les points m — fc— M... décrivent, dans l'espace, des arcs de cercle dont les lignes m TOI — b bi — MMi... sont les cordes. C'est ce qui a fait donner à ce tracé le nom de Méthode par la corde deVarc. Remarque 2. — La méthode serait la même dans le cas où le plan fuyant vertical serait perpendiculaire au tableau, c'est-à-dire aurait sa trace ab sur le géométral, fuyant au point principal p. —■ Alors au point de distance accidentel d'on substituerait le point principal de distance D. . Remarque 3. — Pour faciliter le raisonnement nous avons employé le point D, de distance principal et le rabattement supérieur de l'œil O'. — Mais nous savons que ces points D et O' seront toujours inaccessibles. Nous n'aurons à notre portée qu'un point de distance réduite, ~ par exemple. Dans ce cas, on remarquera que toute la méthode revient à obtenir en ah sur une ligne de front, une longueur égale à la grandeur de la ligne perspective ab. — Nous savons qu'un relèvement préalable du géométral la donne (§§ 78 et 79). La figure 172 indique ce relèvement préalable. On a mené la fuyante principale pb, et on l'a prolongée en b". On a joint b -5- et la longueur b"p a été portée 3 fois de b" en bz. Finalement on a pris a b.\ — a h et la ligne bi b prolongée jusqu'à l'horizon, donne en d'le point de distance accidentelle de la direction abf, car c'est, pour cette direction, le point de fuite d'une ligne d'égale resection. — C'est le point de fuite de toutes les cordes des arcs. Remarque 4. — Plus le point f sera inaccessible, c'est-à-dire plus la base a b du mur se rapprochera d'être de front, plus le point d' se rapprochera du point principal P. Si d! est inaccessible, la ligne bi b que nous venons d'obtenir permettra d'employer le Té-brisé (§§ 68, 69, 70). § 106. — Changement de géométral. Lorsqu'un plan est quelconque, c'est-à-dire n'est pas vertical, sa mise de front exécutée pour faciliter à sa surface soit des recherches de rapports, soit des résolutions de problèmes, est plus difficile. Mais on la ramènera au cas précédent en commençant par prendre un nouveau géométral qui soit perpendiculaire au plan donné quelconque, c'est-à-dire par rapport auquel le plan occupe la position d'un mur. Le problème du changement de géométral est analogue au problème de géométrie descriptive connu sous le nom de changement de plan horizontal de projection. Soit xy (fig. 173) le bord inférieur du tableau ou ligne de terre, trace du.géométral primitif sur ce tableau, et h h' la ligne d'horizon correspondante. Soit xi yi une nouvelle droite choisie dans ce tableau, comme nouvelle ligne de terre, c'est-à-dire prise comme trace, Fig. 173. A y d'un nouveau géométral, perpendiculaire aussi au tableau, mais non plus horizontal. Sa ligne d'horizon hi h\ passera encore par le point principal P, puisque ce point est la trace du rayon visuel perpendiculaire au tableau. Elle sera parallèle à x\ y\. Les points de distance nouveaux seront en Di et D'i sur hi h'\ à la même distance de P que les points anciens D et D'. Soit A un point, a, sa projection géométrale ancienne. Déterminons sa projection géométrale nouvelle ai. Soit g l'intersection des deux bords inférieurs du tableau ou lignes de terre ; g P est l'intersection des deux géométraux. — Par le point a je mène, dans le premier géométral, la ligne de front a a", parallèle kxy, et par a", point où elle rencontre 12 �— 90 — y P, la ligne de front a" ai du 2° géométral, parallèle à x\ yi. — J'abaisse A ai , perpendiculaire sur cette ligne de front et j'obtiens en ai la nouvelle projection géométrale cherchée. Problème. — Prendre un nouveau géométral perpendiculaire à un plan donné quelconque. Nous savons que lorsqu'un plan est perpendiculaire au géométral, sa trace sur le tableau, et plus généralement, toutes •ses lignes de front, sont perpendiculaires sur la ligne de terre. Nous avons vu, de plus, qu'il est facile de rendre de front un pareil plan par la méthode de la corde de l'arc, et d'y construire ou d'y mesurer telle figure que l'on veut. Il y a donc intérêt à savoir prendre un nouveau géométral perpendiculaire à un plan donné. Par conséquent, pour résoudre le problème demandé, il suffira de prendre comme ligne de terre du nouveau géométral, une ligne xi yi perpendiculaire aux lignes de front du plan. Ce problème sera résolu dans l'application suivante : § 107. — Application. — Trouver la vraie forme d'un triangle défini par 3 points. (Nous supposons tous les points de fuite accessibles pour faciliter les constructions^. Soient les 3 points A. a — B ô — Ce définissant un triangle (fig. 174). Je mène la ligne de front a m — A, M du plan de ce triangle, et je choisis une nouvelle ligne de terre Xi yi perpendi- ' culaire sur AM. Je prends alors xi yi pour ligne de terre d'un nouveau géométral qui sera perpendiculaire sur le plan ABC. Sa ligne d'horizon nouvelle est hi P h'i passant par P et parallèle à xi yi. — L'intersection des 2 géométraux est P x\ et les nouvelles projections géométrales de A, B, C sont ai bi a obtenues comme ci-dessus (1). Vérification. — Je remarque que les trois points ai bi et ci doivent être en ligne droite, puisque le plan-A B C du triangle est maintenant perpendiculaire au Kig. 174. nouveau géométral. Alors le plan du triangle occupe par rapport au nouveau géométral la position d'un mur. Prolongeons bi ci jusqu'en /, sur la nouvelle ligne d'horizon, nous aurons le point de fuite de cette ligne. Cela fait, pour mieux lire l'épure, retournons notre papier et plaçons xi y\ horizontale, nous sommes dans le cas du § 105 : « Amener un plan vertical à être de front. » On rabat l'œil en O'. —Avec fO' (qu'il est inutile de tracer) pour rayon, on décrit l'arc de cercle O' S' qui donne en S' le point de distance de la direction f. C'est en ce point que viendront fuir toutes les cordes des arcs de la rotation que nous allons faire subir au triangle autour deCCi comme charnière. — Faisons cette mise de front. Le point CGi iie bouge pas comme étant sur la charnière. Les points ai et bi viennent en ai et bz sur la ligne de front ci bi à la rencontre de cette ligne avec les fuyantes ai l'-bi S' qui sont les cordes des arcs de rotation. Les points A et B de l'espace viennent, d'une part, sur les perpendiculaires, az Ai et è-z Bi au nouveau géométral et, d'autre part, sur les cordes d'arc A Ai - B Bi fuyant au points'. On aura donc en Ai Bi G la vraie forme du triangle donné, mais nous n'avons pas sa vraie grandeur. (0 Par un effet île hasard sur le tableau fig. 174, le point C se confond avec sa projection Ci sur le nouveau géométral. �— 91 — VRAIE GRANDEUR DU TRIANGLE. — Pour avoir les vraies dimensions il suffit de connaître l'échelle du plan de front dans lequel est fait le rabattement Ai Bi G. Supposons par exemple que le plan de front du grand tableau soit à l'échelle do ^ ; le plan de front v.\ bz, sur lequel on a rabattu, a sa trace sur le nouveau géométral qui se trouve sur notre croquis, à une distance de 10 tandis que xi y\ est à 38 1 °° 38' mm mm de l'horizon h\ h't 1 1 10 . Par conséquent, l'échelle du plan de front Ai Bi C n'est pas de — mais de —. x 10 soit — — 10 10 38 380' Par conséquent pour avoir les vraies dimensions des côtés du triangle donné, on les mesurera en Ai Bi G et on les multipliera par le rapport inverse, c'est-à-dire par 38. Remarque. — Ici le triangle amené de front a tenu dans le cadre du tableau; cela tenait à ce que la charnière pris la charnière passant par le sommet le plus près, c'est-à-dire par B, l'épure n'aurait pas tenu dans le cadre. G Ci avait été prise loin du tableau. Le triangle amené de front s'est considérablement réduit en dimensions apparentes. Si l'on avait �CHAPITRE XI IMAGES PAR RÉFLEXION DANS DES MIROIRS PLANS Perspective. Douzième Leçon. § 108. — Lois de la réflexion. Les lois de la réflexion sont les suivantes : 1° Le rayon incident AO et le rayon réfléchi OB sont dans un même plan contenant la normale O N à la surface réfléchissante ; 2° L'angle d'incidence (AON) est égal à l'angle de réflexion (NOB). D'où il résulte que si l'on considère un miroir plan MN et un point A, différents rayons lumineux issus de ce point, et tels que AO - AO', etc seront réfléchis dans les directions OB, OB' et sembleront diverger d'un point A' symétrique du point A par rapport au miroir. Le spectateur qui recevra les rayons réfléchis croira qu'ils proviennent en réalité du point A', lequel constitue ce que l'on nomme l'image du point A. Au point de vue géométrique trouver l'image A' d'un point A revient : lro méthode (fig. 175). — 1° A abaisser du point A une perpendiculaire AI sur le plan du miroir ; 2° à la prolonger au-delà d'une longueur égale (IA' = IA) ; 2° méthode (fig. 176). — Soit MM le miroir, O la position de l'œil de l'observateur ; prenons en O ' le symétrique du point O par rapport au miroir, et soit A un point dont on cherche l'image. Joignons AO' et prenons, en a, l'intersection de cette droite avec le miroir. Ce point a est sur le trajet du rayori réfléchi A'aO; par conséquent, pour le spectateur placé en O, la perspective du point a se confond avec celle de l'image A' et il revient au même, sur un tableau perspectif, de figurer le point A ' ou le point a; ils se superposeront, en apparence, l'un sur l'autre. Ce qui nous conduit au tracé suivant : 1° On cherche en O' le symétrique de l'œil par rapport au miroir ; 2° Par des lignes droites on joint à ce point O' tous les points, tels que A, dont on veut l'image ; 3° On cherche les intersections, telle que a, de ces droites avec le miroir. (Problème résolu : intersection d'une droite et d'un plan.) § 109. — Champ du miroir. Si le miroir est limité en MM, tous les points ne donneront pas une image visible du point de vue 0. On nomme champ du miroir l'espace qui renfermera tous les points susceptibles de donner une image. Pour limiter ce champ, il suffira donc de joindre le point O', symétrique de l'œil, à tous les points du contour MM du miroir. On donnera ainsi naissance à une pyramide ou à un cône, et il n'y aura que les points tels que A, situés dans l'intérieur de la pyramide, qui donneront une image visible du point de vue O. On voit que la méthode dans laquelle on utilise le symétrique O' de l'œil, revient à chercher sur le miroir, considéré comme nouveau tableau, une image perspective des objets en prenant le point symétrique O' comme nouveau point de vue, et à donner dans l'ancien tableau une perspective de cette perspective. Fig. 170 �— T 93 — § 110. — Images refléchies par une nappe d'eau. ■ Problème. — Abaisser, en perspective, d'un point A une perpendiculaire sur un plan horizontal et la prolonger au-delà, d'une longueur égale. (Nous nommerons ce plan le miroir.) Tel est le problème de la réflexion par une nappe d'eau. Soit (fig. 177) IB G K le bord d'un mur de quai horizontal. — Soit 1"B"... K" la trace, sur ce mur, d'une nappe d'eau constituant un miroir horizontal. Si l'on veut l'image B' du point de la crête du mur, on mènera la verticale B B" et on la prolongera de B" en B', au-delà de la nappe d'eau, d'une longueur égale à elle-même. On remarquera que toutes les lignes horizontales telles quelB-BG-GK se réfléchissant dans un miroir horizontal donneront des images horizontales parallèles aux lignes elles-mêmes et qui, par conséquent, auront les mêmes points de fuite. Image d'un poin t isolé. — Soit à chercher l'image d'un point A qui n'est pas situé à plomb du mur ; prenons par exemple la lanterne A d'un réverbère ; le sommet d'un arbre ou celui d'une tour, etc 1° On mène la verticale A a ; 2° Par son pied a sur le terre-plein du quai, pris comme plan géométral, on mène une horizontale quelconque a a, jusqu'en a où elle rencontre la crête, et l'on cherche en a ' l'image de a comme ci-dessus, pour le point B ; 3° On mène a' a' s parallèle perspectivement à a a s, c'est-à-dire convergeant au même point de fuite s. — On eh déduit en a' l'image (cachée d'ailleurs) du point a et menant la verticale descendante a' A! égale à la verticale montante a A, on a en A' l'image du point A. Remarque. — La verticale a A qui est vue toute entière a son image cachée en partie par celle de la crête du mur de quai. Fig. 177 IMAGE D'UN ASTRE, C'EST-A-DIRE D'UN POINT SITUÉ A L'INFINI. Soit S la perspective du soleil dans l'espace. Sa projection s, sur le géométral, se trouvera sur la ligne d'horizon h h' puisque le soleil est supposé à l'infini. La nappe d'eau, considérée comme un géométral, aurait aussi pour ligne d'horizon la ligne h h-'. Le point s est donc aussi la projection du soleil sur. la nappe d'eau, et en prenant s S ' égale à s S nous aurons en S ' l'image du soleil. Ainsi donc on obtient l'image réfléchie d'un astre dans une nappe d'eau en prenant le point symétrique de sa perspective par rapport à la ligne d'horizon. OMBRES. (Seront expliquées plus loin, dans le chapitre relatif aux ombres, voir § § 111. 115.) — Image dans un miroir vertical (fig. 178). 1° LE MIROIR EST PERPENDICULAIRE AU TABLEAU. Soit NN ce miroir. Sa trace géométrale, na", a pour point de fuite le point principal P. — Soit Aa une droite verticale dont on cherche l'image dans ce miroir. La perpendiculaire a a' abaissée sur le plan du miroir est une ligne de front. Elle recoupe en a" la trace na" du miroir; on la prolongera, sans réduction perspective, de a" en- a' d'une longueur égale, ce qui donnera, en a', l'image du point a et en A' celle du point A. 2° LE MIROIR EST.PARALLÈLE AU PLAN DU TABLEAU. Si le miroir MM est de front, les droites telles que a ai et A Aï qui lui sont perpendiculaires ont pour point de fuite le point"principal P. �Fig. 178 On abaissera donc facilement a a perpendiculaire sur la tracegéométrale, m a, du miroir et, par la construction connue, en utilisant un point de fuite quelconque f on prolongera cette droite d'une longueur a ai égale à elle-même. — L'image Ai sedéduit ensuite facilement de l'image «i. 3° LE MIROIR VERTICAL EST QUELCONQUE (fig. 179). Soit en S», la paroi verticale d'un mur quelconque sur lequel est fixé un miroir Z. On donne le point principal P et Je 1 point tiers, de distance -- D de droite. o Trouver l'image al du point revient : et 2° 1° a placé dans le géométral r à abaisser une perpendiculaire a i ai sur la droite S « à la prolonger jusqu'en ai d'une longueur, iai, perspectivePour mener cette perpendiculaire, on a fait un relèvement ment égale à i a. du géométral autour de la ligne de front a b comme charnière. — La droite bc a été relevée en b Ci. — On a mené sur le relèvement al perpendiculaire sur b Ci et on a remis en place le point I en i. Le reste de l'épure se comprend facilement. Fig. 179 Remarque 1. — La droite ai aurait un point de fuite inaccessible to sur la ligne d'horizon. Si nous avions à dessiner la trace S t d'un second mur perpendiculaire au premier, cette trace aurait aussi 9 pour point de fuite. Toutes ces lignes aboutissant au point inaccessible cp se traceront avec le Té-brisé. Remarque 2. — Si nous avions un second miroir WJ fixé au second mur vertical Sf, les droites telles que aa% et AAg perpendiculaires à ce miroir auraient le même point de fuite /"que la • trace v S du premier mur. Remarque 3. — Si on avait à résoudre le problème : « Abaisser d'un point une perpendiculaire sur un plan quelconque », on prendrait un nouveau géométral perpendiculaire au plan donné et l'on serait ramené au cas précédent où le plan est un mur vertical. (Voir plus loin, § 112 — B, la solution de cette question.) 112. Image dans un miroir plan quelconque. comme application de la Nous traiterons cette question seconde méthode indiquée au § 108 et dans laquelle on utilise le symétrique de l'œil par rapport au plan du miroir. Nous- commencerons par résoudre le problème auxiliaire suivant : (A) Problème. — Abaisser de l'œil une perpendiculaire sur un plan et la prolonger au-delà d'une longueur égale à elle-même,. autrement dit : Trouver l'image de l'œil, par réflexion, dans un plan. Supposons d'abord le plan vertical. Nous raisonnerons sur le croquis perspectif ci-contre (fig. 180). Q est le plan du miroir. On abaisse de l'œil, ou point de vue, la perpendiculaire OK et on la prolonge en KOi d'une longueur égale. — Oi est le symétrique de l'œil etoi en est la projection géométrale. La perspective du point Oi de l'espace est le point cp, point de fuite des droites perpendiculaires au plan du miroir; sa projection géométrale Oi, a pour perspective o\. Or, soit G L la trace géométrale du miroir et G l la. perspective de cette trace. La verticale K L est coupée en deux parties égales par le point J situé sur le rayon visuel Ooi, ce qui tient à ce que OK = Oi K. On a donc aussi cp o'i — o'i l. Par conséquent nous pouvons dire (fig. 181) : �— 93 — 1° Que l'image Oi de l'œil dans le miroir a pour perspective le point de fuite 9 des droites perpendiculaires au plan du miroir ; 2° Que. sa projection o'i sur un géométral quelconque est située sur k perpendiculaire menée à ce géométral „ Fi par le point précédent 9 et à moitié de la distance 9 i comprise entre ce point et la trace géométrale du miroir. )S0 —- Cela posé soit (fig. 181) sur un tableau, un miroir vertical MN. On cherche comme au § 111, (fig. 179), 0 le point de fuite 9 des fjS. ■< JK.__ droites perpendiculaires à i l son plan.— Le point 9 ou i A Oi est l'image de l'eil ; le point o'i situé au milieu de Oi^, est l'image de sa projec01 / tion géométrale. Le champ du miroir est limité, en géométral, par les droites Géométral y y d o'i N V et o'i MZ. — Pour avoir l'image d'un triangle abc — ABC situé dans le champ du miroir, nous menons les droites Oi A —■ o'i a, Oi B — o'i b, etc et nous prenons en Ai Bi et Ci les intersections avec le plan M N. Remarque. —• Par cette méthode le problème des images réfléchies est ramené au problème des ombres puisque Ai Bi Ci peut être considérée comme l'ombre portée par ABC sur le miroir en prenant le point Oi o'i comme flambeau. B. —■ Image d'un point dans un miroir triangulaire. ( "1 5., oi "h " C ': Traitons maintenant le cas général où le miroir plan occupe une position tout à fait quelconque. Soit AB C, abc (fig. 182) un miroir triangulaire (1). — Cherchons d'abord le champ de ce miroir. — Menons une ligne de front a g — A G du triangle. — Prenons un nouveau géométral xi yi perpendiculaire à cette 1 p *. ligne de front. — Déterminons en Di le point de distance principal de ce //' géométral, situé sur sa ligne d'horizon In h'i laquelle, on le sait, passe par p. L'intersection des deux géométraux est p xi (xi étant le croisement des deux lignes de terre). Par des lignes de rappel telles que b b" bi et par des projetantes' telles que B bi nous obtenons en 61 ai ci (situés en ligne droite), la projection du triangle sur le nouveau géométral. Cette ligne est la trace du plan du miroir sur le aiouveau géométral et nous sommes ramenés au cas précédent. — Nous obtenons en h'i le point de fuite de cette trace. Nous faisons le rabattement de l'œil en O2 sur une perpendiculaire à la nouvelle ligne d'horizon lu h'\.— Nous joignons h'i O2. — Nous menons à cette droite une perpendiculaire O2 9 qui nous donne en 9 le point do fuite des normales au miroir. D'après ce qui précède, 9 est aussi la perspective du symétrique de l'œil par rapport au miroir. Menons 9 / perpendiculaire sur hi Ni ; prenons le milieu oh de la portion de cette ligne comprise en hi h'i et ai b\ il) On a pris un triangle parce que l'on est sur ainsi que les trois lignes A B — B C et G A, qui limitent le miroir, sont dans un même plan. �96 prolon £é, et nous aurons en o'i la projection du symétrique de l'œil sur le nouveau géométral. — On aura sa projection o'i sur l'ancien géométral à l'aide des lignes de rappel o'i o" o'i. Nous avons donc au point double Oi 9 : 1° le point de fuite des perpendiculaires au miroir ; 2° la perspective du symétrique de l'œil, et, en o'i la perspective de la projection sur le géométral ancien de ce symétrique. Cela posé : nous aurions le champ du miroir en joignant Oi aux trois points de l'espace AB C, et o'i aux trois points du géométral abc. Tout point tel que Mm situé dans ce champ, aussi bien dans l'espace qu'en projection géométrale , fera image. Pour chercher cette image, appliquons ce qui a été dit en commençant. —r Joignons le point M m au symétrique de l'œil Oi o'i, ce qui donne la droite M Oi — m o'i. — Cherchons, par la méthode connue, c'est-à-dire en prenant le plan projetant géométralement cette droite pour plan auxiliaire, son intersection Mi mi avec le miroir, et nous aurons en Mi l'image cherchée. (Voir § 98, intersection d'une droite et d'un plan.) �CHAPITRE XII DES OMBRES EN PERSPECTIVE § 113. — Lumière au flambeau. — Positions diverses du flambeau. Si l'on a un flambeau, on donnera sa perspective F et celle de sa projection f sur le géométral. — Ce flambeau peut occuper plusieurs positions par rapport au spectateur et au tableau. Supposons-le toujours au-dessus du géométral. — Les ligures suivantes se rapportent à ces positions diverses. Figure 183. — Le flambeau est situé derrière le tableau, c'est-à-dire dans l'espace réel. On a cherché en a ai l'ombre portée sur le géométral par une verticale A a. Fig. 183 Fig. 134 Fig. IS5 Fig. 186 Tlamleaulerrièreletahleau. Entre le spectateur et le tableau. Dans leplan neutre Derrière le spectateur Figure 184. — Le flambeau est situé entre le tableau et le spectateur, c'est-à-dire dans l'espace intermédiaire. On a cherché l'ombre portée a bi a par une verticale A a, sur un mur, mp, et sur le géométral. Figure 185. — Le flambeau est dans le plan neutre. — Dans ce cas les deux perspectives du flambeau sont à l'infini, et l'on doit donner les directions R etr des rayons lumineux en perspective. —■ Ainsi, dans ce cas, les rayons lumineux sont convergents dans l'espace, mais en perspective ils sont parallèles à R dans l'espace et àr en projection géométrale. Sur la figure 185 on a cherché en Bi l'ombre portée par un point B sur le plan d'un triangle MNP — mnp. — C'est le problème connu : intersection d'une droite et d'un plan. (Voir § 98.) Figure 186. — Le flambeau est derrière le spectateur, c'est-à-dire dans l'espace virtuel. — On a encore cherché dans 1 ce cas l'ombre portée a a , sur le géométral par une verticale A a. On remarquera que le flambeau est dans l'espace situé à droite du spectateur précisément parce que sa perspective F paraîtra à gauche du point p. Il y a le renversement que nous avons signalé plus haut. (§ 94 - 4° et § 95 - 5°.) 13 �— § 114. — 98 — * Lumière au soleil. — Positions diverses du soleil. s. .Le soleil sera donné par sa perspective S (ce sera le point de fuite des rayons lumineux dans l'espace), et par celle de sa projection géométrale s, située sur la ligne d'horizon. — sera le point de fuite des rayons lumineux en projection géométrale. On se servira ensuite des points S et s comme on vient de le faire dans le cas du flambeau, pour les points P et /'. ' Fig. 1.S7 Fig. ISS Fig. 181 Soleil derrière le spectateur et à Sa droite. Soleil devant le spectateur et a sa gauche Soleil dans le plan neutre et à gauche du spectateur. $8 i ji. I \ ; \ ■ \R \ \A X K h h I ^ ' i A. v' ' - h' P a. r - -, - h s\ l'P \ %î h' / 1 *. a1 ; és Supposons toujours le soleil au-dessus du géométral. Les rayons qu'il envoie peuvent venir d'arrière en avant par rapport au spectateur ; c'est le cas de la figure 187. Ils peuvent venir d'avant en arrière ; c'est le cas de la figure 188. Enfin, ils peuvent être de front. Dans ce cas (fig. 189), ils seront parallèles en perspective aux deux droites de front R dans l'espace et r en projection géométrale. Les problèmes d'ombre se résolvent en perspective comme en descriptive, en employant les trois méthodes générales. — Celle des projections obliques est la plus facile à appliquer comme nous allons le montrer dans les exemples qui vont ■suivre. § 115. — Ombres portées sur des plans horizontaux (fig. 190). Nous reprenons ici la figure qui a servi pour les images réfléchies dans une nappe d'eau. S est le soleil et .s sa projection géométrale. La verticale A a donne une ombre portée sur Fig. 100 le terre-plein du quai qui est point de fuite. et a, ayant s pour Le point a du mur de quai donne comme ombre portée sur le plan d'eau le point ai. ■— L'ombre portée par la crête B C sur leplan d'eau est parallèle à cette crête et, par conséquent, c'est une droite de front Di ai. — Elle rencontre en Di le mur de gauche, et par conséquent Di B est l'ombre portée par la crête B G sur ce mur. L'ombre Di a, portée par D G sur l'eau, rencontre en m la droite E G où la rampe plonge dans l'eau; par conséquent m C est le décrochement de l'ombre portée par la crête B C sur le plan incliné de la rampe. On cherche en Ni l'ombre portée sur le plan d'eau par un point N de la crête de droite C K, et on en déduit en Ni P parallèle perspectivement à CK l'ombre de cette crête sur le plan d'eau. Enfin on fait ressauter par un rayon lumineux direct, S F, le point F en Fi sur l'ombre qui vient d'être obtenue et l'on en déduit en GFi l'ombre portée par la droite inclinée G F. �§ 116. — Ombres portées et reçues par un cône Soit (fig. 191), sur le géométral, la base, dm f e, d'un cTJrnrf^soit A a son sommet. Le contour apparent perspectif s'obtient en menant de la perspective A du sommet les deux tangentes A d, A e, à l'ellipse, perspective de la base du cône. On donne en outre en B G - B c la perspective d'une droite et en S s la perspective (virtuelle), du soleil. On demande de Fis 191 déterminer toutes les ombres, propres ou portées. 1° TRAL. OMBRE PORTÉE PAR LE CONE SUR LE GÉOMÉ- — On cherche en Ai l'ombre portée par le sommet A sur le géométral ; et les deux tangentes Ai f et Ai g, menées de ce point à la base du cône limitent l'ombre portée. 2° OMBRE PROPRE DU CONE. — Ce sont les deux génératrices A f et A g aboutissant aux points de tangence qui viennent d'être déterminés. L'une d'elles A f est vue, et se trace en trait plein, l'autre A g est cachée et se trace en ponctué. 3° OMBRE PORTÉE PAR LA DROITE BG SUR LE GÉOMÉTRAL. — On détermine en Ci l'ombre d'un point C de la droite et l'ombre portée est B Ci ; elle est à conserver seulement de B en P où elle rencontre la base du cône; à partir du point P l'ombre va se décrocher sur le cône. 4° O.MBRE PORTÉE PAR LA DROITE SUR LE CONE. — Soit à trouver le point M de l'ombre, situé sur une génératrice quelconque A m du cône. («) On cherche en m Ai l'ombre portée sur le géométral par cette génératrice ; {b) Elle rencontre en Mi l'ombre B Ci portée par la droite B C ; (c) On remonte par un rayon inverse SMi au point M cherché. 5° POINTS IMPORTANTS DE L'OMBRE. (a) Point de pliure F. — Il est obtenu a priori par la rencontre de B Ci avec la base du cône. Pour avoir la tangente à la courbe en ce point nous chercherons l'ombre portée par la droite B C sur le plan tangent au cône au point F. Pour cela, nous considérerons le plan tangent comme un cône qui aurait aussi A pour sommet, mais dont la base, au lieu d'être une ellipse, serait la droite F îtangente à cette ellipse au point F. Nous ne changeons donc pas de méthode. — A u est une génératrice de ce cône-plan ■; Ai u, en est l'ombre portée sur le géométral ; elle rencontre en Vi l'ombre portée B Ci et le rayon inverse Vi S donne en V un point de l'ombre portée sur le plan tangent ; F V est donc la tangente demandée. (b) Point B sur le contour apparent. — Ai d est l'ombre portée sur le géométral par la génératrice AD ; elle rencontre en Di l'ombre B Ci ; le rayon inverse S Di donne le point cherché D. Remarque. — En ce point la courbe est tangente au contour apparent. (c) Point de perte P. —■ Son ombre sur le géométral est le point Pi situé à la fois sur l'ombre portée du cône et sur BCi. Le rayon inverse S Pi donne le point de perte P (caché.) Remarque. — En ce point la tangente est le rayon lumineux S P dans l'espace. Nota. — Les points S et s sont ici presque inaccessibles. Nous avons indiqué, dans le cas où ils lèveraient complètement, l'usage à faire du Té-brisé (§ 71.) § 117. — Ombre portée dans l'intérieur d'une voûte en berceau. Soit (fig. 192), en perspective, un berceau ayant sa courbe de tête dans le mur vertical fuyant R J Q q, et limité, pour l'autre tête, au plan vertical parallèle au précédent et passant parla verticale V v. — Soit AD B la courbe de tête. — On veut trouver l'ombre portée dans l'intérieur du berceau par cette courbe et par l'arête A a du piédroit. Soit S le soleil dans l'espace, et s sa projection, située à l'infini, sur le géométral, c'est-à-dire sur la ligne d'horizon. Le �— 100 problème revient à trouver l'intersection de deux cylindres ayant une même base, qui est la ligne « A D B & (Nous considérons les piédroits A a et B b comme formant un même cylindre avec le berceau). — Le premier cylindre est le berceau ; ses génératrices fuient en f; le second est le cylindre d'ombre. Sa directrice est aussi a AD B b, mais ses génératrices sont des rayons lumineux et fuient en S dans l'espace et en s sur le géométral. On coupe les deux cylindres par des plans parallèles à la fois à leurs deux génératrices, c'est-à-dire par les plans d'ombre des génératrices du berceau. Soit D K — d k une génératrice du berceau. Menons le rayon lumineux du point K k. — Soit S K — s k ce rayon. Il perce le mur de tête en Ki h et par suite D Ki est la trace sur le plan de tête, du plan d'ombre de D K, autrement dit, Fig. 192 c'est l'ombre de la génératrice D K sur le plan de tête. — Prolongée, elle rencontre en cp la ligne de fuite de ce plan de tête ; cp est donc non-seulement le point de fuite de D Ki mais encore celui de toutes les traces des plans auxiliaires sur le plan de tête, puisquë les rayons lumineux sont parallèles ; autrement dit ; toutes les génératrices telles que DK donnent sur le plan de tête des ombres portées qui sont parallèles entre elles, dans l'espace, et qui, par conséquent ont, en perspective, un même point de fuite cp. Gela posé; cherchons l'ombre du point D. — Le plan auxiliaire dont la trace sur le plan de tête est D cp, recoupe la directrice du berceau en G. — Ge plan auxiliaire détermine donc une nouvelle génératrice G f' du berceau, et le point D porte ombre en Di à l'intersection de cette génératrice et du rayon lumineux de l'espace D S. TANGENTE. — Le plan tangent au cylindre d'ombre au point D, a pour trace sur le plan de tête, la tangente D f à la \ �— 101 — courbe de tête. — Le plan tangent au berceau en Di a pour trace de tête la tangente G t, au point G extrémité do la génératrice Di G. — Ces deux traces se coupent en t, et la tangente est t D|. POINT D'ORIGINE. — Du point tp menons la tangente <pu à la courbe de tête ; si nous appliquons au point u la construction précédente, nous reconnaissons que ce point porte ombre sur lui-même. C'est le point d'origine de la courbe d'ombre portée. — Nous savons que cette dernière est plane et que c'est une ellipse (Ombre du Pont). La construction donnée pour la tangente ne s'applique pas ici, car, en ce point, les plans tangents aux deux cylindres sont confondus. — On aura la tangente en u en se basant sur ce que la courbe d'ombre portée est plane. — On en prendra trois points, u Di Ei par exemple, ce qui déterminera son plan. — On cherchera ensuite l'intersection de ce plan avec le plan tangent en M, soit au cylindre d'ombre, soit au berceau. En tout cas, au point u, l'ombre n'est pas tangente à la courbe de tête. Le point Ki, de l'ombre portée, situé sur la génératrice B de naissance à droite, s'obtient en faisant la construction en •sens inverse, c'est-à-dire en joignant© B, prolongeant jusqu'en E sur la courbe de tête, menant le rayon lumineux E S et prenant son intersection avec la génératrice B. Le point A, de naissance à gauche porte ombre en Ai obtenu comme on a fait pour l'ombre Di du point D. Le reste de l'épure se comprend facilement à l'inspection de la ligure 192. �CHAPITRE XIII RESTITUTIONS PERSPECTIVES A. RESTITUTIONS PRÉCISES Perspective. Quatorzième Leçon. Utilité des restitutions perspectives. § H.8. Nous avons vu que lorsque l'on connaît la ligne d'horizon, le point principal de fuite et ses points de distance, réduiteou non réduite, il est possible soit d'effectuer un relèvement du géométral, soit d'appliquer la méthode de la corde de l'arc,, soit, plus généralement, de résoudre sur un tableau perspectif comme on le fait sur une épure de géométrie descriptive,, tout problème dans lequel la vraie forme des figures doit servir comme donnée ou doit être obtenue comme résultat. Ce problème intéresse les peintres pour l'exécution de leurs tableaux. Il leur arrive en effet, dans une composition où il entre de l'architecture, de placer sur leur esquisse les lignes principales de cette architecture de manière à bien encaclrer les figures qui forment en réalité la partie importante de leur tableau. Dans le rapide travail de création qui caractérise l'esquisse, le peintre cherche avant tout un effet. Tout doit concourir à la réalisation de cet effet, aussi bien les figures queles lignes de l'architecture et que les accessoires, tels que les'tables, les sièges, etc Plus tard, lorsqu'il reportera, en la grandissant, son esquisse sur la toile, l'artiste aura le soin de placer exactement dans leurs positions relatives les lignes principales, celles qui contribuent le plus à produire l'effet ; quant aux lignes de détail elles devront être établies en parfaite concordance perspective avec les autres. 11 ne faut pas, par exemple, que l'angle d'une table qui est droit en réalité paraisse aigu ou obtus ; qu'une arcade qui doit être plein-cintre paraisse surbaissée ou surhaussée. Tous ces détails doivent donc être établis par les méthodes de perspective directe appliquées en prenant comme départ les grandes lignes du tableau ; cette application ne peut se faire que si l'on connaît les points principaux de fuite et de distance. Ces restitutions perspectives intéressent également les ingénieurs et les officiers. Il peut être important pour eux d'utiliser une photographie pour faire le relevé rapide d'un terrain; pour mesurer la distance entre deux points ; pour préciser une reconnaissance militaire. Lé colonel Laussedat et le commandant Javary ont perfectionné la méthode du relevé photographique : En prenant les images d'un terrain, ou d'une place forte sous deux points de vue différents, on peut ensuite sur ces deux images, viser les différents points avec des appareils spéciaux comme on les eût visés, sur le terrain, avec le théodolite. On peut donc en déduire la planimétrie et le relief du sol. Ces procédés ont été poussés par leurs auteurs à un tel degré de perfection et derapidité qu'il a été possible, avec une escouade d'agents, bien exercés, de relever en une seule journée la place de Belfort et ses environs. Le matin On commençait à prendre les phoFia-. 193. tographies, le soir le plan topographique était complètement reporté sur le papier, avec indication des principales courbes de niveau. § 119. — Restitution de la ligne d'horizon. l°.Si le tableau présente une nappe d'eau indéfinie, la mer par exemple, sa limite sera, sans erreur sensible, la ligned'horizon. Si la nappe d'eau,sans être indéfinie,est suffisamment grande, si c'est un lac ou un étang d'une certaine étendue, la ligne la plus éloignée suivant laquelle elle coupe les berges ou c �— 103 — le terrain pourra être prise sans grande erreur pour ligne d'horizon. Mais il faut cependant remarquer que dans ce cas il faut prendre l'horizon un peu au-dessus de cette ligne. 2° Si la vue(fig. 193) présente des édifices, les arêtes des murs donneront la direction des verticales, et par conséquent celle ■de l'horizon qui lui est perpendiculaire. Il suffira donc d'un seul point pour déterminer la ligne d'horizon : En prolongeant deux horizontales parallèles telles que AB et CD on-aura leur point de fuite» situé sur l'horizon. Deux autres lignes horizontales E A et CP donneront, comme vérificationjun autre point de fuite, f, également situé sur l'horizon. § 120. — Restitution des points principaux de fuite et de distance. lre Méthode. — En utilisant deux angles droits. — Dans presque tous les tableaux il est possible de trouver deux droites Fi --'9i' que l'on sait être dans un plan horizontal, et à angle droit l'une sur l'autre. Par exemple, dans le crofuis précédent (fig. 193), l'angle F C D des 2 murs de la maison figurée en perspective est, selon toute probabilité, droit, et dans un plan horizontal. Imaginons que dans le tableau (fig. 194) nous ayons deux angles a S// et cS'd, dans ces conditions. Par le point S, menons deux droites Se — S d perspectivement parallèles aux droites cS' et S'd, c'est-à-dire concourant aux mêmes points de fuite c et d. L'angle c S d est également droit dans le géométral. Opérons le relèvement de ce géométral. A cet effet prenons une charnière MQ, coupant les 4 droites en MNRQ. L'angle MSR, qui est droit, se relèvera •et' aura son sommet S relevé en Si sur la demi-circonférence décrite sur M R comme diamètre. — De même, le point S, sommet de l'angle droit N S Q se relèvera sur la demi-circonférence dont NO est le diamètre. — Le point S sera donc relevé en Si à l'intersection des deux cercles. — Si maintenant nous remettons, le géométral en place, la perpendiculaire I Si deviendra IS du géométral. Elle est perpendiculaire au tableau ; elle donne donc, par prolongement, en p sur M', le point de fuite principal. Portons sur la ligne de front I Q une distance I Kzr I Si (l Si est la vraie grandeur de la ligne IS du géométral) et joignons SK; cette droite prolongée donne par son intersection D avec la ligne d'horizon, le point de distance. Nota. — Si les angles S' et S de l'espace, au lieu d'être connus comme étant droits l'eussent été comme étant des angles déterminés, d.e 60 degrés, de 45 degrés par exemple, la solution eût été analogue, Seulement, sur les droites M R et NO, au lieu de décrire des demi-circonférences, on eût décrit des segments capables des angles connus. ïig. 195 ■ V' \ / �— 104 — 2° Méthode. — En utilisant un cercle horizontal. — (Fig. 195). La connaissance d'une figure, que l'on sait être la perspective d'un cercle horizontal, permet de restituer le point principal de fuite et son point de distance. 1° Point principal. — Deux tangentes A G, B G, parallèles à la ligne d'horizon donnent une ligne de contact A Br perpendiculaire au tableau, qui fuit au point principal P et qui le détermine. Comme les points de contact B et A sont assez difficiles à apprécier on fera bien, pour plus de précision, de mener deux cordes de front telles que m'n, d'en, prendre le milieui, et la droite AP passera par les points tels quei. 2° Points de distance. — Deux tangentes P K et P L, menées du point P, déterminent en 1, 2, 3, 4 la perspective du carré circonscrit, dont la diagonale 1, 3; prolongée donne en D le point de distance principal. Nota. — On pourrait varier indéfiniment les cas dans lesquels un dessin perspectif exact permet de restituer lesdonnées d'un tableau. On remarquera que la solution dérive presque toujours du problème que nous avons étudié plus haut sous le titre : Relèvement du géométral. Pour fixer la méthode à suivre nous traiterons encore un autre cas. Restitution des données en utilisant un carré perspectif. § 120. Imaginons (fig. 190) que l'on ait en A A' — B B ' — C G ' le dessin, supposé exact, des trois arêtes vues d'un pilastre que l'on sait être à base carrée. On veut : 1° trouver la quatrième arête EE' et 2° restituer les données P et D du tableau. [a) L'horizon. — On commence par restituer l'horizon h h' en prolongeant B G et B' C' jusqu'à leur rencontre en f et menant par f Fig. 196 JS' V Fig. 197- une perpendiculaire aux arêtes verticales. Si le point f est \C" \j c B' A A t C /C" k c inaccessible le cro- quis (fig. 197) fait voircomment, en rapprochant la ligne C C en G'' C", on pourra lever la difficulté et \/ h £ P obtenir un point accessible J situé aussi sur l'horizon. (b) Le carré de base. — En menant par les points A et C des parallèles perspectives aux côtés- .L,—"—-W B G et B A on achèvera le carré de base A B CE. Pour cette opération on sera, sans doute, conduit à utiliser les constructions données pour les points defuite inaccessibles f ou <p. (Voir lro partie emploi du. Té brisé, etc ). (c) Le centre du carré et le relèvement du géométral. — On mène les diagonales et on obtient en o,. la perspective du centre du carré. < i Gela fait : on prend en m n une charnière de front (on fera bien de la faire passer par le point o, mais ce n'est pas indispensable) ; et on relève le géométral autour de cette charnière. —D'une part le sommet de l'angle droit B se relèvera quelque part sur la demi-circonférence décrite sur m n comme diamètre ; d'autre part, la diagonale B E étant dans tout carré,, la bissectrice de l'angle ABC doit, après le relèvement, aller passer par le point le, milieu de la demi-circonférence mkn. — Donc, puisque le point o, sur la charnière, n'a pas bougé, la diagonale se relèvera suivant k o, qui, prolongée, donne en Bi le relèvement du point B. Maintenant la restitution est facile. En effet : 1° Abaissons Bi V perpendiculaire sur la charnière ; cette droite se rabat suivant B b', qui est une droite principale et qui, prolongée jusqu'à l'horizon, donne en P le point principal. 2° Prenons sur la charnière, bip — b' Bi et joignons B p ; nous obtenons une ligne d'égale résection dont le point de fuite D, accessible ou non, est le point de distance. Le problème est donc résolu. �— 105 — B. RESTITUTIONS VISUELLES § 121. — En quoi consiste la restitution visuelle. Lorsque l'on examine un tableau vertical dont la perspective est exacte, il faut, pour avoir l'illusion aussi complète que possible, se placer exactement au point de vue, c'est-à-dire mettre l'œil à la hauteur de l'horizon, bien en face du point principal et à une distance du tableau égale à la distance principale. Dans ces conditions, si l'angle optique ne dépasse pas 22 ou 23 degrés dans tous les sens, aussi bien en largeur qu'en hauteur, le regard embrassera le tableau d'un seul coup d'œil et l'effet produit sera aussi satisfaisant que possible. Mais, surtout si le tableau est grand, il est bien difficile de se placer exactement au point de vue, et, d'ailleurs, on est entraîné, pour mieux observer les détails, à se déplacer, et par conséquent à changer le point de vue. L'aspect va donc changer et le tableau donnera l'illusion défigures différentes de celles que le peintre a voulu représenter. Le spectateur se, déplaçant devant le tableau, comment variera l'appréciation des objets représentés ? Telle est la question à se poser. Disons de suite que les verticales seront toujours restituées en verticales et que toute ligure de front sera restituée dans sa vraie forme et dans ses vrais rapports de grandeur avec une autre figure de front située avec elle dans un même plan. § 122. — Déplacement horizontal. Dans ce cas le spectateur se déplace dans le plan d'horizon. Il s'éloigne ou se rapproche, il se déplace à gauche ou à droite, mais il ne monte ni ne descend. Remarquons d'abord que tous les problèmes de restitution perspective qui exigeaient la connaissance de la ligne d'horizon, mais non pas celle des points principaux de fuite et de distance, conduiront aux mêmes restitutions. Tels sont les problèmes relatifs aux appréciations des rapports de division d'une ligne droite horizontale ou d'une droite quelconque. Cette remarque faite, étudions deux cas : l cas. — Le spectateur né change pas de distance. — Il se promène en large devant le tableau, mais sans s'en éloigner Flg 19S or - ni s'en rapprocher. — Tout ce qui ne dépend que de la distance (cela se réduit, en somme, aux échelles des différents plans de front) ne variera pas. -_D. --->. FI D »R_ h P' !P d' K Par exemple, deux personnages d'égale taille et qui paraissaient tels quand on était au point de vue vrai paraîtront encore de même quand on se déplacera, sans changer de distance. Mais l'apparence des angles va changer. Ainsi, tel angle qui paraissait droit, regardé du point de vue vrai, ne le paraîtra plus quand on se déplacera soit à gauche soit à droite. Il suffit, pour s'en rendre compte, défaire (fig.198) la restitution de l'angle ABC, dont le côté AB est de front et dont le côté BC fuit en P au point principal vrai. Cet angle est évidemment droit dans l'espace. Déplaçons-nous latéralement à gauche, et plaçons-nous en face du point P', en gardant une distance P' d'égale à l'ancienne distance Pd. B.elevons le géométral et avec lui le point C en Ci obtenu en utilisant la distance P' d'. L'angle ABC est restitué en ABCi qui est obtus et non plus droit. Il n'y aura donc plus en se plaçant en face de P', l'illusion d'un angle droit qui se produisait quand on se plaçait en face de P. 2° cas. — Le spectateur tout en restant dans le plan d'horizon, et bien en face du point principal, avance ou recule, autrement dit, change de distance. Soit (fig. 199) une droite verticale A B, regardée du point O et donnant sur un tableau T une image a b. La figure 199 représente une coupe faite par un plan vertical perpendiculaire au tableau. Reculons en O' l'œil du spectateur et cherchons la position de la verticale qui, reposant par son pied sur le géométral, donnerait comme apparence perspective '; B.\ ! . \ ■* V«* j \—1 ----Fig. 199 li �-- 100 — la même image a b. On obtient la droite A'B' et Ton voit que A'B' est plus grande que AB et, surtout, plus éloignée qu'elle du tableau. L'éloignement du spectateur a donc pour effet de reculer les différents plans de front du tableau et d'augmenter l'illusion de grandeur des figures qui y sont contenues. Les peintres conFig. 200 naissent bien cet effet; ils le traduisent en disant que le reculement donne de la profondeur aux tableaux. Il est évident que le changement de distance modifiera aussi l'appréciation des angles horizontaux. Prenons un angle perspectif man dont les deux côtés a m et a n vont en s'éloignant et essayons (fig. 200) de restituer cet angle (1). Une première fois avec la distance pB nous obtenons l'angle m km et une seconde fois avec la distance plus grande PD', nous obtenons l'angle m A2 n qui est plus petit que dans le premier cas. Donc l'éloignement a pour effet de faire apprécier plus petits qu'ils ne paraissaient du vrai point de vue, les angles horizontaux dont les côtés vont en s'éloignant ou en se rapprochant tous les deux du tableau. Nota. — L'angle supplémentaire nag, dont un côté an s'éloigne et dont l'autre a g se rapproche du spectateur, paraîtra, au contraire, grandir quand le spectateur augmentera sa distance, c'est-à-dire se reculera. Il est évident que les effets inverses se produiront si le spectateur se rapproche. § 123. — Déplacement vertical ou changement d'horizon. 1" effet : Destruction de l'illusion d'horizontalité. — Supposons que le spectateur s'élève. La ligne d'horizon qui convient à sa nouvelle position va se trouver au-dessus de celle du tableau, et par conséquent, toutes les lignes horizontales du tableau dont le point de fuite se trouve sur la vraie ligne d'horizon vont Fig. 201 sembler au spectateur posséder, maintenant, des points de fuite terrestres. Autrement dit, les lignes qui paraissaient horizontales paraîtront maintenant K h' 'h \v '1 '\ ^ /c 1 a ^ descendre. L'effet inverse se produira si le spectateur s'abaisse. 2e effet: Destruction de l'illusion des rapports (fig. 201). — Imaginons que nous voulions restituer le rapport dans lequel une ligne horizontale perspective a b, est divisée par un point c. Une première fois, faisons cette restitution en prenant hh' pour horizon et un point de fuite quelconque / sur hh'. Nous AGi obtenons comme restitution le rapport Ci B En faisant une seconde fois la même restitution, mais en prenant le point de fuite en /' sur une sconde ligne d'horizon hih't, placée plus haut, nous obtenons le rapport -7^-5-, qui est plus grand que le C2 B précédent. Ainsi, quand nous regardons un tableau en nous plaçant plus haut que son horizon nous faussons l'illusion des.rapports ; nous avantageons, pour ainsi dire, les segments tels que ac, placés près du tableau, au détriment de ceux tels que cb, placés plus loin. En d'autres termes nous augmentons l'étendue apparente des zones, dites de premier plan. Résumé. — Des trois erreurs de position que le spectateur peut commettre quand il regarde un tableau, la plus grave est l'erreur de hauteur. Il faut donc, avant tout, placer l'œil à la hauteur de l'horizon, sinon on détruit l'illusion de l'horizontalité, celle des rapports et celle des angles. — Les autres défauts de position sont moins graves ; ils entraînent surtout des erreurs dans l'appréciation des angles. § 124. — Dérogations aux règles de la perspective. Ces dérogations portent surtout sur la représentation perspective des surfaces de révolution. — Imaginons (fig. 202^ que nous ayons une série de colonnes, égales entre elles et placées de front. L'œil est en face du point p et il est facile de se rendre compte que la largeur perspective apparente, c d, d'une colonne placée de côté en CD, devrait être plus (1) Ces restitutions se fout par un relèvement du géométral. Voir §§ 77, 78, 79. �grande que celle a b, d'une colonne AB, placée au milieu. La considération des carrés circonscrits aux cercles de base le fait voir à priori. Sur le croquis de la figure 202, on a, pour exagérer l'effet, pris une distance pB beaucoup trop petite : Néanmoins, si l'on pouvait placer l'œil exactement en face de p, à une distance égale à p~D et regarder le tableau par un œilleton suffisamment petit, l'effet produit serait exact et l'on aurait l'illusion de colonnes cylindriques égales entre elles. Mais, surtout siTe tableau est de grandes dimensions, le spectateur est entraîné à se déplacer, soit à droite, soit à gauche pour -j 1 mieux juger des détails. Alors, s'il se place en face de la colonne de gauche CD, l'effet produit par la colonne AB est très choquant. Elle paraît beaucoup trop étroite, et la colonne CD paraît avoir une base elliptique placée de travers. L'effet n'est pas tolérable. C'est pourquoi les grands peintres, ayant à représenter un portique de front, ont toujours soin de donner aux colonnes des diamètres apparents perspectifs égaux entre eux. Ils dérogent ainsi, avec juste raison, aux règles de la perspective. Une sphère placée bien au milieu du tableau, et à hauteur de l'œil, c'est-à-dire ayant la perspective de son centre confondue avec le point principal p, doit être figurée par un cercle (fig. 203) ; mais si son centre apparaît en un autre point, tel que i, sa perspective exacte doit être une ellipse dont le grand axe mn, est dirigé vers le point principal Regardé bien exactement du vrai point de vue le tableau pourra donner en mn aussi bien qu'en a b l'illusion d'une sphère ; mais regardé en se plaçant à droite l'effet sera très mauvais, et l'on croira voir en mn un ellipsoïde déformé. C'est pourquoi Raphaël dans son tableau de l'Ecole d'Athènes a figuré par un cercle la sphère que tient un personnage placé tout à fait sur le côté. Enfin, les surfaces de l'évolution qui sont sur les côtés d'un grand tableau doivent, par une dérogation aux règles de la perspective, être figurées comme si leur axe était confondu avec la verticale principale du tableau. Autrement dit, les ellipses qui représentent les différents parallèles doivent, toutes, avoir leur petit axe dirigé suivant Taxe même de la surface et leur grand axe dirigé horizontalement. En un mot, elles doivent être représentées comme si elles étaient dessinées d'après nature par un observateur dont le rayon visuel principal serait dirigé sur l'axe de la surface. De cette façon, lorsque l'on regardera l'ensemble du tableau en se plaçant au vrai point de vue, les surfaces de révolution telles que des vases, des balustres placés sur le côté ne paraîtront pas très justes, mais, par contre, lorsque l'on se déplacera, leur apparence sera parfaitement acceptable et n'aura rien de choquant. �TITRE III DESSIN D'APRÈS NATURE CHAPITRE XIV RELEVE GÉOMÉTRAL Perspective. Quinzième Leçon. o 3 jçjjg _ D ess n j constituant un relevé 3 géométral. Le relevé géométral d'un objet consiste en un croquis, fait en général à main levée, et dans lequel l'objet est représenté par un plan, par une élévation et par une coupe ; c'est-à-dire, en un croquis sur lequel l'objet est projeté trois fois, savoir, sur le plan horizontal, sur le plan vertical et sur un plan dfe profil. Un croquis à main levée ne peut être exécuté avec assez de précision pour être fait à une échelle donnée. En tout cas, si l'on indique l'échelle d'un croquis (1/4, I/o, 1/10 ), cela ne peut être que pour permettre de juger approximativement des dimensions absolues ou relatives de ses différentes parties et nullement pour les mesurer rigoureusement, comme on pourrait le faire sur un dessin au net exécuté avec les instruments de précision. Un relevé géométral doit être coté. L'exécution d'un relevé géométral comprend les quatre opérations suivantes : 1° La mise en feuille et l'esquisse du croquis ; 2° Le croquis définitif ; 3° La préparation des cotes ; 4° La mesure et l'écriture des cotes. § 126. — La mise en feuille du croquis. Après avoir pris connaissance de l'objet à relever, on décide quelles sont les projections qu'il est nécessaire de donner et on s'inquiète de la bonne mise en feuille du dessin. Il faut pour cela apprécier les grandes dimensions de l'objet, c'est-àdire sa plus grande largeur, sa plus grande hauteur et sa plus grande profondeur. Ou peut, pour y arriver, mesurer approximativement ces dimensions avec un mètre. Il vaut encore mieux évaluer, au coup d'œil, les rapports de ces trois grandes dimensions ou se servir, pour cette évaluation, d'une petite baguette prise pour commune mesure. Supposons que nous ayons à représenter (fig. 204 et 205) un coffre rectangulaire dont les dimensions soient m m m approximativement : Hauteur H — 0 ,30. Longueur L — 0 ,50. Profondeur P — 0 ,40. n a la proportion : — = _ =._ ou - = — _ -. H L P On i Les trois grandes dimensions sont donc entre elles comme les nombres 3, 5 et 4. Faut-il disposer le dessin dans le sens de la longueur de la feuille ou plutôt dans celui de la hauteur ? On est dans l'habitude (fig. 205) de*placer l'élévation principale en haut et à gauche, le plan en dessous de l'élévation en concordance de largeur avec elle et la coupe, à droite de l'élévation et en concordance de hauteur avec elle. Or, H L P �— Fig. 20i 109 — Feuille de papier sc, 3 s Espace pourlesTitres l'élévation donne les hauteurs et les largeurs, le plan fournit les largeurs et les profondeurs, la coupe redonne les hauteurs déjà connues par l'élévation et les profondeurs déjà indiquées sur le plan. I Espace réservé pour l'Elévation. (3sur5) 5 43 S 1 iir Espace réservé pour la Coupe 13 Sur 4-) 1 2 3 i ~ 1 3 3 Espace réservépour le Plan. (é sur S) Espace réservé pour l'échelle, pour une légende, oupour des détails. Par conséquent, il faut répartir sur la feuille les espaces de telle sorte que dans un sens nous ayons la largeur (L — o), la profondeur (P — 4), ensemble 9, tandis que dans l'autre sens nous aurons hauteur (H = 3), profondeur (P — 4), ensemble 7. Autrement dit, nous devons (fig. 204) prendre la feuille dans le sens de sa longueur. Par suite, après avoir réservé en haut, pour les titres, une bande de 2 centimètres environ de hauteur, nous diviserons ce qui reste de la feuille en trois compartiments I, II et III, dont les proportions soient à peu près celles indiquées ci-dessus (5, 3 et 4). A ce moment la répartition des places dans la feuille est faite, il ne reste plus qu'à tracer les axes de chaque compartiment et à nplissant, autant que possible, tout l'espace disponible. On doit 4- dessiner chaque projection autour de ses axes en éviter de faire des croquis trop petits. § 127. — L'esquisse du croquis. On se conformera aux principes suivants : 1° Les ensembles doivent toujours être faits avant les détails et les lignes enveloppantes avant les lignes enveloppées ; 2° Les contours trop mouvementés doivent être simplifiés dans cette esquisse. C'est ainsi que, dans ce premier travail, les moulures, les profils, les congés de peu d'importance seront provisoirement remplacés par leurs épannelages ou par leurs lignes d'étagement ; ils seront repris ensuite plus en détail ; 3° Les trois projections doivent s'esquisser simultanément avec leurs points bien en concordance, soit de hauteur (élévation et coupe), soit de largeur (élévation et plan), soit de profondeur (plan et coupe). 11 ne faut jamais terminer complètement une projection avant d'avoir esquissé complètement les deux autres ; 4° On ne doit prendre aucune mesure sérieuse en dessinant ; on doit, autant que possible, évaluer au coup d'œil les proportions sans se servir du mètre ; 5° Les cotes ne se préparent, ne se mesurent et ne s'écrivent qu'une fois le dessin du croquis complètement achevé. Comme exemple très simple d'une mise en place d'un croquis, nous donnons (fig. 205) le relevé géométral, non coté, d'un coffre rectangulaire creux. On voit comment on a profité de la symétrie pour donner, au lieu d'une élévation longitudinale complète, une demi-coupe et .une demi-élévation, placées de chaque côté d'un même axe. ' On a opéré d'une manière analogue pour le plan. Voir comme exemple de la même disposition le croquis d'une crapaudine donné plus loin. § 128. — Le croquis définitif ou trait. L'esquisse précédente a dû être exécutée très rapidement. Pour un croquis qui demanderait deux heures, on doit consacrer quinze minutes environ à cette esquisse rapide. Une fois qu'elle est terminée, on atténue les lignes, en se servant de la gomme, mais sans les effacer complètement ; après quoi on repasse les traits au crayon bien taillé, en corrigeant ceux qui paraissent mauvais sur l'esquisse, en rectifiant les proportions qui semblent fausses et en rétablissant les concordances de hauteur, de largeur et de profondeur mal observées. C'est alors que l'on s'occupe des détails négligés de parti pris dans l'esquisse, tels que moulures, congés, etc. ) �— 110 — S 129. — Traits de force. Pour mieux faire sentir le relief on place des traits de force dans les croquis et dans les dessins de machines. En général,, on n'en met pas dans les dessins d'architecture. Règle à suivre. — Un trait de force se place sur toutes les arêtes, droites ou courbes, qui formeraient séparation entre une surface dans la lumière et une surface dans l'ombre. — On ne doit jamais en mettre sur une ligne de contourapparent (1). INous donnerons plus loin la justification des traits de force. (Voir troisième partie, le Rendu.) § 130. — Hachures et teintes conventionnelles. Les surfacees coupées reçoivent des hachures équidistantes et ordinairement inclinées à 45° suivant une direction perpendiculaire au rayon lumineux. Lorsque l'on dispose de couleurs, on peut remplacer les hachures par des teintes conventionnelles indiquant la nature de la matière coupée (pierre, fer, bois, etc.). Les principales conventions sont les suivantes (fig. 206) : Fig. 208 Pierre : hachures largement espacées, ou teinte rose légère. Rois : hachures largement espacées avec indication des veines du bois, ou bien teinte légère de sépia additionnée deterre de sienne brûlée. Fonte : hachures largement espacées, doublées sur les bords d'un liseré de hachures plus serrées ou bien teinte légère de bleu de Prusse additionnée d'un peu d'encre de Chine et de carmin. Fer : hachures serrées ou teinte légère de bleu de Prusse. Acier : hachures serrées, ^croisées dans les deux sens, ou teinte de bleu de Prusse assez intense. Cuivre et bronze : hachures serrées, alternativement pleines et pointillées, ou teinte de gomme gutte additionnée d'un peu de carmin. § 131. — Préparation des cotes. Avant de mesurer les cotes avec les instruments de mesure (mètre, compas d'épaisseur, etc.), il faut les préparer en attente sur le croquis. Cette opération doit être faite à tête reposée, presque sans consulter le modèle en relief, et avec le plus grand soin. Autant que possible, on doit écrire les cotes en dehors du contour de l'objet représenté. On trace alors des lignes pointillées telles que Pp, Q q (fig. 205), qui se nomment des attaches, et la ligne p q, interrompue au milieu pour y inscrire la cote, est terminée à ses deux extrémités par une petite flèche qui touche les attaches. Cette ligne interrompue p q se nomme une attente. Dans certains cas (voir a, fig. 205), lorsque l'écartement des attaches serait trop petit pour y inscrire un nombre, on écarte les attaches. Les cotes sont dites alors inscrites en soufflet. Quelquefois aussi, surtout pour coter des épaisseurs, telles que (3 (fig. 205), on place l'attente dans l'épaisseur et on. inscrit la mesure sur le côté. La meilleure méthode à suivre, pour ne pas oublier de cotes, consiste à préparer d'abord les hauteurs et à les mettre en attente, soit sur l'élévation, soit sur la coupe, puis ensuite les largeurs, mises en attente sur le plan ou sur l'élévation, et de terminer par les profondeurs, préparées sur le plan ou sur la coupe. Pour les relevés d'architecture, surtout lorsqu'il s'agit d'un profil, nous indiquons plus loin, § 132, la meilleure marche à suivre. (t) Dans les Ecoles d'arls-et-métiefs, on place des traits do force sur les lignes de contour apparent situées dans l'ombre. — Rien ne justifie cette convention.. �— ] 11 — Dans tous les cas, on se conformera aux principes suivants : 1° Préparer d'abord toutes les grandes cotes et reporter leurs attentes aussi loin que possible en dehors des contours de l'objet — Les préparer d'un trait un peu fort et, plus tard, quand on les aura mesurées, inscrire les nombres trouvés ■en chiffres assez gros ; 2° Préparer ensuite les cotes de second et de troisième ordre, et plus elles mesurent des dimensions petites, plus il convient d'en placer les attentes près du contour du dessin, plus il convient aussi de dessiner finement leurs attentes et de les écrire en petits caractères. § 132. — Mesure des cotes dans un relevé d'architecture. Nous ne nous occuperons pas du relevé d'un édifice tout entier (cette opération se ferait par les méthodes générales du levé de plans), mais seulement d'un fragment d'architecture, un entablement, par exemple. Fig. 207 ■Si "a ^ 8 ~~7~ Elévation et- Profil TJ é tails 39 Cl 9i. m S3i I 1.582 L_ P]an" •i L_J LJ 1 11 Nota_ Les cotes sont données en millimèlres. Soit (fig. 207), en croquis, l'élévation et le plan de l'angle d'un entablement. �— 112 — On remarquera qu'il est inutile de donner une coupe, puisque le profil est indiqué sur l'élévation. Le plan lui-même ne serait pas indispensable. Sur une partie libre de la feuille on a donné, à plus grande échelle, en A, B et C, le détail des principales moulures. ■ Le croquis une fois fait, la prise dès cotes revient, en définifm, à mesurer les hauteurs (ou ordonnées) et les profondeurs (ou abaisses) des différents points du profil. Ji A cet effet, sur le point le plus saillant de la corniche o?ij!mreH'à un fil à plomb qui donnera la verticale ; derrière le fil à plomb, on fixera une règle plate divisée en millimètres sur toute sa longueur, et dont l'arête sera parallèle au fil à plomb. Le zéro de cette règle peut occuper une position quelconque, pourvu qu'il soit au-dessus du point le plus élevé de la corniche. Pour maintenir cette règle suspendue dans l'espace, on peut adopter la disposition suivante (fig. 208). A est une planchette de bois qui repose sur le dessus de la corniche par sa partie la plus large et y est maintenue par un contrepoids (une pierre ou une masse D assez lourde). La partie élégie f, Fig. SOS de la planchette est en dehors. Elle est percée d'un trou f. La règle présente un trou correspondant/". Un écrou à oreille G, peut pénétrer dans les deux ouvertures / et /' et soutenir la règle B. Enfin le fil à plomb est maintenu par une encoche ou par un trait de scie, d, pratiquée dans la planchette. De cette façon, même si le dessus de la corniche est légèrement incliné, il sera facile de placer l'arête de la règle parallèle au fil à plomb. On serrera alors l'écrou et la règle gardera la position verticale prise. Pour mesurer les profondeurs on pourra se servir d'une -équerre M N, dont le grand côté de l'angle droit sera gradué en millimètres. Il est nécessaire que le zéro soit exactement à la pointe M. C'est pourquoi il sera bon que cette pointe soit garnie d'une petite armature encuivre qui l'empêchera de s'émousser et de s'user. De cinq en cinq centimètres, et même à des intervalles plus rapprochés, on aura mené des droites telles que ab — a' b' perpendiculaires sur le côté divisé. Il est facile de construire soi-même la planchette A et de graduer une équerre comme nous venons de l'indiquer. Cela posé, on opère de la manière suivante : ^Bt 1° On place la règle et le fil aplomb comme nous venons de le dire et comme le montre la figure 207. 2° Avec la pointe M, de l'équerre divisée on vient toucher les points à relever. On a soin de placer f équerre de telle sorte que les lignes ab — a'b' soient parallèles au fil à plomb. On est sûr, dès lors, que le dessus de l'équerre est bien horizontal, ce qui est absolument indispensable. 3° On lit alors d'un seul coup : (à) la division de l'équerre qui se trouve en regard du fil à plomb : cela donne Vabcisse ou profondeur du point en arrière du fil (1) ; {b) la division de la règle qui est au niveau du dessus de l'équerre : cela donne l'ordonnée ou hauteur du point au-dessous du zéro de la règle. La première cote s'écrit (fig. 207) dans la colonne intitulée profondeurs, et la seconde dans la colonne intitulée hauteurs cumulées. Il est évident maintenant que pour avoir la hauteur absolue d'un fragment de la corniche, du larmier, par exemple, il suffira de chercher la différence (280 — 170 = 110m) des deux hauteurs cumulées répondant d'une part à son point le plus haut et d'autre part à son point le plus bas. Mais cette recherche des hauteurs partielles est inutile pour la mise au net. En effet, pour exécuter à une échelle (1) Dans la colonne des profondeurs (fig. 207) on lit quelquefois deux chiffres ; cela veut dire qu'il y a deux points ayant des,profondeurs différentes, quoiquesitués à la même hauteur. �— donnée ( —, ' 10 ' 113 1 — etc ) le dessin au net du profil relevé en croquis sur la figure 207, il suffira de tracer sur le papier une verticale qui représentera la règle divisée et, plaçant le zéro où l'on voudra, de porter, à l'échelle du dessin, sur celte verticale, les hauteurs cumulées dont la cote est inscrite sur le croquis. On fera de même pour les profondeurs et, tout simplement par cette opération qui, en somme, est l'inverse de celle exécutée pour prendre les cotes, on aura tous les points des profils exactement mis en place. Les détails seront relevés à part en A, B, C (fig. 207) et ordinairement à plus grande échelle. Pour relever un profil courbe, par exemple le quart de rond du détail A, il suffit de chercher les coordonnées d'un nombre suffisant de points, convenablement choisis (voir fig. 207, détail A). On recommande de prendre toujours pour unité de mesure le millimètre. Cela évitera, dans presque tous les cas, d'écrire des fractions décimales avec des virgules et diminuera les chances d'erreurs dans les écritures. Dans ce m cas 20 centimètres, au lieu de s'écrire 0 20 s'écrira 200. —3 mètres 533 millimètres, s'écrira 3535. Fig. 210 CRAPAUDINE à fixation verticale Nota : Sur le croquis (fig. 207) le détail B a ses cotes préparées en attente. Sur le croquis G tout est à préparer, à mesurer et à écrire. �— 114 — Si l'on a un soubassement à relever, ou un détail dont la partie supérieure ne soit pas en surplomb, on peut placer la règle et le fil à plomb comme l'indique le croquis ci-joint (fig. 209). La planchette repose alors sur le sol. S'il s'agit d'une surface de révolution, par exemple d'une colonne ou d'un balustre, on mesurera avec un fil, placé comme une ceinture autour de la surface, le périmètre d'une partie cylindrique et, divisant le nombre ainsi trouvé par le nombre-* (= 3,1415), on en déduira le diamètre et par suite le rayon de cette partie. Après quoi, se plaçant'bien exactement dans le plan d'un méridien on relèvera, comme ci-dessus, un profil et on en déduira les rayons de tous les parallèles autres que celui que l'on a mesuré en commençant avec un fil. § 133. — Mesure des cotes dans un levé de machines. La figure 210 donne le relevé d'un organe de machines connu sous le nom de Crapaudine. Les crapaudines sont des organes de machines qui servent à guider le mouvement d'arbres verticaux. La crapaudine de là figure 210 est à fixation verticale contre un mur. Elle se compose d'une boîte cylindrique en fonte P (voir la coupe), nommée la poelette, fondue d'une seule pièce avec une plaque verticale S, nommée la semelle. Cette semelle doit s'appliquer sur un mur, par l'intermédiaire d'une plaque en fonte munie de deux ergots taillés en plan incliné, ce qui permet le réglage de l'appareil dans le sens horizontal. Cette plaque de fixation n'est pas figurée sur le croquis. Un cylindre en bronze G, nommé le gobelet, parfaitement Fig. 211 ajusté au tour, est logé dans l'intérieur de la poelette. On remarquera que, pour la facilité de l'ajustage, le gobelet n'est en contact avec la poelette qu'à la partie supérieure et inférieure, et par l'intermédiaire de ce que l'on nomme desportées. (Sur le croquis, en coupe,ces portées ont une hauteur de 20 millimètres.) Le fond du gobelet est occupé par un disque d'acier nommé grain. Le pivot, extrémité de l'arbre vertical et qui n'est pas figuré sur le croquis, est guidé par le gobelet et repose sur le grain d'acier. Le pivot tourne en frottant sur le iilii'llmilin l""l'"ilini grain : l'usure principale a donc lieu pour ces deux parties. Dernier Le grain d'acier porte, pour loger l'huile, une cavité centrale avec quatre rainures rayonnantes pour la répartir sur les surfaces en contact. A sa partie inférieure le grain repose sur la tête d'une vis, destinée à assurer le réglage vertical et à détruire ainsi, au fur et à mesure, l'effet de l'usure du pivot et celle du grain. 1 Y Enfin une petite vis m empêche le gobelet de tourner avec le pivot. Les trois figures qui composent le relevé se comprennent facilement sur le croquis de la figure 210. On remarquera que sur le plan on a profité de la symétrie pour donner, à gauche, une demi-coupe horizontale ABrCD. C'est ce que l'on nomme une coupe brisée. Sur l'élévation, on voit qu'après avoir Fig. 212 suivi la direction AB, afin de passér sur le trou du boulon de fixation, le plan horizontal de coupe remonte en AB, afin de couper le gobelet entre ses deux portées. Le dessin une fois terminé, les cotes ont été préparées à tête reposée et mesurées ensuite. Pour mesurer les lignes droites on se sert d'un mètre ordinaire pliant, dit mètre de charpentier. Le premier décimètre de chaque extrémité doit être gradué en millimètres et le zéro de la graduation doit se trouver exactement à l'extrémité garnie de cuivre du mètre. Pour mesurer avec précision les épaisseurs ou les diamètres des corps ronds, on se sert du pied à coulisse muni d'un vernier (fig. 211). Pour mesurer un diamètre intérieur tel que fg, le pied à coulisse est souvent muni de deux parties saillantes a et b, dont les saillies f et g ont exactement lemême écartement que les deux mâchoires m et n. Le même vernier en donne donc l'écartement. Pour mesurer l'épaisseur c d, d'une paroi rentrante comme par exemple l'épaisseur d'un fer à T, on se sert du compas d'épaisseur (fig. 212). L'écartement des deux pointes a et b est exactement le même que celui des deux mâchoires c et d (1). (1) Nous donnons dans la troisième \artie, le Rendu, quelques exemples de relevés géométraux d'organes de machines. �CHAPITRE PERSPECTIVE D'OBSERVATION Perspective. Seizième Leçon. Exercices préalables. — Appréciation des rapports et des pentes. § 134. On se propose dans ce chapitre d'indiquer sommairement la marche générale à suivre quand on dessine d'après nature et la manière dont il faut ordonner les observations à faire sur les objets que l'on copie. Le dessinateur doit d'abord s'être exercé à l'appréciation à vue des rapports de lignes droites entre elles et à l'évaluation des pentes apparentes des lignes (1). Il doit être assez exercé pour reconnaître d'un simple coup d'œil que (fig. 213) : 1° le point a partage la verticale AA^en deux parties qui sont entre elles comme 3 et 1 ; ce que l'on traduit en disant que le point b tombe aux 3/4 de A A ; 2° le point b partage B B en Fig. 213 deux parties qui sont entre elles comme 7 et 3 (on dit encore que b tombe aux 7/10 de BB.) Chacun sait comment (fig. 214), lorsque le coup d'œil i i 'n .71 ... 5 n'est pas encore très exercé, il est possible de se servir du crayon pour apprécier les rapports réels ou apparents de deux longueurs. A cet effet, on tient le crayon bien exactement de front et à bout de bras ; puis, prenant pour limite variable l'ongle du pouce b, on fait coïncider, en apparence, une longueur b c de ce crayon avec la plus petite B C des deux lignes à comparer. On reporte ensuite, toujours en apparence, le segment bc du crayon autant de fois que possible sur la plus grande des deux lignes ; on apprécie ce qui reste c /, et on en déduit facilement le rapport exact ou approché. Dans le cas de la figure 214, le segment bc porté de c en c' a laissé un reste c' f qui paraît être le quart de ce' ou de son égal b c. On en conclut que le segment bc contient 4 fois le reste c'f tandis que cfle contient S fois. Le rapport apparent des lignes B C et C A est donc, le rapport de 4 à 5. On doit aussi savoir apprécier les pentes apparentes des lignes droites. i Fig. 21 i A cet effet (fig. 213), si l'on veut apprécier la pente de la ligne CD, on la considère comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle fictif BmG. dont un côté Dm serait vertical, et l'autre m G horizontal. On cherche, soit au coup d'œil, soit en se Dm S servant du crayon, tenu à bout de bras, le rapport —— de la hauteur à la base. Ici le rapport est de ——. On dit alors que mG il la ligne CD est, ou paraît être inclinée à S de hauteur pour 11 de base (2). On pourrait aussi pour apprécier l'inclinaison apparente d'une ligne EP chercher dans quel rapport elle divise un angle droit xEy dont un côté serait vertical. Sur la figure 213, la ligne EF fait avec la verticale un angle qui est environ les 2/3 d'un angle droit. Ces deux moyens d'appréciation des pentes doivent se vérifier l'un par l'autre. Le premier est cependant le plus usité. (1) Voir à ce sujet : t'Enseignement primaire du dessin, par L. Charvet et J. Pillet. — Ch. Dclagravc, éditeur, 15, rue Souffiot, à Paris. (2) En général quand on dessine d'après nature on ne cherche pas une approximation aussi grande. Dans le cas de la ligne CD, on reconnaîtrait à priori qu'elle at inclinée à peu près, a — ; en la dessinant on la fera s'écarter un peu plus de la verticale que ne l'exigerait la pente exacte 1/2. �— 116 § 135. — Appréciation de la hauteur d'horizon. La position de l'horizon est toujours assez difficile à fixer quand on dessine d'après nature. Un premier moyen consiste lorsque l'on voit deux horizontales que l'on sait être parallèles (fig. 216, A' B' et AB) à les prolonger, au coup d'œil, jusqu'à leur rencontre f (voir plus haut, restitutions perspectives), et à mener par Fis-215 ce point f, mais toujours avec le coup d'œil, une horizontale. On voit et on garde la mémoire des points les plus marquants ainsi rencontrés par l'horizon. Un autre procédé est le suivant ; on prend une feuille de papier que A" h' l'on plie en deux, puis en quatre, en ajustant très bien les plis, de manière à former exactement un angle droit. On tient ce carré de papier à bout de bras dans une position fuyante, mais en ayant soin cependant (fig. 213) que l'une de ses arêtes AB soit bien verticale. Alors si (position ABC) la ligne A G est au-dessous de l'horizon, l'angle AGB paraîtra obtus; si la ligne A'C (26 position) est au-dessus de l'horizon, il paraîtra aigu, et les angles en C" et A" ne paraîtront droits que lorsque (3e position) la ligne A"C" sera bien exactement à la hauteur de l'horizon. — Dès que cette position est reconnue, on cherche, sur les objets qui environnent, les points qui sont à la hauteur de l'horizon et on a soin de garder la mémoire de ces points. . § 136. — Dessin d'un cube (à vue). Les principes pour copier exactement, d'après nature, un cube sont les mêmes que pour un objet plus compliqué, pour un édifice et pour un paysage. Nous allons donc, sur un cube qui poserait devant nous, donner une leçon de perspective d'observation. Deux cas peuvent se présenter suivant que la ligne d'horizon est ou n'est pas contenue dans la feuille de papier. 1er Cas. — La ligne d'horizon est contenue dans la feuille, et elle coupe les arêtes verticales du cube. On fera les observations dans l'ordre suivant (fig. 216). Le lecteur doit bien s'imaginer que la figure 216 est un cube, en Fis-216 /4- fil de fer, qui poserait devant lui. La leçon une fois comprise, il fera bien de la répéter plusieurs fois en faisant poser un cube véritable dans différentes positions. 1° Après avoir reconnu que l'ensemble du dessin devait être plus large que haut et avoir pris la feuille dans le sens voulu, on a mis en place les deux verticales extrêmes GC7 et BB'. Pour débuter, on les a tracées indéfinies, sans les limiter encore à leurs extrémités. Puisqu'il n'y a encore rien de dessiné, la distance de ces verticales est arbitraire et dépend uniquement de la place plus ou moins grande que le dessinateur veut faire occuper au dessin sur la feuille. Mais une fois ces deux verticales extrêmes mises en position, il n'y a plus rien d'arbitraire, comme on va le voir. 2° Entre les verticales extrêmes qui viennent d'être placées, on a dessiné, mais toujours sans les limiter en haut ni en bas, les verticales intermédiaires ; on a commencé par celle qui est la plus rapprochée du spectateur A A', comme devant être la plus grande en apparence. Nous savons d'ailleurs qu'une fois celle-ci mise en place, la quatrième, \ �DD', pourrait se déduire théoriquement des trois autres sans avoir recours à l'observation directe et par la simple considération des points de fuite ; néanmoins, en dessin à vue, il sera bon de la placer par observation directe, quitte à la vérifier théoriquement plus tard. Sur le modèle (fig. 216), A A' avait paru partager la distance entre BB' et CC, sensiblement dans le rapport de 1 à 9, et DD' semblait partager l'intervalle entre CC et A A' dans le rapport de A kl. Dans l'opération de dessin dont le croquis ci-contre (fig. 216) est la sanction, tous ces rapports avaient été évalués en se servant du crayon tenu à bout de bras. Les quatre arêtes ont donc été mises en position, mais sans être encore limitées en hauteur. 3" On a limité alors la hauteur d'une verticale en choisissant de préférence celle qui est la plus grande A A'. En nous servant toujours du crayon tenu à bout de bras, nous avons constaté que l'arête A A' était plus grande que l'intervalle horizontal ac compris entre AA' et CC. En précisant davantage, on a reconnu que l'excès a, de A A' sur l'intervalle ac, était le neuvième environ de ac. On a donc, sur le dessin, augmenté a c de 1 et cela a donné la hauteur de la verticale ~9~ A A'. Cette première arête est donc limitée. 4° C'est à ce moment seulement que l'on a pu et que l'on a dû placer l'horizon. On a observé, comme nous l'avons indiqué au § 135, la position de l'horizon et, appréciant encore un rapport, on a reconnu que l'horizon A/j'partageait l'arête verticale A A' sensiblement dans le rapport de 2 à 3. L'horizon a donc pu se placer sur le dessin. D'ailleurs toutes 2 les autres arêtes verticales sont, elles aussi, partagées par la ligne d'horizon dans le même rapport —. S 5° On a observé ensuite et on a placé les lignes fuyantes de la base, telles que AB et AC. On a eu soin de commencer par celle qui fuyait le plus, c'est-à-dire par celle dont la pente apparente était la plus forte, parce que les grandes pentes sont plus faciles à apprécier que les petites. On a donc commencé par AB. Sa pente apparente est de 9 de hauteur pour 5 ' de base, et, comme le point A est déterminé, la ligne AB a pu se tracer, ce qui a déterminé le pied B de l'arête BB'. On a apprécié ensuite la pente de AC (ici de 1 sur 13 environ). On a donc pu tracer A C, et le pied C de l'arête CC a été déterminé. 6° A partir de 6e moment l'observation directe devient inutile. En effet, le côté de base CD étant parallèle à AB' doit fuir un même point de fuite f (accessible ou non) ; par suite, la Fia-. 217 ligne CD est déterminée et avec elle le point D, entraînant la connaissance de la ligne BD. Les quatre côtés A'B' — B' D', etc de la base supérieure sont parallèles perspectivement à ceux de la base inférieure et ont les mêmes points de fuite, accessibles ou non. La méthode du réseau auxiliaire, indiquée plus haut, permettra donc de les tracer avec une approximation suffisante. On peut encore s'appuyer pour déterminer A' B' C et D' sur ce que la ligne d'horizon partage toutes les arêtes verticales dans le rapport constant de 2 à 3. 2° Cas. — La ligne d'horizon est en dehors de la feuille (fig. 217). Dans ce cas, on ne peut plus se servir de l'horizon et l'opération de mise en place est un peu plus délicate. On opère de la manière suivante : 1° On met en place les arêtes verticales, mais sans les limiter tout d'abord, en se donnant arbitrairement la place des deux extrêmes et plaçant les intermédiaires par des appréciations de rapports (on opère comme ci-dessus). 2° On limite la plus grande arête en A et A' en comparant sa hauteur A A' à l'écartement en largeur des lignes verticales déjà placées. L'horizon étant en dehors de la feuille ne peut pas être indiqué comme dans le cas précédent. 3° On évalue la pente des deux arêtes fuyantes (celles qui ont le plus de pente A A ' (pente 5 sur 1) et, BB' (pente 7 sur 4). A ce moment l'arête BB' est limitée. �4° On évalue enfin la pente de l'arête supérieure A'C (pente 3 sur 11), et le point C se trouve ainsi mis en place. S0 A partir de cet instant l'observation directe est inutile et on peut achever théoriquement la perspective. D'abord la hauteur de l'arête C C peut se déduire de celles des arêtes A'A et B' B de la manière suivante : On dépla- cera de front l'arête G'C jusqu'à amener son extrémité supérieure G' en m' sur l'arête fuyante A'B',ce qui donnera en m'n' la hauteur à donner à l'arête G'C. Ensuite on remarquera que les lignes CD' et CD doiventfuir au point de rencontre des fuyantes A'B' et A B. On mènera donc ces fuyantes et les sommets D' et D seront déterminés. Remarque : Le point de fuite de ces fuyantes est inaccessible puisque l'horizon est hors de la feuille ; mais on peut employer un réseau auxiliaire. Pour tracer ce réseau quoique l'horizon soit en dehors du cadre, on divisera comme cela est indiqué (flg. 217) A A' et B B ' en parties égales, en 4 par exemple, et on prolongera les divisions au-delà des lignes en 4, 4', 5, 5', etc. ; En joignant ensuite les points correspondants 11' ■— 22' — 33' — 44' — 55' on aura le réseau auxiliaire entre les lignes duquel on interposera les fuyantes utiles. § 137. — Application au dessin d'un paysage avec monument. Nous donnons (fig. 218) un croquis exécuté d'après nature dans le port de Saint-Yaléry-en-Caux : (a) CHOIX DU PAYSAGE ET CUAMP DU TABLEAU. — La première opération à faire consiste, d'abord, à bien choisir et à bien encadrer le paysage que l'on veut représenter. Les artistes se servent à cet effet de ce que l'on nomme le miroir noir. Il consiste en une glace noire rectangulaire, légèrement convexe, dans laquelle le paysage se réfléchit en plus petit ; on présente le miroir devant le paysage et on l'oriente jusqu'à ce que l'effet produit par l'image soit satisfaisant. Il est plus simple de découper, dans une feuille de papier, un rectangle ayant les proportions que l'on veut donner au tableau, et de regarder, au travers de cette espèce de fenêtre, le motif qué l'on veut dessiner. En reculant ou en avançant ce cadre, on diminue ou on augmente le champ du tableau et l'on arrive rapidement à être fixé sur les limites du paysage à dessiner. (b) LIMITES DU DESSIN. — Trois limites sont surtout importantes, ce sont : 1° la ligne de terre XY qui limite l'étendue de terrain à figurer ; 2° le côté gauche XX', et 3° le côté droit YY'. La ligne de ciel X'Y' ne se détermine, en général, qu'une fois le tableau mis en place. Une fois ces limites arrêtées dans l'esprit du dessinateur, ce dernier ne doit plus les perdre de vue, tant que son esquisse n'est pas achevée. C'est ainsi que sur le croquis (flg. 218) la ligne de terre X Y passe un peu en avant du crochet d d'une échelle de descente à la mer. Le côté gauche XX' est à gauche de l'arête A d'une maison et à une distance de cette arête à peu près égale à la largeur apparente de cette maison. Le côté droit YY' touche presque le chambranle d'une fenêtre de la maison de droite B.(c) MISE EN PLACE DES PRINCIPALES VERTICALES. — Les verticales les plus caractéristiques sont évidemment celles qui sont désignées par les lettres A, C et B. — On s'est servi du crayon tenu à bout de bras et l'on a reconnu que la verticale G, tombe à peu près au milieu de la largeur que l'on s'est imposée pour le tableau (cependant un peu plus à droite qu'à gauche). La verticale B partage à peu près au tiers l'intervalle de C et de Y' (le rapport exact a été trouvé égal à 8 sur 13) et l'intervalle A G est les 7/5 de l'intervalle CB. Les verticales intermédiaires a, 6, c, etc.,n'ont été déterminées que plus tard, au fur et à mesure de l'avancement du dessin, mais toujours en évaluant des rapports de largeurs. (d) MISE EN PLACE DE L'HORIZON. — C'est alors seulement que l'on a cherché l'horizon (§ 134) et l'on a reconnu que la ligne d'horizon passe par le point supérieur de la cinquième pierre de l'arête C. Pour placer l'horizon sur le dessin on s'est souvenu de la place assignée à la ligne de terre XX' et, prenant avec le crayon tenu à bout de bras, la hauteur verticale X/i, on l'a portée sur la largeur horizontale CB et l'on a reconnu qu'elle était un peu moindre que les 5/6 de cette largeur. La ligne d'horizon a donc pu être placée en h h'. (e) LIMITATION EN HAUTEUR DES VERTICALES. — Par exemple l'arête C a été limitée en M à sa partie supérieure après avoir reconnu que la hauteur MP, au-dessus de l'horizon (1), est à peu près égale à la largeur Gb, qui sépare les verticales C et b et le pied N a été placé en remarquant que PN est le tiers de P M qui vient d'être déterminé. — Les autres hauteurs principales ont été obtenues d'une manière analogue. (f) DÉTERMINATION DES FUYANTES. — On a commencé par l'arête inférieure gK, du toit de la maison placée au centre ; On a reconnu qu'elle fuyait à gauche, avec une pente de 1 sur 9 environ, ce qui a déterminé une fuyante de gauche. Comme fuyante de droite on a observé la ligne M m, qui a été reconnue inclinée à la pente de 1 sur 6 environ. (1) L'horizon une fois déterminé doit toujours être pris comme ligne de repère, soit pour les hauteurs situées au-dessus, soit pour celles situées au-dessous �— 119 — (g) RÉSEAUX AUXILIAIRES. — Ces deux fuyantes ont permis de tracer, comme nous l'avons incliqué plus haut, deux réseaux de fuyantes auxiliaires 1 1'—2 2'—3 3'. . . 1 1"—2 2". .. aussi bien au-dessus qu'au-dessous de l'horizon, et à gauche aussi bien qu'à droite. A partir de ce moment nous avons assez de points ou de lignes de repère pour achever le dessin (1). (h) DÉTAILS DIVERS. — La ligne du quai dF a été déterminée en observant que F est, en apparence, à plomb de M N et au-dessous de N à une distance qui paraît être la moitié de N P. — On a apprécié ensuite facilement la position du point de fuite /XI). La ligne de quai F Q n'est pas horizontale ; on la fait plonger légèrement au-dessous de la ligne de gauche 1 1' du réseau. De même la ligne niï, dans la rue du milieu, est montante : c'est pourquoi on la fait passer au-dessus de la ligne fuyante N» prolongée. Même remarque pour la ligne WV de gauche. Cette dernière s'écarte delà ligne du réseau de . (1) Il est facile de reconnaître à l'inspection des personnages, que le spectateur était assis. En effet la ligne d'horizon rencontre les personnages au niveau des épaules ; elle les eût rencontrés au niveau des yeux si le spectateur eût été debout. On voit aussi, toujours par la considération de l'horizon, que la figure de gauche est d'une taille plus grande que celle du centre. �— 120 — gauche pour deux raisons : la première, parce qu'elle monte, la seconde parce que, à partir de l'arête W, le quai dévie légèrement à droite, ce qui rapproche du centre du tableau le point de fuite des horizontales qui y sont contenues. (k) RÉFLEXION DANS L'EAU. — (Voir le chapitre spécial aux images réfléchies.) En résumé. — La marche à suivre est toujours à peu près la même et peut se décrire comme il suit : 1° Choix du tableau, délimitation de son champ, c'est-à-dire de la ligne de terre et des côtés. 2° Mise en place des verticales caractéristiques, mais sans lès limiter encore ni en haut ni en bas. 3° Mise en place de l'horizon en le repérant par rapport à la ligne de terre et comparant sa hauteur à l'écartement des verticales précédentes. 4° Limitation, on hauteur, des verticales importantes en en repérant les extrémités par rapport à l'horizon. 5" Mise en place des principales fuyantes et construction, s'il y a des points de fuite inaccessibles, d'un ou de plusieurs réseaux auxiliaires. 6° Mise en place des détails en se rapportant sur ce qui est déjà fait. §138. —Remarque relative aux lignes fuyantes dans le dessin d'un objet isolé. Lorsque l'on copie un cube, un parallélipipède rectangle, un vase, une maison, et plus généralement un objet isolé l'œil se porte instinctivement dans la direction de l'axe réel ou fictif de l'objet à copier. On a toujours une tendance à équilibrer les masses de part et d'autre de l'axe de la feuille de dessin. — Cela veut dire, perspectivement parlant, que la verticale principale (1), coïncide avec l'axe de la feuille et aussi, autant que cela peut se faire, avec l'axe de l'objet. Ainsi dans le dessin à vue des cubes des figures 216 et 217 la verticale principale PP' coïncidait avec l'axe de la feuille de papier et passait aussi par le point de croisement I des diagonales du cube. Par conséquent, si, clans le dessin à vue d'un cube isolé, une des faces A A'BB' (fig. 219) paraît fuir à droite de la verticale principale pP', ne serait-ce que très peu, il faut que l'autre face A A' CC fuie à gauche. La première fuit d'autant plus que l'autre fuit moins et vice versa. Un cube isolé ne devra jamais être représenté comme l'indique la figure 220, pas plus qu'un cylindre isolé ne serait Fig. 2!9 Fig. 220 Fig. 221 Fig. 222 figuré comme l'indique la ligure 221. Les ellipses de base cle ce cylindre ne doivent pas présenter de dissymétrie par rapport à la verticale principale, ce qui devrait avoir lieu cependant si le prisme à base carrée circonscrit au cylindre était dessiné comme l'indique 12 3 4 — 1' 2' 3' 4' de la figure 221. Mais si l'on avait à représenter, dans un même tableau, plusieurs prismes à faces de front, alors on les figurerait comme l'indique la figure 222. Dans ce cas, c'est l'ensemble des deux prismes qui constitue le tableau et non plus un seul des deux. Cependant nous avons vu, au chapitre des dérogations aux lois de la perspective, que presque toujours si l'on avait à inscrire des colonnes dans ces prismes, on les tracerait symétriques et comme on le ferait si leur axe coïncidait avec la verticale principale. § 139. — Dessin à vue de cercles horizontaux superposés. Lorsque l'on dessine soit une colonne, avec les joints des pierres indiqués, soit un vase, soit un balustre, etc .... il peut être commode, sans avoir recours à l'observation directe, de déduire les courbures des cercles intermédiaires de Gelles do la base supérieure et de la base inférieure. Prenons un cylindre (fig. 223). On a dessiné, à vue, les contours apparents A A' et BB' et l'on a observé, toujours à vue, pour l'ellipse supérieure le rapport, fi) CD , du petit axe au grand axe, ce qui a permis cle la dessiner exactement. Dé- On nomme verticale principale d'un tableau, la verticale qui passs par le point principal de fuite. �— 121 — plus, la ligne d'horizon a été observée et placée comme nous l'avons indiqué plus haut (§ 133). Cela fait, il est possible de dessiner théoriquement, dans ses proportions, une ellipse quelconque a b, ou A'B', autre que la base observée. A cet effet, on prend, en M, un point qui partage le demi grand-axe AD dans un rapport simple, au tiers par exemple, et l'on joint CM. C'est une ligne de tiers de resection qui fuit, par conséquent, au point tiers de distance (lequel se trouve. Fig. 223 Fi s-221 (/ Oj;'-"' A /"\ I P ' \c B y e! b ! i ! / "1 1 ainsi déterminé). Il est évident que, si l'on prend en m et M ' le tiers des autres axes ad et A'D' et si l'on mène par ces points des parallèles perspectives à la ligne MC, on obtiendra par recoupements, en C etC, les extrémités des petits axes des autres ellipses. On peut (flg. 224) appliquer ce même tracé à toute surface de révolution. En général, lorsque l'on copie un vase ou toute autre surface de révolution d'après nature, l'observation directe donne : 1° Le contour apparent perspectif A a a' a" a A' du vase. C'est ce que l'on nomme le galbe du vase ; 2° L'ellipse supérieure A C et l'ellipse inférieure A'C. Si l'on a l'horizon h h' dans la feuille, une de ces deux ellipses devient inutile. a „--""-" ! i" i K I h à! h\ C] ;' j \ ] i ! B' i !c Une fois ces données acquises, on peut, en employant la même méthode que pour le cylindre, tracer un parallèle quelconque sans avoir à l'observer. Il est inutile d'expliquer le tracé ; la ligure l'indique suffisamment. Nota. —Dans le cas d'un cylindre vertical, le tracé est rigoureux; dans le cas d'une surface de révolution, il est rigoureux pour tous les points tels que a, a' et a'", où les tangentes au contour apparent sont verticales, et il n'est qu'approximatif pour les autres ; mais l'approximation qu'il fournit est très suffisante dans le dessin d'après nature. § 140. — Diviser en parties égales un cercle perspectif (fig. 225). Nous supposons que l'observation directe du modèle a fourni l'ellipse ACBD, perspective d'un cercle horizontal. — On veut diviser ce cercle en parties égales (en 10, par exemple), à partir d'un point m mis en place, lui aussi, par l'observation. Ce problème se présentera lorsque l'on dessinera une colonne cannelée ou un vase sur lequel des ornements seraient répartis à des distances égales entre elles. Nous supposons, comme toujours, que l'horizon hh' a été observé et indiqué sur le dessin. En réalité, c'est un relèvement du géométral, que l'on opérera de la manière suivante : 1° On circonscrit le carré perspectif FGHK et l'on en déduit le diamètre de front A B ; 2° Sur AB comme diamètre on décrit une circonférence A Mi Ni B que l'on considère comme le relèvement du cercle perspectif déjà dessiné, et l'on relève en Mi le point de départ m, de la division. 3° Sur le cercle relevé, à partir de Mi, on fait la subdivision demandée en Ni - N2 - N3 .... etc. 4° On fait l'opération inverse du relèvement; on fait donc un rabattement et l'on obtient en m - ni - etc les rabattements des points demandés. Remarque. — Avec un peu d'habitude, ces tracés peuvent se faire à main levée. 16 �§ 141. — Dans un dessin, exécuté d'après nature, retrouver expérimentalement la distance (entière ou réduite). La recherche du poiut de distance peut être utile, soit pour des restitutions perspectives, soit pour achever théoriquement des détails sur un dessin commencé par l'observation. Il serait presque absurde, étant placé en face d'un objet que l'on veut copier sur une feuille de papier de grandeur déterminée, de se donner à priori la distance principale. Ce serait, du même coup, s'imposer les dimensions principales du dessin et cela entraînerait, le plus souvent, une mauvaise mise en feuille. On procède autrement et ce que l'on s'impose généralement, à priori, c'est la plus grande dimension du dessin. Par exemple, lorsque l'on copie le cube représenté figure 216, il y a un instant de l'opération où les largeurs cb, ou ed, ou ab, sont déterminées. — A ce moment, mais à ce moment seulement, nous pouvons dire quelle est la distance qui répond au tableau que nous exécutons. Pour la trouver expérimentalement on prendra, très exactement avec son crayon, la largeur crf, ou da, ou a b, peu importe ; portant ensuite le crayon à bout de bras et le tenant de front on le superposera, en apparence, avec la longueur correspondante cle l'espace. Pour y arriver, il faudra reculer ou avancer la main; mais, lorsque la superposition sera obtenue, la distance de l'œil au crayon, longueur que l'on pourra mesurer avec un mètre, donnera la distance principale. On en déduira une distance réduite quelconque. Sur le croquis du port de Saint-Valéry (fig. 218), l'expérience faite a donné une distance égale à 32 centimètres. Le tableau a une largeur de 19 centimètres ; il est donc un peu trop large pour la distance. Il n'en est pas moins vrai que pour voir le dessin de la figure 218 de son point de vue exact et avoir l'illusion des lignes, on devra placer l'œil à 32 centimètres en avant de la feuille de papier. �TITRE IV PERSPECTIVES DE CONVENTION CHAPITRE PERSPECTIVE CAVALIÈRE ET XVI AXONOMÉTR1QUE PERSPECTIVE A. Perspective, «-septième Leçon PERSPECTIVE CAVALIÈRE OU PROJECTIONS OBLIQUES § 142.- — Généralités, fuyantes, rapport de réduction. Imaginons que le spectateur placé devant un tableau perspectif ordinaire s'éloigne indéfiniment de ce tableau. A la limite, lorsqu'il sera infiniment loin, les rayons visuels qui, de son œil, aboutissaient aux différents points des objets à représenter seront devenus parallèles entre eux et la perspective se sera transformée en une projection ; au lieu de rayons visuels, nous aurons des projetantes. Si ce déplacement du spectateur s'est fait suivant une trajectoire perpendiculaire au tableau, nous aurons une projection droite, c'est-à-dire une projection ordinaire ; s'il s'est fait suivant une direction oblique au tableau, nous aurons une projection oblique on perspective cavalière. On voit donc, à priori, que le problème de la perspective cavalière est le même que celui des ombres au soleil. Soit (fig. 226) OX — OY— OZ, trois axes de coordonnées, les trois arêtes d'un cube, par exemple, dont la première OX (largeurs) est horizontale et parallèle au tableau, dont la seconde OZ (hauteurs) est verticale et de front également, tandis que la troisième 0 Y (profondeurs) est perpenFig. 226 diculaire au tableau. Supposons que le spectateur se soit éloigné indéfiniment du tableau en suivant la direction 01, on aura en o x, o z et oy la perspective cavalière des trois arêtes du cube. Il est évident que les arêtes de front OX et OZ se perspectivent en ox et oz égales et parallèles à elles-mêmes, tandis que la troisième, OY, donnera pour perspective une droite quelconque o y. Nous nommerons fuyantes des lignes telles que o y qui seront les perspectives de droites de l'espace telles que 0 Y, perpendiculaires au tableau. Il est facile de voir que oy sera dans un rapport donné constant avec 0Y. Ce rapport constant, que nous désignerons par la lettre K, se nommera le rapport de réduction. Ainsi donc une perspective cavalière sera déterminée quand on se donnera la direction des fuyantes et le rapport de réduction K. La manière la plus simple de préciser les conditions d'une perspective cavalière consiste (fig. 227) à se donner en OX, 0 Y, 0 Z, la perspective cavalière des trois axes de coordonnées, c'est-à-dire des trois échelles, OX (échelle des largeurs), OZ (échelle des hauteurs), OY (échelle des profondeurs) et de graduer ces échelles (fig. 227). 0B L'échelle des profondeurs 0 Y donne la direction des fuyantes et le rapport -JJ-^- d'une division de l'échelle 0 Y à une I division de l'échelle 0 X ou OZ, donne le rapport de réduction K. Sur la figure 227, on a K — 2/3. �— 124 — De même que pour les projections droites et pour les ombres au soleil, on voit que dans une perspective cavalière : 1° Toute figure de front se perspective égale et parallèle à elle-même ; son éloignement ne modifie pas la grandeur cle sa projection oblique. En.perspective conique, une figure de front se perspectivait semblable, mais non pas égale à ellemême. Elle paraissait d'autapt plus petite qu'elle était plus éloignée; 2° Deux droites parallèles ont leurs perspectives cavalières parallèles. En perspective conique, deux droites parallèles convergent à un même point de fuite ; 3° Le rapport de deux segments pris sur deux droites parallèles se conserve en perspective cavalière. Il n'en est pas de même en perspective conique. § 143. — Rabattement d'une projetante sur un plan de front. Rabattons sur le plan de front XOZ, le plan qui contient la droite OY' de l'espace et sa perspective cavalière OY (fig. 227). La charnière du rabattement est la perspective OY. Le point O ne bouge pas. La ligne OY', qui dans l'espace est perpendiculaire au tableau et, par suite aussi, Fig. 227 perpendiculaire au plan de front XOZ, se rabat suivant O Yi perpendiculaire sur la charnière O Y. Le point G' situé dans l'espace à 2 mètres en avant du plan XOZ se rabat en Ci à une distance de 2 mètres mesurés non plus sur OY, qui donne les profondeurs réduites, mais sur OX ou sur OZ, qui les donne non réduites. Par conséquent, si le rapport de réduction K = 2/3 on aura OC — 2/3 OCi ou inversement OCi — 3/2 de OC. Autrement dit, pour avoir OCi on multipliera OC par le rgeurs rapport inverse du rapport de réduction. La projetante qui, dans l'espace, allait du point G' de l'espace à sa perspective C, va maintenant du point rabattu Ci au même point perspectif C ; donc, Ci G est le rabattement de la projetante et l'angle Ci GO — a, est l'angle que font les projetantes obliques, soit avec le plan du tableau, soit avec tout autre plan de front quelconque XOZ. g 144. — Perspective cavalière d'une circonférence horizontale. Soient OX, OY, OZ (flg. 228), les trois échelles graduées. Le rapport de réduction des fuyantes parallèles à OY est K - 1/2. Soit AB le diamètre horizontal d'un cercle à mettre en perspective cavalière dans le plan X Y. Nous opérons comme dans la perspective conique et nous faisons un relèvément du géométral autour de A B comme charnière. Ici le géométral est remplacé par le plan XOY. Le cercle se relève en A Ci B Di et apparaît en vraie forme. Pour avoir la perspective cavalière demandée, il ne reste plus qu'à faire l'opération inverse du relèvement, c'est-à-dire un rabattement. (a) RABATTEMENT D'UN POINT ET TANGENTE. — Soit Ni un point, quelconque du cercle relevé et Ni£ sa tangente. — Abaissons Nt« perpendiculaire sur la charnière. — Après le rabattement, cette droite prend la position fuyante «N et le rap1 port de réduction étant égal à — on prend Jà '■ 1 " n.N=:-- ?iNi. 2 Pour rabattre la tangente Ni t, on observera que le point t situé sur la charnière ne bouge pas dans le mouvement ; la tangente rabattue est clone tN. Remarque. - — Les points tels que Ni, Mi, Ci décrivent dans l'espace, en se rabattant, des arcs de cercle dont les cordes Ni N — Mi M, etc sont toutes parallèles entre elles. Or, on connaît facilement une d'entre elles, par . exemple, la corde PG, qui joint le point P situé à 1 mètre sur l'axe OZ, �— 123 — au point G situé à 1 mètre sur l'axe fuyant 0 Y. — On mènera donc les autres cordes parallèles à PG, ce qui dispensera de faire usage du rapport de. réduction. En somme, c'est la méthode de la corde de l'are. (b) PARALLÉLOGRAMME CIRCONSCRIT A L'ELLIPSE. — On rabat en IC le rayon I Ci perpendiculaire à AB ; on prend le point symétrique D et l'on obtient en a (3 y S un parallélogramme circonscrit. En A et B les tangentes sont parallèles aux fuyantes. (c) POINT POUR LEQUEL LA TANGENTE A L'ELLIPSE PASSE PAR UN POINT DONNÉ S. — On relève le point S en Si comme à l'ordinaire ; on mène la tangente SiMiM au cercle en vraie forme et l'on rabat Mi en M. NoU. — Ce problème serait à résoudre dans le cas où S serait la perspective cavalière du sommet d'un cône dont l'ellipse serait la base. Dans ce cas, la tangente serait le contour apparent du cône. (d) POINT POUR LEQUEL LA TANGENTE A L'ELLIPSE EST PARALLÈLE A UNE DIRECTION DONNÉE EF. — On relève EP en EFi. — On mène au cercle, en vraie forme, une tangente LiK parallèle à EFi et l'on rabat LiK en LK. § 145. — Perspective cavalière d'un assemblage de charpente. La figure 229 représente en plan et élévation un -assemblage dit à tenon sur l'arête. Deux pièces de bois, à sections droites carrées, sont l'une M verticale, l'autre N horizontale. Elles ont le même équarrissage, et leurs carrés de section droite se présentent en diagonale. Cet assemblage est surtout usité pour réunir ensemble les poteaux et les traverses d'une forte barrière. Les pièces de bois placées ainsi sur l'arête se présentent sur leur plus grande largeur et ont, par suite, plus de résistance aux efforts qui tendraient à les briser. Pour en donner la perspective cavalière, -nous prendrons (flg. 230) en OX—OZ et O Y les directions des trois échelles. Nous conviendrons de doubler, par rapport à l'épure, les largeurs et les hauteurs comptées parallèlement à OX et O Z et de ne pas doubler les profondeurs ; en réalité cela revient à dire que les fuyantes parallèles à O Y seront réduites dans le rapport Kz: 1/2. [a) Nous construisons d'abord la perspective d'une section droite AB y 8. —On a pris pour cela y 8 (tableau) = 2 fois y' 8' (épure), et la fuyante B A (tableau) — b a (épure). Par AB y et S nous menons, parallèlement àOX, les arêtes indéfinies de la pièce. [b) Nous plaçons ensuite les, points rentrants C et D. A cet effet nous portons y C (tableau) — 2 fois y'c' (épure) et 8 D rz 2 fois B'rf'. Nous avons ainsi, en ACBD, le quadrilatère (gauche) d'occupation, ainsi nommé, parce que, si l'on entaillait la pièce N suivant deux plans ACD et BCD formant un dièdre rentrant, la pièce N pourrait s'appliquer sur la pièce M et y occuperait sur ses faces une place limitée par ce quadrilatère. Dans ces conditions, il y aurait contact, mais Fig. 230 non pas assemblage, et, pour maintenir en place, il faut à la pièce N Tall eau une saillie T dite tenon, qui puisse pénétrer dans une entaille correspondante, dite mortaise, pratiquée dans la pièce M. (c) Le dièdre rentrant dont CD serait l'arête est tronqué par un plan 1,2, 3, 4, qui se nomme la portée du tenon. Pour en obtenir la perspective on a pris sur la ligne CT, qui est de front, et par suite n'est pas réduite, une longueur CF (tableau) — 2 fois c'/' (épure), ce qui détermine le rectangle de portée 1, 2, 3, 4. On vérifiera que les fuyantes 1 — 2 et 3 —4 du tableau sont égales aux longueurs 1 — 2 et 3 — 4 de l'épure. ( d ) L'embase du tenon, 5, 6, 7, 8 (tableau) se place en se repérant sur la ligne verticale F G, prise comme axe du rectangle de portée. — On a : 6 — 7 (tableau) — 2 fois 6' — T (épure) et 5 — 6 (tableau) = 5 — 6 (épure). �— 126 — (e) Le tenon s'achève en menant ses arêtes o — 9,6 — 10, etc.. .. parallèles à O X et égales à deux fois les longueurs correspondantes mesurées sur l'épure. § 146. — Perspective cavalière d'une sphère. Soient OX, OY, OZ (fig. 232) les trois échelles ou axes de coordonnées. Le rapport de réduction K est supposé égal à 2/3. Le point C est la perspective du centre de la sphère ; c, c' et y sont les perspectives des projections de ce centre sur les trois plans de coordonnées XOY — XOZetYOZ. (a) CONTOUR APPARENT PERSPECTIF DE LA SPHÈRE. — C'est le même problème à résoudre que celui qui consiste à chercher l'ombre portée par une sphère sur un plan ; seulement, ici, les rayons lumineux sont remplacés par des rayons visuels. Sa solution consiste, en dernière analyse, à circonscrire à une sphère O (fig. 231) un cylindre qui, par conséquent, est de révolution, et à couper ce cylindre par un plan qui est le plan du tableau. Les génératrices du cylindre sont parallèles aux rayons visuels. On sait que la section plane d'un cylindre de révolution est une ellipse dont le grand axe A A' est d'une part sur le tableau (ici plan sécant\ et, d'autre part, sur le plan méridien qui est perpendiculaire au plan sécant, c'est-à-dire qui contient à la fois l'axe O Y du cylindre et une perpendiculaire Y/'au plan sécant. D'ailleurs, si du point o, où l'axe perce le plan sécant, on avait, comme centre, tracé une sphère inscrite dans ce cylindre et si l'on avait coupé cette sphère par le plan méridien que nous venons d'indiquer, on aurait obtenu une circonférence o mn et les deux génératrices du cylindre m A et n A ', tangentes à cette circonférence, auraient donné les extrémités du grand axe A A '. Le petit axe BB' est perpendiculaire au précédent et égal au diamètre de la sphère. Raisonnons maintenant en perspective cavalière. L'axe O V du cylindre, même figure 231, donnera la direction des rayons visuels, c'est-à-dire des projetantes. Le plan sécant T sera le tableau. La perpendiculaire /T au tableau aura pour perspective cavalière la droite A'o Af, qui est par conséquent une fuyante. Considérons maintenant la figure 232. Le grand axe de l'ellipse de contour apparent perspectif cle la sphère a pour direction A A ' la fuyante qui passe par la perspective C du centre. Pour en avoir les limites A et A ' rabattons sur le plan de front C cy' y du centre et autour de A A ' comme charnière, la section faite dans la sphère par le plan contenant à la fois les projetantes et les fuyantes. Nous obtenons en mn le grand cercle de front de la sphère ; nous lui menons les tangentes m A et n A'parallèles à la direction a ai des projetantes rabattues (voir § 143) et nous obtenons en A et A' les extrémités du grand axe. 1 Le petit axe est B B ' perpendiculaire à A A ' et égal au diamètre de la sphère. (b) OMBRES PORTÉES DU CENTRE. —On se donne encci, sur le géométral XOY, la projection en perspective du rayon lumineux qui passerait par le centre ; et en c' Ci sa projection sur le plan XOZ, ou plan vertical. Nous en déduisons facilement la perspective C Ci du rayon lumineux de l'espace, ainsi que les traces C2 de ce rayon sur le plan horizontal XOY et Ci trace sur le plan vertical X O Z. Le point C2 est l'ombre portée par le centre sur le plan horizontal et Ci son ombre portée sur le plan vertical. (c) ELLIPSE D'OMBRE PORTÉE PAR LA SPHÈRE SUR LE PLAN VERTICAL XOZ.— Cette ombre se perspective en vraie grandeur, car elle est portée sur un plan de front. Pour l'obtenir (1), considérons le plan méridien qui projette le rayon lumineux central CC'i sur le plan vertical ; sa trace sur le plan vertical est c'C'i. Rabattons-le autour de cette ligne comme charnière : le centre vient en C3 sur une perpendiculaire c'Gz à la charnière et l'on prend c'C3 égal à Ce' multiplié par l'inverse du rapport de réduction K. Ici, K —: 2/3, donc c'C3 ~ 3/2 Ce'. La section méridienne de la sphère se rabat suivant le cercle D3 E3, et le rayon lumineux est rabattu suivant C3 Ci. On mène au cercle méridien rabattu les tangentes lumineuses E3 E'i et D3 D'i, ce qui donne en D'i et E'i, sur le plan vertical, les extrémités du grand axe de l'ombre portée. Le petit axe K'i G'i est perpendiculaire au précédent et égal au diamètre de la sphère. L'ombre portée sur le plan vertical est donc déterminée par ses axes. (d) OMBRE PROPRE. —■ Pour l'avoir, on remontera par des rayons lumineux inverses D'i D — E'i E, etc des points (1, Revoir, Ombres usuelles, § 16. L'ombre de la sphère. �— 127 — d'ombre portée aux points d'ombre propre sur la sphère. Ainsi, pour les points E et D, répondant aux extrémités du grand axe, on remarquera que e'E est une fuyante, tandis que E'i E est un rayon lumineux de l'espace parallèle à GG'i. Le croisement de ces deux lignes donnera donc le point E ; de même pour le point D. Quant aux points G et K, ils sont, d'une part, sur les rayons lumineux inverses menés par les points G'i et K'i et, d'autre part, sur la ligne de front KCG menée Fig. 232 par le centre et parallèle au petit axe K'i G'i de l'ellipse d'ombre portée ; l'ellipse d'ombre propre est donc déterminée par deux diamètres conjugués K G et D E, ce qui suffit. (e) OMBRE PORTÉE SUR LE PLAN HORIZONTAL. — On cherche en Dg E2 et G2 K2 les traces horizontales sur le plan XOY des rayons lumineux dont on vient de se servir et l'ellipse d'ombre portée est déterminée horizontalement par deux diamètres conjugués K2 G2 et D2 E2, ce qui suffit. § 147. — Remarque générale sur la perspective cavalière. On voit (fig. 232) le mauvais aspect produit par la perspective cavalière dans le cas où on l'applique à un ensemble. Pour le spectateur qui regarde une perspective cavalière et qui, instinctivement, fait la restitution des lignes comme il le ferait devant un véritable tableau perspectif, les fuyantes qui sont parallèles sur le tableau lui font l'effet de lignes qui ne sont pas réellement parallèles dans l'espacé. Nous avons vu au chapitre relatif aux restitutions que, sur une vraie perspective conique, deux lignes dans ces conditions se rencontrent en réalité dans le plan neutre ou- plan de front du spectateur. C'est bien là l'effet produit par une perspective cavalière un peu importante. Loin de paraître parallèles, les fuyantes semblent converger sur le spectateur. Nous recommandons donc de n'employer la perspective cavalière que pour les dessins de détail, analogues à l'assemblage de charpente de la figure 230. Alors elle a pour avantage de permettre de prendre directement des mesures sur les trois dimensions principales du dessin, ce qui suffit dans presque tous les cas, et dans ces conditions elle permet presque de se passer d'un relevé géométral. B. PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE ET ISOMÉTRIQUE § 148. — Principe de la perspective axonométrique. Dans les édifices et dans les machines on distingue en général trois directions principales parallèles aux arêtes d'un �— 128 — trièdre trirectangle OX, OY, OZ. Dans la perspective axonométrique, on place ce trièdre des axes coordonnées dans une position quelconque, puis on le projette orthogonalement, et non pas obliquement, sur le plan de projection. Tel est le principe de la perspective axonométrique ; on voit de suite que tandis que, dans la perspective cavalière on gardait les deux axes OX et OZ parallèles au tableau et on projetait obliquement le troisième axe O Y, ici aucun des axes ne sera parallèle au tableau ; ils seront tous les trois réduits Fig. 233 par le fait de la projection orthogonale. Voyons d'abord si trois droites quelconques SX, S Y, S Z, issues d'un même point, peuvent être prises pour projections orthogonales des trois arêtes d'un trièdre trirectangle, par exemple des trois arêtes d'un cube, et, cela étant reconnu possible, dans quel rapport chacune d'elles sera réduite par le fait de sa projection, ce qui permettra de déterminer l'échelle de chacun des axes. A cet effet, supposons que nous ayons coupé le trièdre par le plan de projection et soient a, b, c (fig. 233), les traces de ces trois arêtes. — Nous remarquerons d'abord que les droites ab — bc — ca, traces des trois faces sur le tableau, doivent être perpendiculaires aux projections des arêtes opposées, Se, Set et S b, d'après le théorème connu : Lorsqu'une droite est perpendiculaire sur implan, saprojection orthogonale est perpendiculaire sur la trace du plan. Cette première condition est déjà réalisée, car si a b et bc sont respectivement perpendiculaires sur SZ et SX, d'après le théorème que : les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point S, la troisième base ac, du triangle abc est aussi perpendiculaire sur S Y. Cherchons maintenant la hauteur du point S de l'espace au-dessus du plan de projection. A cet effet, rabattons le plan projetant l'arête Se. L'angle DSc de l'espace étant droit, puisque Se est perpendiculaire au plan XOY, son sommet S se rabattra sur la circonférence décrite sur cD comme diamètre, ce qui le déterminera en S2. On aura donc en S2C l'une des arêtes en vraie grandeur, et-SSz donne la hauteur du sommet S. On fera cle même pour les deux autres droites S b et Sa. On aura leurs rabattements en Si a et S3Ô, et la hauteur du sommet se retrouvera encore en S Si et S S3. 11 faut démontrer que les trois hauteurs S Si — S S2 et S S3 obtenues ainsi pour le point S sont égales. Or, dans chaque demi-circonférence, telle que «Si F, on a : S S" =z S F X Sa. Il suffit donc de prouver que les trois produits S F X S a, SD X Se et SE x S 6 sont égaux, ce qui résulte de ce théorème de géométrie que: dans un triangle quelconque, les produits des segments des hauteurs sont égaux entre eux. Il est donc démontré que les trois droites quelconques Sa—S b et S c peuvent être les projections d'un trièdre trirectangle. Echelles des trois arêtes. — Pour avoir les trois échelles nous portons en Si Mi — S2M2 — S3M3, sur les trois arêtes rabattues, une longueur égale à 1 mètre et nous projetons ces trois points sur les trois droites Sa — S b — S c, ce qui nous donne en 1, 1 et 1 une longueur de 1 mètre réduite par le fait de la projection et ce qui nous détermine les échelles des trois axes. Remarque. — Ces échelles sont différentes pour chacun des axes. C'est un inconvénient qui disparaîtrait si les trois, droites Sa — Sb — Se étaient également inclinées l'une sur l'autre, autrement dit si elles faisaient entre elles des angles de 120 degrés. Dans ce cas, il est évident que les trois rabattements que nous avons faits tout à l'heure conduiraient aux mêmes figures et, par suite, aux mêmes échelles. — La perspective axonométrique deviendrait, dans ce cas, une perspective isométrique. § 149. — Perspective isométrique. Ainsi que nous venons de le dire, c'est une perspective axonométrique dans le cas particulier où les trois arêtes du trièdre sont également inclinées sur le tableau. — Le triangle abc formé par les traces des faces est alors équilatéral. �— Fig. 234 X' 129 — Faisons en c'&id' (flg. 234) le même rabattement que cidessus. Nous trouvons en a l'angle que fait une facile arête avec que le plan de projection (1), se — Si c' X et il est de prouver c . .- c \ S K V -^4 = 0,806. Si c'. V 3 En supposant que l'on projetât isométriquement l'objet luimême, ses dimensions parallèles aux trois axes seraient donc les 0,806 de la grandeur naturelle. Cela conduirait à des échelles assez compliquées et d'un emploi peu commode. Aussi, en général, et à' 1/ a d b afin de faciliter les mesures, on adopte des échelles simples pour les trois axes; par exemple, on prendra l'échelle de 0m01, ou 0m02 pour 1 mètre. Cela reviendrait à dire que, dans l'espace, le cube dont S a, S b et S c, seraient les projections des arêtes, serait lui-même réduit non pas à l'échelle de 0m01 ou 0ra02 pour 1 mètre, mais à ces mêmes échelles multipliées par le rapport inverse fig. 235 1 ou 0,806 4=r = 1,240. § 150. — Perspective d'une circonférence isométrique. Toutes les circonférences situées dans des plans isométriques (on nomme ainsi les plans parallèles aux faces du trièdre) se projettent suivant des ellipses semblables. Soit, par exemple, une circonférence dans le plan XOY. — Soit R son rayon et O son centre. Le grand axe A A sera parallèle*à la trace du plan X Y sur le tableau, c'est-à-dire perpendiculaire à la bissectrice de l'angle XOY. — Sa grandeur sera 2 R X 1,240, d'après la con. , , ,JR ,/T i 2R/T t vention ; le petit axe sera égal à —trz— X -r=: — -z—■ <J 2 \l 3 2 On pourra le calculer facilement. On peut tracer plus facilement encore cette ellipse.' En effet : Les deux demi-diamètres O P — O Q parallèles à OX et à OY seront égaux à R.— Ce seront des diamètres conjugués comme projections de deux diamètres à angle droit du cercle, ce qui permettra de tracer l'ellipse. § 151. — Rapporteur isométrique. Il se compose d'une série de circonférences isométriques, concentriques et équidistantes. En réalité, il est donc formé d'ellipses semblables. On s'en sert en plaçant le petit axe des ellipses parallèle à la bissectrice de la face dans laquelle on opère. Il est gradué angulairement, comme un rapporteur, à l'aide du rabattement d'une des circonférences, et permet, soit de construire des angles donnés, soit de porter une iongueur donnée sur une ligne parallèle ou non aux axes, soit de mesurer directement une longueur qui, dans un Pour, terminer, nous reproduisons (flg. 236), des plans isométriques, ne serait pas parallèle à l'un des axes. > Nous n'insistons pas sur l'usage de cet instrument qui est peu répandu. avec autorisation de l'auteur, comme exemple de l'emploi de la perspective axonométrique, une des ligures du bel ouvrage de M. Choisy, ingénieur en chef des ponts et chaussées, sur l'Art de bâtir chez les Romains (2). Sc J Z * J 3 (1) La trigonométrie donne : Cos. a = -— = -,— = 0,806 et Sin. a = —L = -— ■— = 0,S77. S c 1 v/T 3 3 (2) M. Choisy donne cotte figure comme exemple, aux arènes d'Arles, de la construction d'un berceau par anneaux indépendants. On remarquera que les joints, celte dans deux assises consécutives, sont dans le prolongement les uns des autres J 17 �M. Choisy recommande de choisir les trois axes OX, OY et OZ, de manière à se rapprocher, autant que possible, de la projection isométrique ; cependant, dans la plupart des cas, l'effet produit est meilleur lorsque les trois axes ne sont pas rigoureusement inclinés à 120° les uns sur les autres. Il y a toujours quelques tâtonnements à faire dans le choix des axes pour que la figure se présente favorablement. Quant aux échelles, il recommande de les prendre égales entre elles, même si la perspective est axonométrique et non isométrique. Le lecteur fera bien de s'exercer à mettre en perspective cavalière ou axonométrique des objets simples, dont il aura fait, au préalable, le relevé géométral.' PIN DE LA PERSPECTIVE �1 TROISIÈME PARTIE LE RENDU MACHINES DANS LE DESSIN D'ARCHITECTURE ET DANS LE DESSIN DE CHAPITRE A. Le Rendu Première Leçon PREMIER GÉNÉRALITÉS § 152. — Objet de cette étude. La théorie des ombres avait pour but, connaissant la position d'une ou de plusieurs sources de lumière directe, de déterminer sur la surface des corps les portions de ces surfaces qui sont éclairées et celles qui sont dans l'ombre. La théorie du rendu a pour objet d'étudier les différences d'éclat ou de couleur que présentent ces surfaces en ayant égard : 1° A la manière dont leurs différents éléments reçoivent la lumière directe ou les reflets ; 2° Aux positions que ces éléments occupent, par rapport au spectateur. Elle donne la marche à suivre pour rendre ces différences sur les dessins à l'aide de couleurs, couleurs parmi lesquelles nous rangerons l'encre de Chine ou tout autre ton servant à produire les effets de l'ombre. La théorie du rendu sera basée sur l'étude de 3 principes ; Fig. 237 1° Le principe des orientations ; -2° Le principe des couleurs ; 3° Le principe des distances. § 153. — Rayons lumineux directs et rayons visuels. Nous admettrons comme toujours que, dans le dessin industriel, lesrayons lumineux directs sont parallèles entre eux etviennent à 45°, c'est-à-dire parallèlement à la diagonale du cube. Les rayons visuels aboutissent à l'œil de l'observateur. S'il s'agit de regarder une projection horizontale (fig. 237), on suppose l'observateur placé à l'infini, du côté de B, c'est-à-dire au-dessus du plan horizontal et les rayons visuels sont tous parallèles à la verticale AB. S'il s'agit, au contraire, d'une élévation, les rayons visuels ont la direction CD, perpendiculaire au plan vertical. �— 132 — § 134. — Corps dépolis, corps polis et corps mi-polis. La lumière, en frappant la surface d'un corps, peut être renvoyée de deux manières différentes suivant que ce corps est dépoli ou poli. Dans le premier cas, la lumière est diffusée, ce qui veut dire qu'elle est renvoyée dans tous les sens ; dans le second cas, elle est réfléchie spéculairement comme dans un miroir, c'est-à-dire qu'elle est renvoyée dans une direction bien déterminée. Nous considérerons, en outre, les corps mi-polis qui participeront, comme propriétés, des corps polis et des corps dépolis. — Sur ces corps les lumières intenses se réfléchissent plus qu'elles ne s'y diffusent, les lumières faibles font le contraire. § 155. — Expérience sur l'éclairement et sur l'éclat apparent des corps dépolis. On prend un plan parfaitement dépoli, une plaque recouverte de plâtre, par exemple, ou de papier blanc non glacé que l'on éclaire par la lumière solaire, ou bien encore un bâton de craie dont on a dressé Fis;. 23S la surface bien plane, en la frottant sur un autre bâton. Ce plan s'éclaire uniformément et paraît d'une teinte blanche parfaitement unie. L'expérience suivante est facile à réaliser (fig. 238). On prend un tube, norci intérieurement au noir de fumée pour éviter les réflexions intérieures, et à l'aide de ce tube on regarde le plan dans toutes les directions b a, d c, etc L'extrémité ouverte paraîtra former un rond blanc d'un certain éclat, et il sera impossible de saisir les variations d'éclat quand on changera l'inclinaison du tube, excepté ■c lorsque l'on se placera très près de l'incidence rasante, auquel cas il se produira un assombrissement dû aux aspérités de la surface qui se recouvrent les unes les autres et qui présentent chacune leur partie dans l'ombre. Ces effets sont les mêmes que ceux qui se produiraient avec une plaque de métal rougie au feu et devenue source de lumière. Quelle que soit la. manière dont on orienterait cette plaque devant les yeux» son éclat apparent ne varierait pas. • Fig. 239 On peut faire l'expérience d'une manière encore plus concluante. On prend un prisme de plâtre ou un bâton de craie, dont l'une des arêtes A- est bien vive (fig. 239), et on l'éclairé de telle sorte que deux de ses faces AB et AC, paraissent également lumineuses. Avec le tube précédent, on regarde l'arête A et quelle que soit la direction du tube Am — An —Ap, les deux faces paraissent toujours aussi lumineuses l'une que l'autre. C'est à peine si l'arête A peut se distinguer ; il semble que les faces B A et AC soient dans le prolongement l'une de l'autre. Dans un amphithéâtre l'expérience se fait très facilement. On oriente le prisme devant une fenêtre, de telle sorte que, pour un spectateur déterminé, les deux faces paraissent se confondre comme éclat apparent, et l'on constate que pour tous les autrés spectateurs il en est de même. § 156. — Conséquences relatives à la lumière émise par une surface dépolie. Des expériences précédentes, on peut dégager les conséquences suivantes : 1° Un élément plan d'une surface dépolie se conduit, une fois éclairé par une source de lumière, comme le ferait un corps lumineux par lui-même (1), par exemple comme une plaque de tôle rougie au feu. Fig. 210 M m (i) L'intensité des rayons émis par une surface dépolie ou par une surface source de lumière est proportionnelle au cosinus de l'angle fait par les rayons émis avec la normale à la surface. Nous nommerons cet angle l'angle d'émission. En effet : Soit Q la quantité de rayons émis normalement par un élément de surface égal à A ; Q' la quantité émise par le même élément sous l'incidence a. Les premiers forment un cylindre dont la section droite est M H = A. Les seconds en forment un autre de section droite M'N' = MN cos. a == A cos. a. Or, puisque, vu sous ces deux directions, l'élément paraît également éclatant, c'est que les quantités de rayons reçus sur l'unité de surface, en section droite, sont égales dans les deux cas. Ces quantités sont : Q Q' pour la direction normale et dans la deuxième direction. A cos. a A Q' d'où Q' = Q cos. a, C. Q. F. D. On donc A cos. �— 133 — 2° L'éclat apparent d'une surface dépolie ne dépend pas de la position du spectateur, mais uniquement de l'intensité de la source lumineuse et de l'angle sous lequel la lumière directe frappe cette surface. La deuxième expérience,, celle du prisme, le prouve bien clairement. 3° Sur une surface dépolie, éclairée par une ou plusieurs sources de rayons lumineux, les lignes d'égal éclat apparent sont les lignes d'égal éclairement. § 157. — Eclairement total. — Eclairement unitaire d'une surface plane. L'éclairement total d'une surface plane égale à A est la quantité totale Q de lumière reçue par cette surface. • L'éclairement unitaire serait la quantité de lumière reçue par l'unité de surface (par le millimètre carré, par exemple). L'éclairement unitaire est important à considérer. Une surface dépolie nous semblera également éclatante si son éclairement unitaire est le même partout, c'est-à-dire si chaque millimètre carré est également éclairé (1). Par conséquent, sur une surface dépolie, les lignes d'égal éclairement, et par suite d'égal éclat apparent, sont les lignes d'égale incidence, c'est-à-dire les lignes telles qu'en leurs différents points les rayons lumineux font un même angle avec la normale à la surface ; plus cet angle est petit, c'est-à-dire plus le rayon lumineux se rapproche de la normale, ou, ce qui revient au même, s'éloigne du plan tangent, plus l'éclairement est grand et plus grand aussi est l'éclat apparent. § 158. — Rayons indirects ou de reflets. Si la lumière solaire était unique et que l'on fût dans le vide absolu, c'est-à-dire en dehors de l'atmosphère et de tout objet environnant, il n'y aurait aucun reflet'et tous les points d'une surface, situés dans l'ombre, seraient absolument noirs. Or, dans les conditions ordinaires, il n'en est pas ainsi ; une ombre n'est jamais noire. Il y a donc des sources indirectes de lumière qui produisent ce que l'on nomme des reflets. Ces reflets peuvent provenir des causes les plus variées. Il serait impossible de tenir compte théoriquement de toutes ces causes. Les artistes seuls peuvent rendre, à la condition de les étudier d'après nature, les effets de lumière, de coloration, d'ombre ou de demi-teintes dus aux causes très multiples des reflets qui se présentent aux yeux. Dans cette étude théorique nous ne tiendrons compte que des reflets dus à l'atmosphère, ou reflets atmosphériques et de ceux qui sont dus au sol, ou reflets terrestres ; et encore ferons-nous des hypothèses et des conventions dont il faudrait bien se garder de tirer des conséquences trop absolues. Disons de suite qu'il faut beaucoup étudier d'après nature et observer sans cesse les effets que la lumière produit à la surface des corps sous peine d'exagérer et d'interpréter maladroitement ce que nous allons dire par la suite. (a) REFLETS ATMOSPHÉRIQUES. — On assimile chaque molécule d'air, ou. de poussière contenue dans l'air, à une très petite sphère brillante qui réfléchirait la lumière dans tous les sens. Dès lors un objet, Fi . 24i même dans l'ombre, recevra de la lumière indirecte émanant de toutes ces petites g sphères en nombre presque infini. Il est facile devoir, en prenant une de ces petites sphères, figure 241, que les rayons solaires qui la frapperaient normalement, dans la direction AB, seraient refléchis suivant a' b' en revenant sur eux-mêmes, tandis que d'autres tels que CD, qui ne la frapperaient pas normalement, seraient réfléchis suivant c' d'. L'ensemble des rayons qui frapperaient la sphère sous la même incidence que C D formeront un cône, d'autant plus ouvert et par conséquent d'autant moins garni de rayons et d'autant moins éclairant que le rayon CD, sera plus près d'être tangent à la sphère. Il résulte de là que les rayons obliques C D seront plus ou moins dispersés par le fait de la réflexion sur les molécules d'air et donneront, par suite de cet éparpillement, après la réflexion, un éclairage moins intense que les rayons normaux ou presque normaux qui ne sont pas ou presque pas dispersés. (1) Théorème. — L'éclairement unitaire d'un élément de surface est proportionnel au cosinus de l'angle d'incidence dos rayons lumineux. En effet, soit AB C D un prisme à section droite carrée, servant d'enveloppe à toute une série de rayons lumineux en quantité Q. Un premier plan P, normal aux rayons lumineux, recevra une quantité de lumière représentée par Q. — Soit A la section droite du prisme, l'éclairement unitaire du plan P sera : Q A E ■ . Un plan P' incliné sur le plan précédent d'un angle i sera coupé par le prisme suivant une section de surface égale à . La quantité do A COS» CC Q * '.. lumière reçue sera toujours Q et l'éclairement unitaire W= . Q cos.'a . ' • . . On a donc : W = E cos. a. ' . G. Q. F. D. �— 134 — Par conséquent, l'atmosphère donne des reflets dans toutes les directions, mais c'est clans la direction a'b', directement opposée aux rayons solaires, que les reflets atmosphériques sont le plus éclairant, tandis qu'ils le sont le moins, dansune direction perpendiculaire telle que c' d'; néanmoins il ne saurait y avoir beaucoup de différence entre les intensités des reflets qui viennent suivant ces différentes directions. (b) LE CIEL, SOURCE DE REFLETS. — On se rendra mieux compte encore de la loi de répartition de ces reflets en se figurant (fig. 242) placé en 0 et comme enveloppé dans la sphère céleste et en considérant ce que les peintres appellent le cielEn quelque point que l'on regarde le ciel, il paraît lumineux et par conséquent, il envoie des reflets. Si on le regarde en S on trouvera le soleil envoyant des rayons très intenses ; mais tout autre point Fis. 242. tel que a en enverra aussi ; le ciel paraîtra encore très lumineux en a, près du soleil, et plus on se rapprochera de l'équateur EE', c'est-à-dire du méridien dont le plan est perpendiculaire à la ligne S 0, plus l'éclat du ciel ira en diminuant ; en EE' on passe par un minimum. — Au-delà de EE', en b par exemple, l'éclat augmentera un peu et sera de nouveau maximum pour le point S' opposé au soleil ; mais ce dernier maximum ne saurait être comparable à celui qui répond au soleil S. D'ailleurs si nous prenons sur la. sphère céleste des points tels que a, a', a" r situés sur un même parallèle, ils auront le même éclat ; ils enverront donc desrayons indirects qui auront la même intensité. Autrement dit, si l'on classe les rayons indirects suivant leur intensité, tous les rayons de même intensité tels que ■ aO — ci 0 — a" 0, etc arriveront suivant les génératrices d'une série de cônes de révolution qui auraient pour axe commun la ligne S S ', c'est-à-dire le rayon solaire principal. (c) RAYON ATMOSPHÉRIQUE PRINCIPAL. — Si nous imaginions que, l'atmosphère n'existant plus, il y ait seulement deux sources de lumière : l'une le soleil S éclairant dans la direction S 0 et l'autre, un second soleil fictif S ' très peu lumineux, par rapport à l'autre, éclairant dans la direction opposée S' 0. Ce deuxième soleil produirait, à lui seul, à peu près le même effet que tous les reflets atmosphériques réunis. Il peut être commode de le considérer au lieu de ces reflets et nous nommerons rayon atmosphérique principal, la direction de lumière qu'il pourrait nous envoyer. Mais il faut bien remarquer que le soleil des reflets, est tout à fait fictif ; il n'a pas de propriétés ombrantes comme le soleil vrai ; il ne peut pas donner lieu à des séparatrices d'ombre et de lumière, il n'est là que pour nous aider à comprendre les variations d'intensité d'éclairage réel ou apparent dans les ombres. (d) REFLETS TERRESTRES. — Le sol, supposé horizontal, et éclairé par un plein soleil, doit être considéré comme une surface dépolie, qui reçoit la lumière et la diffuse dans tous les sens, d'après les lois étudiées ci-dessus. Il devient unesource lumineuse qui éclaire dans toutes les directions et il donne des reflets importants qui l'emportent ordinairement sur les reflets atmosphériques. Nous les étudierons plus tard, quand nous parlerons du rendu dans le dessin d'architecture. Nous commencerons par les négliger et nous allons, pour débuter, considérer les objets comme noyés dans une atmosphère indéfinie et comme placés suffisamment loin du sol pour n'en pas éprouver de reflets. B. PRINCIPE DES ORIENTATIONS ET SES CONSÉQUENCES. § 139. — Variations dans l'éclairement des différents points d'un objet noyé dans l'atmosphère. , D'après ce qui précède, même si nous masquons le soleil à un élément de surface, cet élément sera éclairé par les rayons indirects qui lui viendront du ciel. De l'étude faite nous pouvons déduire ce qui suit, suivant que l'élément est dans la lumière, dans l'ombre propre ou dans une ombre portée. (a) ZONES EN LUMIÈRE. — L'éclat apparent des zônes en lumière dépendra de la nature de la surface, suivant qu'elle est dépolie, polie ou mi-polie. Nous donnons plus loin la manière de déterminer ces zônes sur une sphère : (Chapitre II). (b) ZÔNES D'OMBRE PROTRE. — 1° Plus il y aura de rayons indirects qui seront masqués, plus l'ombre sera noire, et inver- sement. 2° De deux éléments placés clans l'ombre, celui qui se rapprochera le plus d'être normal au rayon atmosphérique principal, sera donc le plus reflété. �— 13,-) — 3° L'ombre portée par un objet sur un autre diminue d'intensité lorsque la distance des deux objets augmente ; en effet, fig. 243, lorsque l'objet qui porte ombre est placé près (position A), il masque un plus grand nombre de rayons atmosphériques que lorsqu'il est loin (position B) ; il lui cache une plus grande étendue du ciel. C'est pour cette raison que (voir C) lorsqu'un objet porte ombre sur un autre (par exemple un cylindre portant ombre sur un plan, une cheminée portant ombre sur un toit) l'ombre portée est plus noire, en m, à son point de départ qu'en n à son extrémité. 4° La séparatrice d'ombre propre, ayant ses éléments qui regardent précisément les points du ciel les moins éclairés sera plus noire que tout autre élément de surface pris dans l'ombre propre, sans être cependant complètement noire, et tout en étant moins noire que les éléments situés dans l'ombre portée, ainsi que nous le disons plus loin. (c) ZONES D'OMBRES PORTÉES. — Lorsqu'une surface courbe possède une de ses régions dans l'ombre portée par une autre surface, cette région ne reçoit plus ni les rayons directs ni les rayons atmosphériques voisins des rayons directs et qui sont les plus intenses. Or, prenons deux éléments de surface, l'un voisin de l'incidence normale m et l'autre m' voisin de la ligne d'ombre propre (fig. 244). Pour fixer les idées, imaginons que l'écran E, qui projette une ombre, soit un plan assez grand. 1° L'élément m reçoit F s 2l4 ' ' ' p'\ /}> les rayons atmosphériques compris entre le plan mp qui mené par m va raser le bord de l'écran et le plan tangent m q. D'une part ces rayons sont peu nombreux, car l'angle p m q est petit, et, d'autre part, ils viennent des points du ciel les moins éclairés. De plus, ils arrivent obliquement. Donc ce point m sera très peu éclairé par les reflets. 2° L'élément m', au contraire, reçoit les rayons, bien plus nombreux, compris entre le plan m' p' rasant l'écran et le plan m' q' tangent à la surface, parmi lesquels un grand nombre le frappent normalement et viennent de points du ciel qui sont éclairants. Donc l'élément m' sera plus éclairé que m. A plus forte raison le point n, directement opposé au poin m, et dans l'ombre propre, sera plus reflété encore que le point m'. (d) Loi DE L'ÉCLAIREMENT DANS LES OMBRES PROPRES ET PORTÉES. — Tout ce qui précède peut se résumer de la manière suivante : 1° Dans l'ombre propre, un élément sera d'autant plus éclairé par l'ensemble des rayons atmosphériques qu'il l'eût •été davantage par le rayon atmosphérique principal supposé existant seul. 2° Dans l'ombre portée, un élément m ou m' sera d'autant plus sombre qu'il eût été plus clair si cette ombre portée n'eût pas existé. 3° Les lignes d'égales teintes dans l'ombre portée seront les mêmes que si cette ombre n'existait pas ; seulement, les zônes qu'elles sépareront seront d'autant plus noires qu'elles eussent été plus éclairées sans l'existence de cette ombre portée. 4° Dans l'ombre propre, les lignes d'égales teintes se traceront en faisant l'hypothèse d'un soleil fictif, existant seul et directement opposé au soleil réel. Par conséquent, si le corps est dépoli, les lignes d'égales teintes, étant les lignes d'égale ^incidence, s'obtiendront en continuant le tracé de celles qui correspondent à la partie éclairée de la surface et comme si les rayons directs étaient susceptibles de les atteindre. C. PRINCIPE DES COULEURS ET SES CONSÉQUENCES. § 160. — Tons simples et purs, rabattus ou éclaircis. En peinture, lorsqu'on ne cherche pas à se tenir dans les lois rigoureuses de la physique, on admet trois couleurs simples que nous nommerons les tons simples et qui, par leur réunion, formeront le blanc, ce sont : �— 136 Le jaune, couleur claire et brillante. (La gomme-gutte donne à peu près le jaune pur.) Le rouge, couleur éclatante et demi-claire. (Le carmin, lorsqu'il est bien franc, donne le rouge. Mais le carmin est quelquefois un peu violacé.) Le bleu, couleur sombre. (Il est donné, à peu près, par le bleu dé Prusse clair, quand ce dernier n'est pas verdâtre) (1). Le noir est l'absence de lumière, ce n'est pas une couleur. Lorsque ces tons sont à leur maximum d'intensité et qu'ils ne sont mêlés ni de noir ni de blanc, on dit que ces tons sont purs. S'ils sont mêlés de noir, on dit que les tons sont rabattus ; s'ils sont mêlés de blanc, on dit qu'ils sont éclaircis. Suivant la fraction de noir ou de blanc qu'ils contiennent ils peuvent être rabattus ou éclaircis à 1/10°, 2/lOa, 3/10°, etc. (2). § 161. — Tons composites de lor, 2° ou 3° ordre. — Rosace des couleurs. < Si l'on mélange, par parties égales, les tons simples, on obtiendra les tons composites de premier ordre qui pourront être rabattus ou éclaircis. Le rouge et le jaune donnent l'orange. Le jaune et le bleu donnent le vert. Le bleu et le rouge donnent le violet. - Jaune Si l'on mélange un ton composite de 1er ordre, avec le ton simple qui en est le plus voisin, on aura un ton composite de 2° ordre. L'orangé et le rouge donnent l'orangé-rouge. L'orangé et le jaune donnent l'orangé-jaune, etc Les tons de 3e ordre s'obtiendront en mélangeant un ton de 2e ordre Ronge avec la couleur simple ou composite qui l'avoisine. L'orangé-rouge et le rouge donnent l'orangé-rouge-rouge, etc. Pour obtenir une rosace des couleurs on trace un cercle (fig. 245) ; on prend les points situés aux sommets d'un triangle équilatéral et l'on y place les trois couleurs simples, le jaune, le rouge et le bleu. Sur les points situés à égale distance des précédents on placera les tons composites du premier ordre, le vert, le violet et l'orange, et ainsi Violet de suite. Cette rosace a été construite par M. Cbevreul pour servir aux usages de la manufacture des Gobelins. Il a construit également d'autres rosaces, donnant les tons de la précédente, mais éclaircis ou rabattus à 1/10°, 2/10", 3/10°, etc. Il les a classés et dès lors il lui a été facile, étant donné un ton quelconque, d'indiquer la rosace à laquelle il appartient et la place qu'il y occupe. § 162. — Couleurs complémentaires. Deux tons sont dits complémentaires lorsque par leur mélange ils donnent du blanc ou du gris non coloré. Si l'on admet, ce qui n'est pas rigoureusement exact, que les trois tons'simples, le rouge, le jaune et le bleu sont nécessaires pour former le blanc on aura, d'une manière approchée, tous'les tons complémentaires les uns des autres, en prenant, sur la rosace des couleurs, celles qui sont aux extrémités d'un même diamètre. Le rouge a donc pour complémentaire le vert. Le jaune a donc pour complémentaire le violet. Le bleu a donc pour complémentaire l'orange (3). § 163. — Couleurs usuelles. Les principales couleurs fournies par le commerce sont les suivantes : II) En réalité les trois couleurs simples qui par leur réunion donneraient le blanc sont le rouge, le vert et le violet. (2) Consulter pour tout ce qui est relatif aux couleurs, à leur mélange et aux effets de contraste, les ouvrages suivants : Chevreul : Contraste simultané des couleurs ; — Briickc et Helmholtz : Principes scientifiques des Beaux-Arts (Paris, Germer-Baillère) ; — Eructe, professeur à l'Université de Vienne : Physiologie des couleurs. (3) Une expérience très simple permet do trouver facilement la couleur complémentaire d'une couleur donnée. On trace sur une feuille de papier un cercle ou une figure quelconque que l'on colore du ton dont on cherche le complémentaire. On fixe, avec les yeux, pendant une minute environ, un point A marqué au centre de la figure, puis, en portant rapidement les regards sur une feuille blanche, peu éclairée, ou voit apparaître la figure précédente mais colorée de la. couleur complémentaire. — Ou peut faire faire cette expérience à tous les spectateurs d'un amphithéâtre, et simultanément. �— Encre de Chine, — noir d'ivoire, — noir de bougie Sépia Brun de Vandick, — terre d'ombre. Ocre jaune Gomme gutte Jaune de chrome Pierre de fiel 137 — Terre de Sienne brûlée . . Carmin ou laque carminée Vermillon Ombres. Rouges. Jaunes. Bleu de Prusse. . . Outremer ou cobalt. Bleus. On ne trouve que très difficilement, dans le commerce, les couleurs pures ; elles sont toujours plus ou moins mêlées à un pigment noir, de telle sorte que si l'on mélange deux couleurs complémentaires on n'obtiendra pas du blanc pur mais du gris. Pour la même raison, le mélange de deux des tons simples qui précèdent ne donnera pas un ton composé très franc. C'est pourquoi on joint à ces couleurs des tons composés permettant de ne pas faire de mélanges. Les principaux sont : Le brun de Madder, ou laque de garance. Le vert Hocker. Le vert Véronèse. L'indigo. Le jaune indien, etc § 164. — Teintes conventionnelles (Dessin de machines). On a adopté, dans le dessin des machines, les teintes conventionnelles suivantes pour rendre la coloration des principaux matériaux que l'on emploie. Mais il est bien évident que ces teintes ne sauraient être adoptées en architecture pour un rendu à l'effet. COMPOSITION DES TEINTES CONVENTIONNELLES. Proportions Proportions Fer . Tôle . Acier. Fonte Cuivre rouge. ( Bleu de Prusse | Encre de Chine 18 2 15 Encre de Chine Carmin. . . . i Terre de Sienne brûlée. . . 20 Bois 10 i 10 ) 4 \ 4 20 20 1 : 20 1 1 18 ] 20 2 Terrains Terre de Sienne brûlée. . . Sépia et Sienne brûlée avec touches plus intenses faites au pinceau. 10 2 ] Laiton, bronze. Carmin. . Jaune indien si c'est possible. Maçonnerie [en \ Carmin très étendu. coupe) . . . . ( § 165. — Lavis en camaïeu. On nomme camaïeu, une peinture faite avec un seul ton (bleu, rouge, noir, etc.). Un lavis fait uniquement à l'encre de Chine est donc un camaïeu. 11 est facile de voir que dans un pareil lavis, exécuté à l'encre de Chine, sans couleur, on rendra d'une manière approchée les effets des couleurs en se servant d'une teinte légère pour le jaune, puisque c'est une couleur claire, d'une teinte plus accentuée pour le rouge, et d'une teinte plus foncée encore pour le bleu. § 166. — Causes de la couleur des objets. (a) SATURATION, SURSATURATION, SOUS-SATURATION. — Un objet, éclairé par la lumière blanche, nous paraît coloré parce que cette lumière est décomposée à sa surface. Une portion est pour ainsi dire absorbée, tandis que l'autre est renvoyée. Si le rouge est absorbé, le vert est renvoyé. La couleur renvoyée est donc complémentaire de celle qui est absorbée. L'expérience faite sur une feuille d'or prouve la justesse de cette explication. Vue par réflexion, la feuille d'or paraît jaune-rougeâtre, et vue par transparence elle semble verte. Le vert et le rouge sont complémentaires. Il existera un instant où la limite d'absorption sera atteinte. Ace moment, si l'on éclaire davantage la surface, toute la lumière blanche reçue ne sera pas décomposée : une portion de lumière blanche nous sera renvoyée, et l'objet nous paraîtra teinté de sa couleur propre mais mêlée de blanc, c'est-à-dire éclaircie. 18 �— 138 — Au contraire, si la lumière blanche éclairante diminue d'intensité, l'objet paraîtra plus sombre et teinté de sa couleur propre rabattue. . Il y aura saturation dans le premier cas, sursaturation dans le second, et sous-saturation dans le troisième. (b) CONVENTIONS. — ORIENTATIONS SATURÉES, SURSATURÉES ET SOUS-SATURÉES. — En dessin géométrique il nous faut un point de départ défini, quoique conventionnel. Nous conviendrons qu'un plan est à sa limite de saturation, c'est-à-dire est à son maximum de coloration, ni teinté de noir, ni teinté de blanc, lorsqu'il est parallèle au plan de la projection que l'on regarde. Nous nommerons orientation saturée celle qui correspond à cette position. Si, partant de cette position, le plan se présente plus normalement à la lumière, et par conséquent s'éclaire plus, il se sursature et s'éclaircit ; s'il fait le contraire, il se sous-sature et se rabat. D'après ces conventions il est facile de voir que, sur une sphère, la zone saturée, c'est-à-dire celle qui devra nous apparaître avec toute la couleur propre de l'objet, ni rabattue, ni éclaircie, sera celle qui se trouve bien au milieu. . Nous ferons en sorte qu'en ce point nous trouvions sur notre rendu ce que nous nommerons plus loin la teinte locale de couleur. Partant de ce point, en se dirigeant du côté de l'ombre propre, cette teinte de couleur devra se rabattre, c'està-dire s'assombrir ; en allant du côté du point clair ou brillant elle devra, au contraire, s'éclaircir. Nous donnerons plus loin des explications détaillées sur ce sujet. D. PRINCIPE DES DISTANCES ET SES CONSÉQUENCES § 167. — Effets de l'éloignement. Lorsqu'un objet s'éloigne de nous, deux effets se produisent : 1° La lumière qu'il nous envoie et, par suite, l'éclat total apparent qu'il possède, pour nous, décroît en raison directe du carré de la distance. Mais cet effet est absolument nul pour notre œil et, s'il existait seul, les objets paraîtraient aussi éclatants de loin que de près. En effet, plus un objet est loin, moins il nous envoie de lumière, c'est vrai, mais plus il paraît petit dans notre œil ; de telle sorte, que celui-ci recevant deux, trois, quatre fois moins de lumière, mais la condensant sur un espace deux, trois, quatre fois plus petit, l'éclairement, par unité de surface, de cet espace de la rétine, reste constamment le même et l'objet doit paraître aussi éclatant de loin que de près. Dans les pays où l'atmosphère est très pure, en Egypte notamment, les distances modifient la grandeur apparente des objets, mais n'atténuent presque pas l'intensité de leur coloration. 2° Lorsqu'un objet s'éloigne, il s'interpose entre lui et nous une sorte de brouillard formé par l'air ou par les poussières ; ce brouillard est d'autant plus intense que l'air est moins pur. Il agit : (a) Par réflexion, en recevant de la lumière et nous la renvoyant, ce qui diminue d'autant l'éclat relatif des objets situés derrière ; (b) Par transparence, en colorant de sa couleur, qui est bleuâtre, les objets devant lesquels il s'interpose. § 168. — Des différents plans en peinture. En peinture, on classe les objets suivant leur distance à l'œil, par les places qu'ils occupent. Les objets placés très près sont dits au premier plan ; on admet que sur eux l'effet de l'air est nul ; donc les objets en premier plan posséderont leur couleur absolue. Placés un peu plus loin, les objets sont dits au deuxième plan ; les objets jaunes paraîtront, dans ce cas, moins jaunes et un peu bleuis, ou mieux, un peu neutralisés comme couleur. Les objets rouges paraîtront moins rouges et un peu bleuis, c'est-à-dire un peu violets. Les objets bleus paraîtront moins bleus s'ils sont bleu foncé et au contraire un peu plus bleus s'ils sont bleu très clair. Encore plus loin, les objets sont dits au troisième plan. Tous les effets indiqués ci-dessus devront être accentués. Enfin tout à fait au loin, les objets sont dits dans le lointain ; la couleur bleue augmente, et l'on peut dire que toutes les couleurs viennent se fondre dans le bleu des lointains. Le jaune y devient bleu-jaune, c'est-à-dire un peu verdâtre. Le rouge y devient rouge-bleu,-c'est-à-dire un peu violacé. Le bleu y devient moins foncé s'il était d'abord foncé, et plus foncé au contraire s'il était très clair. En tous cas, jamais ce bleu de lointain ne peut devenir intense ; il ne doit évidemment pas dépasser le bleu de ciel, qui est le bleu de l'air à son maximum d'intensité. �-T- 139 — § 169. — Manière de rendre en camaïeu, à l'encre de Chine, les effets de la distance. Les effets de distance se rendront à l'encre de Chine de manières différentes suivant l'intensité des tons. En effet : un objet, en s'éloignant, doit : 1° perdre de sa coloration propre; 2° prendre le ton de l'air ; suivant que l'un ou l'autre de ces deux effets l'emportera, on devra diminuer ou augmenter la teinte d'encre de Chine qu'on lui aurait donnée en premier plan. Exemples : 1° Un objet jaune en lumière, se rendra en premier plan par une teinte d'encre de Chine très légère et pour ainsi dire nulle ; en s'éloignant, c'est l'effet d'assombrissement de l'air qui l'emportera ; on rendra donc l'éloignement en ajoutant de légères teintes d'encre de Chine qui, cependant, ne devront jamais, même pour les lointains, dépasser la teinte que l'on jugerait devoir représenter le bleu du ciel. 2° Un objet jaune dans l'ombre, et, plus généralement tout objet dans l'ombre se rendra, en premier plan, par une teinte d'encre de Chine en général assez intense ; lorsque l'objet s'éloignera ce sera l'effet d'éclaircissement qui l'emportera et on devra diminuer les teintes. 3° Pour un objetrouge en lumière, le rouge étant un ton demi-sombre, la teinte d'encre de Chine qui le rendra en premier plan, ne sera ni claire ni foncée et à peu près la même que celle qui conviendrait comme bleu de lointain. Il pourra donc se faire que l'éloignement conduise à ne modifier que très peu la teinte rendant le rouge. Cependant comme il ne faut jamais, emdessin, rester dans l'indécision, on devra franchement adopter un rouge clair ou un rouge foncé ; s'il est clair, on en rendra les effets comme on a fait pour du jaune ; s'il est foncé, on agira comme il va être dit pour le bleu. 4° Un objet bleu dans la lumière (le bleu étant une couleur sombre), se rendra, en premier plan, par une teinte d'encre de Chine un peu accentuée. En s'éloignant, cette teinte devra diminuer, tandis que l'air agira pour la foncer ; le premier effet l'emportera. Par conséquent, pour les bleus, surtout les bleus sombres (ceci ne s'appliquerait pas aux bleus clairs), la distance se rendra en diminuant le ton de premier plan. Bègle générale. — Veut-on savoir, en faisant en s'éloignant, on commencera par établir le ton le ciel, près de l'horizon. Les tons plus clairs que intensité celui des lointains ; les tons plus foncés devenir plus clairs que le ton de ceux-ci. un rendu, si tel ton d'ombre ou de lumière doit être rabattu ou éclairci qui conviendrait aux lointains, et qui sera très voisin de celui qui figurait celui-là s'assombriront en s'éloignant, mais sans jamais dépasser comme que celui des lointains devront s'éclaircir en s'éloignant, mais sans jamais En résumé, tous les tons, en s'éloignant, tendront à se rapprocher d'un ton unique, qui est celui des lointains.. E. EFFETS PHYSIOLOGIQUES DE CONTRASTE ET D ' IRR AD I AT 10 N . § 170 (a) Effets de contraste. Ces effets sont physiologiques et se produisent sur les nerfs delà rétine. Leur influence est considérable sur l'aspect apparent des objets ; le dessinateur doit les connaître, afin de les produire dans ses rendus en les exagérant. Il augmentera ainsi l'illusion produite par eux sur le spectateur. Voici les principaux effets de contraste et d'irradiation. Commençons par les effets de contraste. 1° Si deux surfaces placées à côté l'une de l'autre sont; l'une noire et l'autre blanche, leur différence d'éclat s'exagère par le seul fait de leur juxtaposition. 2° Une même surface légèrement grise paraîtra presque noire si on la fait se détacher sur un fond très blanc ou très lumineux, et presque blanche, au contraire, si on la met sur un fond noir. 3° Un .cercle très blanc placé sur un fond moins blanc semblera entouré d'une auréole dégradée grise. Au contraire un cercle très noir placé sur un fond presque blanc semblera entouré d'une auréole plus blanche que le fond et se dégradant vers'le blanc du fond en s'éloignant du cercle. 4° Une surface d'une certaine couleur, verte par exemple, se détachant sur un fond vert un peu différent d'elle, paraît moins verte que si on la place sur un fond d'une couleur complémentaire, rouge par conséquent; autrement dit: Deux tons de couleurs analogues s'atténuent réciproquement, et deux tons de couleurs opposées, c'est-à-dire complémentaires, s'exaltent l'un par l'autre. 5° Une figure d'une certaine couleur placée sur un fond blanc paraît entourée d'une auréole dégradée, teintée de la couleur complémentaire. {b) Effets d'irradiation. Deux surfaces égales, l'une noire et l'autre blanche, placées à côté l'une de l'autre, ne paraissent pas égales, et la surface blanche paraît plus grande. C'est par un effet analogue que le croissantde la lune, alors que la lumière cendrée est visible, �— 140 — semble déborder sur la partie obscure du disque. Un fil fin, obscur, visible sur un fond gris disparaît si le fond devient plus éclairé. Les plombs des vitraux, dans les églises, paraissent beaucoup plus minces qu'ils ne le sont en réalité. Dans certains cas, c'est à peine si on les voit. En résumé, il y a empiétement du clair sur l'obscur. (c) Conséquences. 1° Si deux plans A et B (fig. 246) se coupent suivant une arête vive CD, si l'un d'eux A est éclairé, et si l'autre B est dans l'ombre, la face dans l'ombre paFis-246 Fis-257 ', , ' ' ■ raît plus noire aux environs de l'arête CD et la face éclairée plus blanche. Le dessinateur devra donc, dans son lavis, accuser cet effet en l'exagérant. 2° En architecture (fig. 247), les fenêtres se détachent sur des murs qui, même dans l'ombre, sont beaucoup plus éclairés que l'intérieur des pièces auxquelles appartiennent ces fenêtres ; Elles paraissent très noires, c'est un effet de contraste. Elles sont, en outre, plus foncées en haut qu'en bas. Ce dernier effet tient à ce que, dans les appartements, les parties basses des murs intérieurs sont plus éclairées que les parties hautes ; il se justifie également par ce qui est dit aux numéros suivants (3° et 4°). 3° Dans un édifice, les toits paraissent presque toujours très sombres, à moins qu'ils ne fassent miroirs et ne réfléchissent la lumière. Cela tient à ce qu'ils se détachent sur le ciel qui est presque toujours très brillant. Les ombres dans les toits paraissent toujours très noires. 4° Le ciel étant bleu, les objets qui se détachent sur lui doivent paraître plus orangés qu'ils ne le sont en réalité, puisque l'orangé est la couleur complémentaire du bleu. Ce fait est surtout sensible pour les édifices en pierres jaunes. Aussi les architectes ont-ils l'habitude, Fier. 218 dans leurs lavis, lorsqu'ils veulent rendre l'effet d'un édifice en pierre rouge ou mur rnnrn rnmn iiiuiuiiuimum lllllii 111 B jaune, de passer la teinte plus intense à la partie supérieure. Plus généralement, à cause du contraste puissant dû au ciel très clair, tous les tons (tons d'ombre ou tons de couleur) doivent être plus intenses à la partie supérieure des édifices qu'à la partie inférieure. 5° Dans un dessin d'architecture (fig. 248), les ombres fines telles que a, qui se détachent sur une surface très éclairée, comme l'est un larmier, paraîtront, à égalité d'éloignement, plus noires que d'autres ombres plus larges, telles que C. La partie B de l'ombre, qui est peu étendue et qui est voisine d'une partie très IIP' \ tu slllllIIJIIfi!! 1 ■ . éclairée, paraîtra plus sombre que la grande nappe d'ombre C quoique située dans un même plan. En fondant la teinte de B en C on produira un effet satisfaisant et l'on donnera au dessin l'aspect que produirait un éclairage puissant. �CHAPITRE II LES TROIS SPHÈRES TYPES (DÉPOLIE, POLIE ET MI-POLIE). — ÉCHELLES DE TEINTES A. Le Rendu, uxièmo Leçon. SP11ÈRE TYPE DÉPOLIE § 171. — Lignes d'égales teintes sur une sphère dépolie (épure) (fig. 219). Afin de simplifier l'épure, le rayon lumineux a été, par une rotation préalable, rendu parallèle au plan vertical ; nous Fig. 249 désignerons par <p l'angle qu'il fait avec la ligne de terre. (Voir Ombres usuelles, § 16.) On sait que l'on a : tang. <j> bres usuelles.) Le point N' d'incidence normale est le point le plus clair. Nous avons vu, § 157, que sur une surface dépolie les lignes d'égales teintes sont les lignes d'égale incidence. Les lignes d'égale incidence et par suite d'égales teintes s'obtiendront donc en coupant la sphère par des plans perpendiculaires au rayon lumineux. Le nombre de ces plans est d'ailleurs arbitraire ainsi que leurs distances relatives. Pour fixer les idées, nous avons pris 7 plans équidistants, ce qui correspond à des angles d'incidence dont les cosinus décroissent , en progression arithmétique. Mais il faut remarquer que ce nombre et cette équidistance sont tout à fait conventionnels, et que l'on pourrait adopter tout autre nombre et toute autre loi pour la variation des distances. Les plans sécants devront cependant, quelles que soient les autres conventions, être perpendiculaires au rayon lumineux. Nous croyons inutile d'indiquer comment chacune des ellipses de la projection horizontale (fig. 250) a été déduite de l'épure en projection verticale. Remarquons seulement que toutes ces ellipses sont semblables entre elles ; le petit axe est au grand axe dans le rapport constant de 1 à \/~. (Voir § 16, Ombre de la sphère.) Les lignes ainsi obtenues ont été désignées par des nombres positifs dans la partie en lumière, 1,2,3 et par des nombres négatifs 1, 2, 3 (1) dans celle qui est dans l'ombre. (Voir Om- Fig. 250. (1) Qu'il faut lire moins un — moins deux. etc. �- 142 — ■ La ligne d'ombre propre est la ligne de teinte N° 0. En prenant pour nouvelle ligne de terre (fig. 250) la droite à 43°, x\ yi la sphère se présente comme si elle était en projection verticale avec le rayon lumineux ramené à 45° En prenant l'autre droite à 45° x% y<> , pour ligne de terre, on voit la sphère comme si elle était en projection horizontale. On remarquera que dans une sphère dépolie la zone 7 7 1a plus claire est très voisine du contour apparent. Elle est la seule qui ne se perde pas dans ce contour apparent. § 172. — Les trois zones caractéristiques de toute surface (zone zéro, — zone a — zone (3.) Replaçons, par une rotation inverse, la sphère précédente dans sa position première, nous obtenons la figure 251 (qui est ici une réduction de la figure 250). La subdivision en huit zones était tout à fait conventionnelle, et nous avons dit que l'on pourrait faire toute autre convention. Néanmoins, quel que soit le tracé adopté, nous aurons toujours trois zones caractéristiques qui devront occuper des positions semblables, parce qu'elles répondent à des conditions optiques toujours les mêmes : Ce sont les zones zéro — Alpha (a) et Bêta (fs). 1° ZONE ZÉRO, OU ZONE SÉPARATRICE. Fia:. 251 EchÀ A — C'est la zone qui vient immédia- tement après la séparatrice d'ombre et de lumière. Cette séparatrice n'est pas une ligne de convention, elle est déterminée géométriquement (voir lr0 partie) par les rayons lumineux tangents à la surface. 2° ZONE ALPHA A SATURATION. (a) ou ZONE DE TEINTE LOCALE DITE ENCORE : ZONE D'ÉCLAIRAGE — Nous avons dit plus haut, mais nous y revenons à cause de l'im- portance de la question, que lorsqu'un objet coloré est éclairé par de la lumière blanche, sa coloration ne nous apparaît que parce que la lumière blanche est décomposée à sa surface. Une portion est pour ainsi dire absorbée, tandis que l'autre nous est renvoyée. Si le rouge est absorbé, le vert est renvoyé. La couleur renvoyée est complémentaire de celle qui est absorbée. (Voir plus haut : Principe des couleurs.) La couleur renvoyée est précisément celle que nous attribuons à l'objet. Mais cette capacité d'absorption n'est pas indéfinie et si l'éclairage est très considérable une portion de lumière blanche, non décomposée, nous sera renvoyée et l'objet nous paraîtra teinté de sa couleur propre, mais mêlée de blanc, c'est-à-dire éclaircie. Au contraire si la lumière blanche éclairante diminue d'intensité l'objet paraîtra plus sombre et teinté de sa couleur propre, mais mêlée de noir, c'est-à-dire rabattue. Dans le premier cas il y a saturation, dans le second sursaturation et dans le troisième sous-saturation. La zone a, sera pour nous la zone saturée ; ce sera celle pour laquelle l'objet apparaît avec sa véritable couleur, avec ce que les peintres appellent sa teinte locale ; Il est facile, en prenant un plan coloré, la couverture d'un livre par exemple, de reconnaître sa teinte locale. On le placera devant soi et, l'orientant de différentes manières par rapport à la' lumière, mais toujours en le regardant de face, on arrivera rapidement, par tâtonnements, à trouver la position pour laquelle en le tournant un peu plus du côté du jour il s'éclaircirait et en le tournant du côté opposé il s'assombrirait. A ce moment, il est orienté à saturation, et il nous apparaît avec sa couleur vraie ; nous avons sous nos yeux la teinte locale, qu'avec un peu d'habitude nous pourrions reproduire soit à la peinture à l'huile soit à l'aquarelle. A ce moment nous supposons que le plan que nous regardons est de face, c'est-à-dire dans la position du plan vertical lorsque nous regardons une projection. Nous ferons donc la convention suivante : Convention. — Nous conviendrons qu'un plan est éclairé à saturation lorsqu'il est parallèle au plan de la projection que l'on regarde. Maintenant revenons à la sphère type donnée figure 251, en élévation, et menons-lui un plan tangent parallèle au plan vertical de projection. Le point de contact se fera au centre même de la projection, et par suite nous pouvons affirmer que ce point appartient à la zone œ. Or il est compris, sur la sphère type dépolie, entre les deux ellipses 4 et 5, par conséquent toute la zone 4 5 sera, elle aussi, éclairée à saturation : Ce sera la zone a. Si la sphère est rouge sur toute cette zone a nous devons trouver la même teinte locale rouge ; si elle est d'un bleu déterminé c'est sur cette zone a que nous devrons trouver ce bleu �— 143 — 3° ZONE BÊTA OU ZONE CLAIRE. — Le point d'incidence normale NN' (fig. 249 et 250) est celui qui reçoit le plus de lumière , en ce point la sursaturation est à son maximum et il doit nous apparaître, sinon tout à fait blanc, du moins de la couleur locale très éclaircie. La zone 7 7 qui l'entoure sera donc la zone claire, ou zone p. § 173. — Zones intermédiaires, dites zones de demi-teintes. Si la surface est continue, les trois zones précédentes doivent se raccorder entre elles par des zones intermédiaires, c'est-à-dire par des demi-teintes. Mais il faut bien remarquer qu'entre la zone a et la zone p, les demi-teintes (5, 6 et 7) ne doivent être obtenues qu'en éclaircissant la teinte locale, sans ajouter d'ombre, tandis qu'entre la zone a et la teinte zéro, il faut assombrir la teinte locale, c'est-à-dire ajouter progressivement de l'ombre. Ces demi-teintes de transition portent le nom de teintes de modelé. Entre a et (3 on modèle avec de la couleur éclaircie, tandis qu'entre a et zéro, on modèle avec de la couleur rabattue, autrement dit avec de l'ombre. § 174. — Lavis de la sphère type, à teintes fondues. (Suivre sur la figure 251.) Afin de fixer les idées sur le rôle des zones caractéristiques et des zones de demi-teintes nous allons, indiquer comment on devrait conduire le lavis d'une sphère avec la couleur et avec l'ombre. Première manière, en procédant du fort au faible. 1° On reconnaîtra bien la teinte locale, autrement dit la couleur de l'objet à rendre et on composera dans un godet le ton local, avec les couleurs de la boîte, en lui donnant toute l'intensité qu'il doit avoir. 2° On déterminera la teinte d'ombre qui servira à modeler dans les ombres (nous donnerons plus loin, pratique du lavis, des notions sur ce point) et on la composera dans un autre godet. Cela fait : On passera, à plat, la teinte locale sur toute la portion de la surface comprise du côté de l'ombre en deçà et à droite de la zone a ; cette teinte sera passée à pinceau plein mais plate, c'est-à-dire sans fondre, jusqu'à la zone a. Une fois la zone a atteinte, on fondra du côté de la lumière, en ajoutant de l'eau et en suivant,à peu près, pour la dégradation, les ellipses 5, 6 et 7 ; arrivé à la zone 7 7 le pinceau ne devra plus contenir qu'une teinte de couleur très faible, presque de l'eau pure. A ce moment le modelé dans la lumière sera terminé. 3° 4° On passera, à plat, sans fondre, la teinte d'ombre, pas très intense, sur toute la zone d'ombre propre (zones négatives ï, 2,3 ). 5° Prenant de nouveau la teinte d'ombre mais diminuée d'intensité, on en placera, à pinceau plein, une faible bande, à cheval sur la ligne zéro et on la fondra d'une part du côté de l'ombre en se guidant, pour la dégradation, sur les lignes négatives 1, 2, 3 et d'autre part du côté de la lumière en se guidant sur les lignes positives 1, 2, 3 et 4. Mais dans cette dernière partie de l'opération il faut avoir bien soin de dégrader assez vite pour n'avoir plus que de l'eau pure dans le pinceau lorsque l'on atteindra la zone a. Autrement cette zone saturée a qui est déjà recouverte par la teinte locale pure, serait en plus recouverte d'ombre et ne présenterait plus l'aspect d'éclairage ,à saturation qu'elle doit avoir. E 2 manière, en procédant du faible au fort. — On pourrait opérer autrement, d'une manière plus certaine peut-être, •comme il suit : 1° Avec de l'eau presque pure, très légèrement colorée de la teinte locale, on recouvre la zone claire (3, à_pinceau plein, se dirigeant vers la zone a on fond, en ajoutant chaque fois de la couleur, de manière à recouvrir successivement les zones '7,6 — 6,5 — 5,4. On arrive ainsi à la zone a, avec une teinte franchement colorée, que l'on pousse ensuite sur tout le reste de la surface, mais sans fondre. vet, 2° Avec la teinte d'ombre, on recouvre, sans fondre, toute l'ombre propre. 3° Avec de l'eau pure, on s'amorce sur la zone a, on ajoute peu à peu de la teinte d'ombre et se dirigeant vers la ligne .zéro, on recouvre successivement les zones 4, 3, 2 et 1. On arrive ainsi sur la ligne zéro avec une teinte d'ombre assez soutenue que l'on fond ensuite, mais en la diminuant, ■dans les zones négatives, en se guidant sur les lignes 1, 2, 3 § 175. — Résumé. Quelle que soit la surface dont on veut rendre l'effet, qu'elle soit dépolie, polie ou mi-polie, une fois que l'on a déterminé : La ligne zéro (séparatrice), la zone saturée a ou du moins sa ligne moyenne (teinte locale de couleur), la zone claire •ou brillante (?, ou du moins sa ligne ou son point moyen (ligne ou point brillant), un lavis à teintes fondues s'exécute en trois opérations qui constituent : �— 144 — (a) LE RENDU DE LA COULEUR ET DE SES DEMI-TEINTES. — Teinte fondue partant du presque blanc, au point [3 et allant en se colorant de plus en plus jusqu'à la zone a, où elle atteint son maximum, qui doit donner la vraie teinte locale, pour se terminer ensuite en teinte plate sur tout le reste. (b) LE RENDU DE L'OMBRE PROPRE. — Teinte plate d'ombre passée sur tout ce qui ne reçoit pas de lumière directe (pas très forte). (c) LE RENDU DES DEMI-TEINTES D'OMBRE. — Teinte fondue, partant du blanc en prenant pour départ la zone a; allant en se chargeant d'ombre, de plus en plus, jusqu'à la ligne zéro où elle atteint son maximum et se prolongeant ensuite dans l'ombre propre, mais en se dégradant rapidement. (d) LE RENDU DES OMBRES PORTÉES. — Il est entendu que tout ce qui est dans l'ombre portée aura dû, dans la sérié d'opérations qui précèdent, recevoir, non-seulement la teinte d'ombre propre, mais aussi la teinte locale de couleur, pure, ' sans dégradation aucune. Il serait absurde d'éclaircir la couleur dans une ombre portée, puisque l'éclaircissement d'un ton do couleur n'est dû qu'à un excès de lumière produisant une sursaturation. Appliquant maintenant la loi des ombres portées (§ 159, C), on prendra une teinte d'ombre que nous nommerons la teinte d'ombre portée. Elle sera assez légère pour commencer. Elle se bordera sur la séparatrice et on la passera seulement dans l'ombre portée, en la fonçant de plus en plus au fur et à mesure que l'on atteindra les zones qui eussent été les plus claires sans l'existence de cette ombre portée. De telle sorte que, si la zone [3 est en partie dans la lumière et en partie dans l'ombre portée, sa partie en lumière sera la plus claire de tout le dessin, tandis que sa partie dans l'ombre sera la plus noire. (Gomme application, voir plus loin le rendu des moulures.) En résumé. — Dans l'ombre portée une zone est d'autant plus noire qu'elle eût été plus claire sans l'existence de cette ombre portée. Nota. — Nous désignerons par les lettres a! et S' les zones a et (3 lorsqu'elles seront dans l'ombre portée. De même la zone 3 — 4, ou 4 — 5 ou 5 — 6 dans la lumière sera désignée par 3' — 4 ' ou 4'— 5' ou 5' —6' si elle est dans l'ombre portée. B. SPHÈRE TYPE, POLIE — Lois de la réflexion. — Intensité du rayon réfléchi. Les corps polis sont ceux dont la surface renvoie spéculairement la lumière, c'est-à-dire dans une direction déterminée. On sait 1° que le rayon incident est avec le rayon réfléchi dans un même plan contenant la normale à la surface réfléchissante et 2° que l'angle d'incidence AON est égal à l'angle de réflexion N O A'. L'intensité du rayon réfléchi varie : 1° avec la nature de la surface réfléchissante ; 2° avec l'angle de réflexion. Cette dernière variation est assez considérable pour certaines substances. Pour d'autres (les surfaces métalliques sont de ce cas), l'intensité du rayon réfléchi varie très peu avec l'incidence. Cette intensité est toujours plus grande sous l'incidence O rasante que sous l'incidence normale. Nous admettrons que les corps polis, que nous allons étudier, sont des métaux et que l'intensité du rayon réfléchi est indépendante de l'incidence. Cette intensité variera donc seulement avec celle de la source lumineuse. Remarquons, néanmoins, que cette hypothèse n'est pas § 176. \ xk rigoureuse. — Aspects divers d'un plan poli. cas. — Les rayons lumineux sont parallèles entre eux et le spectateur est placé à l'infini. —Les rayons se réfléchissant suivant la loi connue : si les rayons visuels sont parallèles aux rayons réfléchis, alors ils aboutissent tous à l'œil du spectateur placé à l'infini, et tous les points du plan paraissent lumineux ; s'il n'en est pas ainsi, le spectateur ne reçoit aucun rayon réfléchi, tous les points du plan lui paraîtront obscurs, et le plan ne semblera pas exister. Autrement dit, il faut que, s'il s'agit d'une élévation, les rayons soient réfléchis suivant des perpendiculaires au plan vertical, autrement le plan paraîtra obscur. Si la condition est remplie, au contraire, il paraîtra brillant dans son entier. 2e cas. — Le plan est éclairé par des rayons parallèles venant dans toutes les directions. Le spectateur esta l'infini. —C'est le cas de la lumière solaire jointe aux lumières indirectes émanant de l'atmosphère. L'œil ne recevra des rayons directs ou indirects que ceux qui, après la réflexion, auront pris la direction du rayon visuel. Si ce sont les rayons de reflets les plus§ 177. 1ER �— 145 — intenses qui sont renvoyés à l'œil, le plan paraîtra très lumineux et d'un éclat uniforme et inversement; mais, en tout cas, quelle que soit la position du spectateur, le plan ne paraîtra jamais obscur, parce qu'il y aura toujours des rayons, intenses ou non intenses, venant d'un point quelconque du ciel, qui seront réfléchis de manière à être renvoyés dans la direction de son œil. § 178. — Aspects divers d'une sphère polie. 1" cas. — La sphère est éclairée par des rayons lumineux venant dans une direction unique. Le spectateur est à l'infini. — La sphère présentera un point brillant unique obtenu comme il suit : on mène (fig. 253) le rayon lumineux central RO, le rayon visuel central OV, et l'on construit la bissectrice ON de leur angle. Soit N le point où cette bissectrice vient percer la sphère. Il est évident sur la figure qu'un rayon incident, tel que R'N, sera réfléchi Fig. 2;i3 suivant NV parallèle à GV, c'est-à-dire dans la direction de l'œil. Le point N sera le point brillant de la sphère polie. Ce point seul sera brillant. Tous les autres seront \ V—obscurs et l'existence de la sphère ne se révélera que par ce point brillant. Ce tracé qui donne le point brillant est connu sous le nom de Tracé par la bissectrice . 2 cas.. — La sphère polie est éclairée par des rayons parallèles venant dans toutes les directions. Le spectateur étant à l'infini. —. C'est le cas d'une sphère éclairée par la lumière solaire directe et par toutes les lumières indirectes venant de divers points du ciel. Chaque direction de rayons donnera son point brillant obtenu, comme ci-dessus, e par la méthode de la bissectrice. Comme ces directions sont en nombre infini, il y aura de ces points brillants sur toute la surface de la sphère ; seulement ils n'auront pas le même éclat. Pour avoir des lignes d'égales teintes, si nous admettons, ce qui n'est pas tout à fait exact, que la variation de l'angle d'incidence ne modifie pas l'éclat des rayons réfléchis, il faudra : 1° Classer les rayons indirects, d'après leur différence d'éclat ; (Ce classement, d'ailleurs un peu hypothétique, a été indiqué au § 158.) 2° Grouper les rayons d'égale intensité. Ils formeront, ainsi que nous l'avons dit au § '158, une série de cônes de révolution ayant tous pour axe le rayon solaire direct ; 3' Chercher sur la sphère le lieu des points brillants des rayons d'égale intensité. Pour une série de rayons d'égale intensité, les points brillants auront le même éclat et leur ensemble formera un lieu géométrique qui sera une ligne d'égale teinte. § 179. — Lignes d'égales teintes sur une sphère parfaitement polie. — Soit SO, fig. 254, le rayon direct, ma, nb, etc., une série de rayons indirects d'égale intensité et disposés, ainsi que nous venons de le Fig. 254 (a) RECHERCHE THÉORIQUE DES LIGNES D'ÉGALES TEINTES. dire, suivant les génératrices d'un cône de révolution, dont l'axe SO serait le rayon central direct. Les points d'incidence, a, b, se trouvent sur un cercle bac de la sphère, puisque les rayons d'égale intensité forment un cercle de révolution. Le plan bacd de ce petit cercle est perpendiculaire au rayon central SO. Soit OV le rayon visuel et soit K son point de sortie de la sphère. ] Cherchons, par exemple, le point brillant de la direction ma. A cet effet,menons la bissectrice Oa'de l'angle «OV. Le triangle aOK est isocèle, puisque Oa et OK sont deux lignes égales comme rayons d'une même sphère. Le point a' pied de la bissectrice est donc le milieu de la droite Ka qui est la base de ce triangle isocèle. Si l'on prolonge O a'jusqu'en a, point de rencontre avec la sphère, sera le point brillant de la direction maO. a Or, je dis que le lieu des points a' b'... est un cercle; en effet, les droites telles'que Ka, Kb, Kd,,.. forment un cône oblique dont la base est le cercle bade et dont le sommet est le point K. On a en a', b', d',... les milieux des génératrices, donc les points a', b', c' sont sur un cercle parallèle au cercle de base et de rayon moitié. �— 146 — Pour avoir les points brillants tels que a, on joint Oa' et on prolonge jusqu'à la sphère en œ. Mais les droites telles que Oa', Ob'... formeront un nouveau cône oblique dont le cercle a' b' c '... sera la base et O le sommet ; donc le lieu des points brillants a sera l'intersection de la sphère et du cône oblique ayant le cercle a' b' C... pour directrice et le centre O pour sommet. (b) ÉPURE (fig. 255). — Par une rotation identique à celle que nous avons faite pour la sphère dépolie, § 171, le rayon lumineux est supposé rendu parallèle au plan vertical et projeté à l'angle co sur le plan vertical. Soit OS, OS', le rayon direct. Prenons une série de rayons indirects d'égale intensité. Ils formeront un cône ayant OS pour axe. La ligne des points d'incidence sera le cercle ut, projeté verticalement en ligne droite et perpendiculairement au rayon direct. Ce cercle peut être considéré comme l'intersection de la sphère et du plan perpendiculaire au plan vertical qui aurait ut pour trace verticale. K est le point de sortie du rayon visuel O V. Joignons £K, «K, et prenons les milieux t', u '..'. de ces lignes ; nous aurons en t'u' la projection verticale du cercle parallèle au premier, et de rayon moitié, qu'il faut prendre pour directrice d'un cône ayant son sommet au point O. Si nous décrivions une sphère ayant OK pour diamètre, et ayant, par suite, un rayon moitié de celui de la sphère donnée, ce cercle u't' pourrait être considéré comme l'intersection de cette sphère par un plan t'u' parallèle au premier plan tu. Nous aurons donc les lignes de teintes en prenant la petite sphère OK; la coupant par des plans perpendiculaires au rayon lumineux; prenant les cercles ainsi formés pour bases de cônes ayant, chacun, leur sommet au centre de la sphère et cherchant les intersections de ces cônes avec la sphère primitive. Le plan vertical étant parallèle à un plan de symétrie commun à la sphère et aux cônes, on sait que les courbes d'intersection, en projection verticale, seront des coniques (ellipse, hyperbole ou parabole). On démontre, par la géométrie analytique (1) quetoules les lignes d'égales teintes, dans cette hypothèse, se projettent verticalement suivant des hyperboles ayant mêmes asymptotes, OX, OW (fig. 255 et 256). — L'une des asymptotes OX; est l'équateur de la sphère, l'autre OW est la séparatrice en projection verticale. (1) A cet effet, prenons pour plan des xy le méridien de front de la sphère ; le centre 0 pour contre des coordonnées, et l'axe des x parallèle à la ligne de terre. — L'axe des Z sera pris perpendiculaire au plan vertical. Soit J = II l'équation du rayon lumineux on projection verticale. (1) x1 + y'1 + z1 =R3, sera l'équation de la grande sphère. La petite sphère aura pour équation: a;2 + (y _) _)_ zi — ou en simplifiant : (2) X* + y* — R y + z1 = 0. Dn plan perpendiculaire au rayon lumineux aura pour équation : (3) y — x -f- P, P étant indéterminé. Les équations (2) et (3) définissent la directrice du cône. Le cône ayant son sommet à l'origine, les équations d'une de ses génératrices sont : (4) y = m z. (5) x = n z. On exprimera que cette droite rencontre la directrice ; on éliminera pour cela x, y, z entre les équations (2) (3) (4) et (o). Oa obtiendra l'équation de conditiou : (6) R m {n + im] = a!5 (ns + m"- + 1). Remplaçant m et n par leurs valeurs tirées de (4) et (S), on aura l'équation du cône : {!) l\xy+ li<xif- =OL\i(x°-+ y'>-r z°-). L'équalion de la courbe d'intersection du cône et de la sphère en projection verticale s'obtiendra en éliminant z entre les équations (l) et (7) et l'on aura l'équation : (8) y (x + a y) = a R : Telle est l'équation du lieu en projection verticale. Cette équation représente une hvperbole dont les asymptotes sont les droites y — 0 et x + a y = 0. p 1 L'une, y = 0, représente l'axe 0 X ; c'est donc la projection verticale de l'équateur de la sphère ; l'autre, x + a y = 0, peut s'écrire y = — — x ; elle représente une droite 0 \V, passant par l'origine et perpendiculaire au rayon lumineux 0 S ; c'est donc la projection verticale de la séparatrice d'ombre propre <lo la sphère. �La connaissance d'un point seulement de chacune de ces hyperboles suffira donc pour la tracer complètement par points. On en déduira ensuite les courbes, en projection horizontale, par les procédés ordinaires de la géométrie descriptive. L'épure une fois faite en projection horizontale (fig. 236), en prenant la ligne à 45° xi xji pour ligne de terre, la sphère se présentera clans la position ordinaire d'une élévation, en prenant x% yz on la verra en plan. Remarques : 1° La bissectrice O'B' des asymptotes, c'est-à-dire l'axe de toutes les hyperboles, est aussi la bissectrice de l'angle S O V ; son point de sortie B', sur la sphère donne donc le Fig. 236. point brillant du soleil. Sa projection horizontale est B : C'est le point tout à fait brillant de la sphère pour un spectateur qui regarderait la projection horizontale. 2° Dans la nature, comme le soleil n'apparaît pas suivant un point, mais suivant un disque de faible diamètre apparent, au lieu d'un point brillant B, nous aurons une petite courbe brillante (3, [5... 3° Aucune des lignes de teintes, telles que 2,2 - 4,4, etc... en projection horizontale, ne touche le contour apparent; la sphère paraîtra donc aussi sombre aux environs de son contour apparent M E N qu'à ceux de sa séparatrice d'ombre et de lumière M P N : Cet effet est exact et facile à observer sur un objet métallique "et brillant. En règle générale, sur les corps polis, les contours apparents sont sombres ; les zones brillantes ont des dimensions restreintes ; elles sont très claires par rapport aux zones qui les entourent, et placées toujours assez loin des contours apparents, et, par conséquent, assez près du centre. On ne s'étendra pas davantage sur l'étude d'une sphère polie placée dans les conditions précédentes, conditions tout à fait en dehors de celles qui se présentent ordinairement. Nous avons admis, en effet, pour arriver aux résultats qui précèdent : 1° Que l'incidence ne modifiait pas l'éclat du rayon réfléchi (ce qui n'est pas exact) ; 2° Que la sphère était isolée au milieu de l'atmosphère et placée très loin de la terre et ne subissait, par conséquent, que les reflets du ciel ; 3° Que l'intensité des rayons émis par les diverses parties du ciel était conforme à la loi dedistribtion symétrique donnée au § 158. . Or les nuages modifieront à chaque instant cotte loi et, de plus, les objets qui entourent le corps poli viendront se réfléchir à sa surface et y former image. Lorsque l'on voudra, dans un dessin, rendre l'aspect d'un corps parfaitement poli, on devra figurer à sa surface les images des objets environnants. La Géométrie donnerait bien le moyen de trouver ces images brillantes, mais les épures seraient fort compliquées et il serait oiseux, pour un cas si rare dans la pratique, défaire une. pareille étude. Il sera préférable, si le cas se présente, d'agir comme font les peintres, c'est-à-dire de faire poser le modèle et de le copier comme on le voit. On remarquera seulement que la ligne d'ombre propre est encore dans ce cas une ligne d'égale teinte. On trace donc l'ombre propre sur les surfaces polies ou dépolies, de la même manière, et sur toutes les surfaces sans exception, la ligne d'ombre propre sera une ligne d'égale teinte. G. CORPS M.I-POLLS. g 180. — Conventions pour les corps mi-polis. Les corps mi-polis participent, comme propriétés, des corps polis et des corps dépolis. Les lumières intenses s'y réfléchissent plus qu'elles ne s'y diffusent, et les lumières faibles font le contraire. Une lumière intense donnera donc lieu sur leur surface à une image brillante, comme s'ils étaient polis. Nous cher- �— « U8 — obérons ce point brillant comme nous l'avons fait ci-dessus, c'est-à-dire par la méthode de la bissectrice de l'angle du rayon lumineux central et du rayon visuel central. Nous tracerons l'ombre propre comme à l'ordinaire par les rayons lumineux tangents et nous adopterons, Comme lignes de teintes, une série de courbes passant graduellement du point brillant à la ligne d'ombre propre. Forcément ces courbes seront de convention. § 181. — Epure des lignes de teintes sur une sphère mi-polie Nous avons adopté la construction conventionnelle suivante, s'appliquant à un observateur qui regarderait la projection horizontale. 0 0' est le centre de la sphère. Gomme dans les épures précédentes, le rayon lumineux a été rendu, par une rotation, parallèle au plan vertical et projeté à l'angle cp sur le plan Fig. Ï57. horizontal. (a) POINT BRILLANT. — Le point brillant sera situé sur le méridien de front E E. Le rayon visuel est perpendiculaire au plan horizontal. On a donc mené (Elévation) le rayon lumineux N' 0' qui passerait par le centre. La bissectrice 0' S' a donné en S' le point brillant, projeté horizontalement en S. (Voir le même tracé § 179.) (b) OMBRE. — L'ombre propre est déterminée par le grand cercle M'T' (Elévation) perpendiculaire au rayon lumineux. — En plan elle nous donne l'ellipse connue KT. (c) LIGNES DE TEINTES. —Pour simplifier, on s'est imposé de prendre pour lignes de teintes des courbes planes ; mais c'est par pure convention, on ne saurait trop le faire remarquer. Or, quel serait le plan qui donnerait comme courbe plane, infiniment petite, le point brillant S'? Ce serait le plan tangent S'TV. On a donc été conduit à mener le plan tangent S'W, au point brillant. On a pris ensuite son intersection avec le plan d'ombre propre M'T'W : Cette intersection est une droite perpendiculaire au plan vertical et projetée , tout entière, au point W. Dès lors, il était tout naturel, voulant des courbes planes, de prendre pour lignes de teintes, les sections faites par des plans, non plus parallèles comme dans le cas de la sphère polie, mais passant tous par la ligne W perpendiculaire au plan vertical. On voit en 1'1' — 2'2' 7'7, sur l'élévation, ces courbes planes; elles sont toutes projetées suivant des lignes droites. Comme pour la sphère dépolie, on a pris sept plans, divisant la portion éclairée de la sphère en 8 zones. A cet effet, l'arc T'S ' compris entre la séparatrice et le point brillant, a été partagé en 8 parties égales. Ces lignes ont été affectées des nombres positifs (plus 1, plus 2, etc....). On a prolongé le même tracé dans l'ombre propre et les lignes ont été affectées des nombres négatifs (moins 1, moins 2, etc....). De la projection verticale on déduit facilement les ellipses, projections horizontales des cercles de teintes. Les points importants à déterminer pour ces ellipses sont les extrémités telles. �— que c et d, 3 et 3 des axes et les points tels que g, g contour apparent horizontal. 149 - où elles se perdent tangentiellement dans l'équateur, qui est Je Remarques. — 1° On voit que cette division de l'arc en 8 parties égales est tout à fait conventionnelle. On pourrait adopter toute autre loi de division. 2° Le point central 0, de la sphère mi-polie est, grâce au nombre de lignes de teintes que nous avons adoptées, compris entre les lignes -.f- 4 et -J- o ; exactement comme pour la sphère dépolie. Pour chacune de ces deux sphères, la zone d'éclairage à saturation, ou zone a, laquelle répond à la teinte locale de couleur, sera donc la zone 4 — S. 3° Sur la sphère mi-polie, dans la partie éclairée, les lignes positives 1 et 2, se perdent dans le contour apparent. Au contraire, la ligne 3 et les suivantes 4, S, 6 et 7 ne le rencontrent pas. Sur la sphère dépolie (fig. 249) la ligne 7 était la première qui ne rencontrait pas le contour apparent. 4° En résumé, dans une sphère polie ou mi-polie, le point brillant est beaucoup plus éloigné du contour apparent que dans une sphère dépolie. Le contour apparent est plus sombre sur la sphère mi-polie que sur l'autre. D. § 182. — Usage des sphères types. Ayant tracé les lignes de teintes sur une sphère type polie ou mi-polie, il sera facile d'en déduire les lignes de teintes sur des cylindres ou sur des cônes de révolution placés dans des positions quelconques. Il suffira pour cela : 1° de circonscrire à la sphère le cylindre ou le cône, 2° de déterminer la ligne de contact, 3° de prendre les points de rencontre de cette ligne avec les courbes de teintes et 4° de faire passer par ces points les génératrices des cônes ou des cylindres dont on veut faire le lavis. On obtiendrait ainsi des divisions qui s'appliqueraient ensuite, soit en les amplifiant, soit en les réduisant, à des cylindres ou à des cônes de révolution de dimensions quelconques, pourvu que ces surfaces "occupent, par rapport aux rayons lumineux et aux rayons visuels, des positions identiques à celles qu'occupaient sur la sphère type les surfaces qui lui ont été circonscrites. Or cette amplification ou cette réduction proportionnelle serait longue à faire dans chaque cas particulier ; C'est pourquoi il est préférable de construire, une fois pour toutes, des subdivisions que nous nommerons des Echelles de teintes, auxquelles on se rapportera chaque fois. § 183. — Echelles de teintes les plus usuelles. (Yoir les Échelles à la fin du Cours.) Ces échelles pourraient être en nombre infini puisque, d'une part, un cylindre peut occuper toutes sortes de positions autour d'une sphère et que, d'autre part, un cône peut avoir un angle au sommet quelconque et occuper, lui aussi, une position quelconque. L'expérience a montré que trois échelles suffisent, à la rigueur, à toute personne ayant quelque habitude du dessin, non seulement pour ombrer, mais encore pour modeler les surfaces les plus compliquées qui se rencontrent dans le dessin d'architecture et dans le dessin de machines. Ces échelles sont données figures 304, 305 et 306 pour les corps dépolis (dessin d'architecture) et figures 307, 308 et 309 pour les corps mi-polis (dessin de machines). Elles s'appliquent aux cylindres de révolution dans les trois positions principales qu'indiquent les figures marquées en trait plein' sur les croquis qui accompagnent chaque échelle. On se sert de ces échelles de la manière suivante : Soit à ombrer et à graduer un cylindre dépoli dans la position répondant à l'échelle A (cylindre parallèle aux arêtes du cube). Supposons que son diamètre soit égal à 80m/m. 1° Sur une bande de papier on prendra la largeur du diamètre ; 2° On inscrira la bande de papier dans l'échelle, de telle sorte qu'une de ses extrémités (fig. 304) étant en A à l'origine, l'autre vienne en B sur la ligne extérieure de l'échelle ; 3° On marquera tous les points et on les numérotera en ayant soin de toujours marquer un peu plus fort le point zéro, qui répond à la séparatrice ; 4° On reportera ensuite la division sur la base du cylindre et 5° Par les points ainsi obtenus on tracera au crayon, très légèrement, les génératrices du cylindre, ce qui donnera les lignes de teintes. Nota. — Dans ce tracé préparatoire des lignes de teintes au crayon, on dessinera d'un trait presque invisible celles qui répondent à des zones éclairées telles que 7, 6, 5 On marquera d'un trait plus soutenu celles qui sont dans l'ombre propre, telles que les lignes 1, 2, 3 (1) Voir les échelles do teintes à la fin du cours, figures 304, 305, 306, pour les corps dépolis, et 30T, 308, 309, pour les corps mi-polis. ÉCHELLES DE TEINTES (1) �— 150 — Enfin, si une ligne claire, c'est-à-dire positive telle que 7 ou 6, pénètre dans une ombre portée, on fera bien, sur le passage dans l'ombre, de la dessiner d'un trait assez vigoureux. Ces différences dans l'intensité des traits de crayon concorderont plus tard, lorsque l'on fera le.lavis, avec les différences dans les intensités des teintes et produiront déjà un certain effet de modelé ; cela aura pour double avantage d'abord, d'avertir de l'effet à produire plus tard avec le pinceau et, ensuite, de faire que les traits de crayon tracés dans les zones obscures ne se perdront pas de vue tant que le lavis ne sera pas terminé. OnA'oit ces différences de traits observées sur les figures 258, 259 et 260 et sur toutes celles qui suivent. Fi . 258 g Fi . 259 g - Lorsque l'on a granombre de cylindres dans les trois positions simples répondant aux échelles A, B et G ou A', B' et CJr on arrive à connaître assez bien, de mémoire, les distances relatives des lignes de teintes. Cela est important, car il serait absurde de ne savoir exécuter un lavis qu'à la condition que l'on ait à sa disposition les échelles de teintes. C'est pourquoi on fera bien de lire et de retenir les légendes sommaires qui accompagnent chaque échelle. (Voiràlafin duvolume.) dué un certain Cylindre en saillie M. Cylindre en creux N. .110 G'-56 S i 3 3 10 T33SK ■ ■ ; V tù Ir § P I N T.5 T.6 Teinte 0 ....id.J...ii....a .. id 3 ...M...<...ïd.: S ...id..6 ! I 1 (TeinteS) (TeinteS)'\ î5o ■ (Teints 4) 184. — Application des échelles aux surfaces en creux. Prenons figures 258 et 259 deux demi-cylindres verticaux, de môme diamètre : L'un M est en saillie, l'autre N est en creux. On voit facilement que, à toutes les zones du premier, réponFig. 260. dront des zones de même orientation sur le second ; seulement, tandis Sphère en creux. que sur le cylindre plein M la ligne zéro, d'ombre propre, est à droite, sur le cylindre creux N, elle est à gauche. La même échelle de teinte A servira donc, mais en la renversant, c'est-à-dire en mettant à droite sur le cylindre creux les numéros mis à gauche sur le cylindre plein et inversement. Il résulte de là ce principe important : Les lignes de teintes sur les surfaces en creux sont, les mêmes que sur les surfaces en saillie dont elles pourraient constituer le moule, mais elles sont renversées dans tous les sens. On voit, figure 260, l'application de ce principe au lavis d'une sphère en creux. Dans les surfaces creuses il y a toujours une ombre portée, et la ligne zéro est une ligne d'ombre propre virtuelle et non plus réelle comme dans les surfaces en saillie ; mais elle n'en reste pas moins une ligne d'égale teinte. Les zones négatives 1, 2, 3 seront recouvertes exactement des mêmes teintes, aussi bien sur le cylindre saillant M que sur le cylindre creux N ; il n'y aura donc aucune différence dans l'effet des zones négatives. Les zones positives 1, 2, 3 donneront aussi les mêmes aspects (Teinte N°4) �sur les deux surfaces, pourvu qu'elles soient dans la lumière. Mais, au contraire, si elles sont les unes (en tout ou en partie) dans l'ombre (cylindre N), les autres dans la lumière (cylindre M), alors le principe des ombres portées s'appliquera. '(§ 159, d.) Nous montrerons plus loin comment les échelles permettent de tracer les lignes .de teintes sur les sphères, sur les tores simples ou composés, et, plus généralement, sur la plupart des surfaces qui se rencontrent en dessin géométrique. �CHAPITRE PRATIQUE DU III LAVIS $ 185. — Des teintes. — Transparence et intensité d'une teinte. (a) DÉFINITION. — Une teinte d'encre de Chine ou de couleur, appliquée sur le papier, agit comme un verre coloré ou teinté qui ne laisse passer qu'une fraction de la lumière qui est distribuée à ce papier et qui nous est ensuite renvoyée par lui. Nous appellerons transparence d'une teinte, la fraction de la lumière que laisse passer cette teinte. L'intensité serait la fraction de lumière arrêtée par la teinte. Si on représente par T la transparence et par I l'intensité, puisque l'intensité I, est ce qui manque à la transparence T, pour donner la totalité du blanc, on a : I -f- T — 1. Ainsi une teinte qui a pour transparence 1/3 a pour intensité 2/3. (b) PROBLÈME 1. — Quelle est la transparence finale T" de deux teintes superposées de transparence T et T'? On aura T" =r T X T'. En effet, supposons que la première teinte ait une transparence 1/2 ; cela veut dire qu'elle laisse passer 1/2 de la lumière blanche émise par le papier. Si la seconde a pour transparence 3/4, cela veut dire qu'elle ne laisse passer que les trois quarts de ce qu'elle reçoit, et comme elle recevait 1/2 elle laisse passer finalement les 3/4 de 1/2 c'est-à-dire 3/4x1/2 = 3/8 du blanc du papier. Sa transparence T" est donc égale à T X T'. (c) CONSÉQUENCES. — 1° Si l'on prend une série de teintes égales superposées, tandis que le nombre des teintes croîtra en progression arithmétique, la transparence finale décroîtra en progression géométrique. 2° Si l'on passe une môme teinte sur deux autres teintes inégales, l'assombrissement relatif le plus considérable sera produit sur la teinte la plus faible. (d) PROBLÈME 2. — Réaliser au lavis à l'encre de Chine une teinte de transparence connue, 2/3 par exemple. Avec un tire-ligne rempli d'encre absolument noire, on tracera une série de traits parallèles et ôquidistants. Ces traits auront une épaisseur constante,. 1/2 millimètre par exemple, et les blancs compris entre eux auront un millimètre. Vue de loin, une feuille de papier ainsi réglée paraîtra teintée. La surface des blancs sera les 2/3 de la surface totale, et par suite on peut admettre, en ne tenant pas compte des effets d'irradiation énoncés plus haut, que la transparence de la teinte, ainsi figurée, sera 2/3. Il sera facile ensuite de mélanger d'eau une teinte d'encre de Chine de telle sorte que la teinte qu'elle fournira au pinceau soit équivalente à celle que nous venons de créer au tire-ligne. Pour bien juger des teintes il faut attendre qu'elles soient sèches. Quand elles sont humides elles paraissent toujours plus intenses. § 186. — Classification des teintes dans un lavis à teintes plates. Nous diviserons les teintes en quatre séries : (Suivre en regardant la sphère type, lig. 251, ou le cylindre, fig. 258.') 1° La teinte d'ébauche. (Teinte n° 0.) C"estune teinte d'encre de Chine de transparence 2/3 environ, que l'on place sur toutes les surfaces qui sont dans l'ombre propre ou clans l'ombre portée, sans distinction. 2° Les teintes d'ombre propre et les demi-teintes au nombre^ de quatre (teintes 1, 2, 3 et 4). Ce sont encore des teintes d'encre de Chine, ou de la teinte d'ombre remplaçant l'encre de Chine. La teinte n° 1 s'obtient en additionnant de 1/6 environ d'eau pure la teinte 0 et se passe entre les lignes -\- 1 et 1. La teinte n° 2 se passe entre + 2 et 2. On l'obtient en additionnant encore la teinte 1 avec de l'eau et ainsi de suite. 3° Les teintes de couleurs au nombre de trois (teintes 5, 6 et 7). Elles sont diversement composées (voir teintes conventionnelles), suivant la nature de l'objet et vont en augmentant de transparence. On les passe entre -(— 5 et 5, -j— 6 et 6,' -j— 7 et 7. Dans les dessins lavés, on passera une teinte n° 8 excessivement légère. �4° Teintes d'ombres portées (Teintes n 0', 1', 2', 3', 4', etc.,... 7'). — Nous en parlons au § 188. § 187. — Conseils pratiques pour l'éclaircissement des teintes. Pratiquement, on opérera ainsi : Avec le gros pinceau, servant de jauge, et bien rempli, on mesurera dans le godet six forts pinceaux d'eau pure. Dans celte eau on délayera l'encre de Chine de manière à donner naissance à une teinte t — 2/3 environ. Ce sera la teinte d'ébauche n° 0 que l'on passera comme nous venons de dire. Cela fait, on y ajoutera un pinceau d'eau, ce qui donnera la teinte n° 1 passée des lignes + I à T On ajoutera à celte teinte n° 1 deux pinceaux d'eau, ce qui donnera la teinte 2, passée de 1, 2 à 2. On ajoutera trois pinceaux d'eau, ce qui donnera la teinte -(- 3 et ainsi de suite. g 188. — Ombres portées. Lorsqu'une surface présente des parties dans la lumière et d'autres dans l'ombre portée, nous savons que les lignes Fig. 261 os de teintes se prolongent dans l'ombre portée ; mais nous savons aussi que les zones qu'elles séparent doivent être d'autant plus foncées qu'elles eussent été plus claires sans l'existence de l'ombre portée. Pour réaliser cet effet, on opère de la manière suivante : (a) LAVIS A TEINTES PLATES. — Soit un cylindre surmonté d'un tailloir portant ombre suivant la ligne abp (fig. 261). On trace au crayon la ligne d'ombre propre n° 0 et les lignes de teintes J. 2, 3,. .. 1,2, 3. Il faut avoir soin, ainsi que nous l'avons dit et comme cela est visible sur le croquis ci-joint, d'indiquer très légèrement ces lignes au' crayon clans toute la partie éclairée, de les marquer un peu plus clans l'ombre propre (lignes 1,2,3...) et de les tracer très.franchement dans toute la partie a bp s occupée par l'ombre portée. Cela fait : la teinte n" 0 est passée sur tout ce qui est dans l'ombre propre ou l'ombre portée. La teinte 1 est passée dans la partie en lumière, depuis -|- 1 jusqu'à la ligne 1. Dans l'ombre portée, elle se limite également, à droite à la ligne 1, tandis qu'elle recouvre en entier l'ombre portée. La teinte 2 est bordée de même, pour la partie en lumière, aux lignes 2 et 2, tandis que clans l'ombre portée elle s'étend de 2 à toute l'ombre portée. Et ainsi de suite, jusqu'à la teinte 6. A ce moment, le lavis est terminé pour tout ce qui est dans la lumière ou dans l'ombre propre, mais la partie dans l'ombre portée, d,a,b,p,s, est recouverte d'une teinte plate assez forte. L'effet de contre-ombre n'est donc pas encore réalisé. Pour l'obtenir, il suffit de passer, dans l'ombre portée seulement, de nouvelles séries de teintes, que nous nommerons les teintes d'ombres portées. La première (que nous appellerons la teinte 6')sera passée en mmmm sur toute la zone 66 noyée dans l'ombre portée ; la seconde (teinte 5') sera passée par-dessus la précédente, la débordera et se limitera aux lignes S, 5, et ainsi de suile jusqu'à la dernière teinte (n° 0') qui se limitera enps à la ligne d'ombre propre (1). Nota. —- Il est évident que l'on pourrait opérer autrement et aller au contraire du faible au fort, tandis que nous venons de procéder du fort au faible. Ainsi, on pourrait commencer par la teinte 6, de couleur très faible : ajouter un peu de couleur dans le godet, ce qui donnerait la teinte b ; à ce moment ajouter un peu de teinte d'ombre, ce qui fournirait la teinte 4 et ainsi de suite. On arriverait ainsi à la teinte zéro. En y ajoutant de plus en plus de teinte d'ombre, on obtiendra les teintes d'ombres portées l', 2',3',... 7'. On sera peut-être plus sûr, de cette façon, de partir de la teinte la plus claire avec la clarté que l'on désire lui donner, d'obtenir ensuite pour la zone a le ton local de couleur qui convient et d'avoir en dernier lieu (zone 7 ') le noir voulu dans la zone la plus obscure de l'ombre portée. (!) Celte première teinte de contre-ombre 6' doit être beaucoup plus forte que la teinte d'ébauche n" 0. Les autres teintes 5', 4',... etc., sont de plus en plus faibles et s'obtiennent par additions successives d'eau. Ces additions d'eau doivent être calculées de telle sorte que la dernière teinte d'ombres portées (teinte 0') soit équivalente à la teinte d'ébauche, n» 0, plutôt un peu plus sombre qu'elle. 80 �— is'i — Il no faut pas oublier que tout l'effet d'un rendu dépend du rapport des' trois termes principaux, qui sont : la dominante claire, donnée par la zone [3 en lumière ; la dominante colorée, donnée par la zone a en lumière, et la dominante sombre, donnée par la zone p', dans l'ombre. § 189. —Lavis à teintes fondues. (Même cyiindre.) 1° La teinte d'ébauche n° 0 est passée, à plat, comme dans le cas précédent. 2° Gomme il importe de bien ménager en clair la zone 6, C, on prend de l'eau pure que l'on étend sur cette zone (aussi bien dans la partie éclairée que dans la partie ombrée). On la fond rapidement, avec là couleur, du côté du contour apparent de gauche (Voir le paragraphe suivant: Teintes adoucies), puis on la reprend du côté droit avant qu'elle n'ait séché et on l'amène, en la fonçant progressivement, mais avec delà couleur, jusqu'à être à son maximum, à la ligne n'> 0 (§ 191, 2° manière), après quoi on la dégrade jusqu'au contour apparent de droite (§ 191, lro manière). A ce moment, le rendu de la couleur est terminé. 3° Avec de l'eau, on recouvre les zones C et o jusquà la zone «•■; on ajoute alors de la teinte d'ombre que l'on force jusqu'à ce que l'on atteigne la ligne zéro ; après quoi on adoucit du côté des zones négatives. A ce moment, le modelé des demi-teintes et de l'ombre propre est terminé. 4° Dans l'ombre portée seulement, et se soudant à la ligne zéro, avec une teinte d'ombre, colorée de la couleur de l'objet, on passe une teinte fondue que l'on assombrit au fur et à mesure que l'on recouvre les zones dont les numéros -sont les plus élevés, 4', o', 0', 7'. § 190. — Des filets de lumière et des filets de reflets. — Filets d'ombres et filets de contre-ombres. Lorsqu'un plan est limité par des arêtes, comme par exemple la face d'un parallélipipède (fig. 262) on admet que ses arêtes ne sont pas absolument vives, mais légèrement arrondies, chacune d'elles affectant ainsi la forme d'un quart de cylindre. {a) FILET LE LUMIÈRE ET FILET-DE CONTRE-OMBRE. — Si nous prenons l'arête supérieure AB et celle de gauche AC, la surface arrondie qui leur est substituée serait dans la position du quart de cylindre M' M (fig. 263) lequel, dans sa partie en lumière, M', renferme Fig. 203' la zone la plus claire p et dans sa partie ombrée la zone la plus on ?]an contre-ombre, c'est-à-dire la plus noire p", dans le prolongement direct Filet de lumière Met de BefieL de la zone la plus claire p. Par conséquent, si nous revenons au plan ABCD, il faudra ménager de A en F un filet clair, c'est le filet de lumière (de 1 /2 à 1 millimètre de largeur) et de F en C, au contraire, passer, au tire-ligne, un léger trait avec la teinte d'ombre la plus fon'cée ; c'est le filet de contre-ombre (on ne l'observe pas toujours dans les rendus). L'arête horizontale AB serait dans les mêmes conditions. (b) FILET D'OMBRE ET FILET DE REFLET. — Si nous prenons -l'arête de droite BGD et l'arête inférieure CD, la surface arrondie qui leur est substituée serait dans la position du quart dé cylindre N'N, lequel renferme l'ombre propre. Or, dans la partie éclairée N' cette ombre propre tranche en gris sur le ton central V ; par conséquent, sur l'arête B G, nous devrons passer, au tire-ligne, un ton gris (bien se garder de le faire noir) de 1/2 à 1 millimètre d'épaisseur qui viendra se perdre en G dans l'ombre portée inférieure : c'est le filet d'ombre. (On ne l'observe pas toujours.) Si nous revenons au cylindre, dans la partie N", l'ombre propre tranche en reflet sur la partie centrale I" qui est en contre-ombre. Par conséquent la partie G D de l'arête du prisme, doit porter un filet gris, dit filet de reflet de 1/2 à I millimètre d'épaisseur. L'arête inférieure CD est clans les mêmes conditions. 11 faut bien remarquer que ce filet de reflet G D, ou CD, est loin d'être blanc. 11 est du gris moyen de l'ombre propre c'est-à-dire d'un gris au moins égal à celui de la teinte d'ébauche : c'est pourquoi on ne s'en occupe ni quand on passe la teinte première d'ombre (teinte zéro, ou teinte d'ébauche), ni quand on passe la couleur : on ne le ménage que lorsque l'on est arrivé aux teintes d'ombres portées. Résumé. — Les filets de lumière se réservent sur toutes les arêtes éclairées situées en haut et à gauche et les filets de reflets sur toutes celles qui, étant dans l'ombre, sont à droite et en dessous. �Nous indiquerons dans le cours des exercices comment il faut indiquer les filets de lumière et les filets de reflets lorsque la surface n'est pas plane, ou lorsque, étant plane, les lignes qui en limitent le contour sont courbes. § 191. — Execution des teintes dégradées. (o) TEINTES FONDUES, C'EST-A-DIRE DÉGRADÉES SUR UN GRAND ESPACE (TELLES QUE TEINTES DE., FOND, GRANDES TEINTES D'OMBREK — On commence par donner un coup d'éponge léger, afin d'ôter au papier sa sécheresse. On tamponne ensuite, fortement, la feuille avec un linge bien sec et on peut laver de suite. 1™ Marnère d'opérer. — Du fort au faible. — Dans un godet on prépare environ 3 gros pinceaux, d'une teinte grise . assez accusée. On-oriente la planche de manière à placer en haut la partie x y qui doit être la plus Fis-. 26i foncée et on lui donne une très légère inclinaison (un livre placé sous la planche suffit pour cela). On commence en xy, et, par des petits coups de pinceau donnés de haut en bas et très également, en tenant le pinceau vertical, on amène la teinte jusquà la ligne ab, placée à 1 centimètre ou un centimètre et demi au dessous dexy. La ligne dentelée a b doit être bien horizontale et nourrie également de teinte sur toute sa longueur. — On doit opérer à pinceau demi-plein. On ajoute alors 2 ou 3 gouttes d'eau dans le godet. On mêle bien avec le pinceau et.on fait descendre la teinte en a' b'. On continue de la même manière jusqu'en bas, mais en, ajoutant chaque fois un peu plus d'eau que la fois précédente. 2e manière. — Du faible au fort. — On a deux godets : dans l'un se trouvent 3 ou 4 pinceaux d'eau pure et dans l'autre de la teinte assez foncée, que nous appellerons de la teinte de réserve, et qui peut être de la teinte de couleur ou de la teinte d'.ombre. — On a de plus un petit pinceau qui servira de compte-gouttes et de jauge. On met une goutte de teinte de réserve dans le godet d'eau pure, et on commence, mais, bien entendu, en remettant la planche dans sa position normale, c'est-à-dire la partie qui doit être la plus claire, en haut. On couvre ainsi comme tout à l'heure une zone de 10 à 15 millimètres de hauteur. „ On ajoute alors dans le godet, avec le petit pinceau, une goutte de teinte de réserve ; on mêle bien avec le pinceau à laver, et on fait descendre encore la teinte de 10 à 15 millimètres. On ajoute deux gouttes de teinte de réserve, on mêle et on continue de la même manière, en ajoutant chaque fois plus de teinte de réserve que la fois précédente. On fera bien de s'exercer à passer des teintes fondues par l'une ou par l'autre des deux manières. La seconde est peut-être préférable. On doit surtout l'employer lorsqu'il est important d'obtenir un ton déterminé sur la partie la plus claire de la teinte, parce qu'il sera toujours possible en opérant du faible au fort de partir de ce ton faible comme point de départ. En employant la première manière, du fort au faible, on risque souvent de terminer par un ton moins clair que celui que l'on désire. Nota.— Dans tous les cas, surtout lorsque la teinte doit être assez foncée dans sa partie la plus obscure, il faut répéter les opérations précédentes doux ou trois fois pour arriver à l'effet voulu. (b) TEINTES ADOUCIES, C'EST-A-DIRE DÉGRADÉES SUR UN PETIT ESPACE. — Soit, par exemple, à fondre une teinte de AB en . Fig. 20.) h. ar. G D sachant que l'on veut avoir en A B du blanc absolu et en CD un ton gris, déterminé. On place la ligne A B horizontale. La planche ne doit pas avoir de pente. On a deux pinceaux, l'un, le plus gros, contient de l'eau pure, et l'autre de la teinte grise. On passe de AB en ab, une zone d'eau pure, et, ensuite de cd en CD, avec l'autre pinceau, une zone de teinte grise, en laissant une zone libre ab, cd entre les deux. c la v D Puis on enlève au gros pinceau la plus grande partie de son eau et le passant sur la zone ab, cd, on mêle ainsi les deux teintes mises en premier lieu. Si quelques marbrures se produisent on les fait disparaître en se servant du gros pinceau, presque sec, dont on promène légèrement la pointe sur les marbrures. Nota. — Il faut recommencer plusieurs fois cette opération avant d'obtenir l'effet définitif. �CHAPITRE RENDU DES SURFACES IV GÉOMÉTRIQUES A. Lé Rendu Quatrième Leçon § 192. SURFACES DE RÉVOLUTION — Lignes de teintes sur un tore à profil circulaire (fig. 266, 267, 268). Fig. 266 Élévation. Fig. 207 Plan. Fig. 268 Coupe,. Nous supposons la surface mi-polie, (a) ÉLÉVATION (fig. 266). — Le long du grand équateur A' A' on pourrait circonscrire un cylindre vertical répondant à l'échelle A' (voir les échelles à la fin du volume). On relèvera donc, sur une bande de papier, la largeur A'A' et, l'inscrivant dans l'échelle A' on prendra et on reportera les numéros O, 1, 2, 3... et 1, 2, 3. De même, âu méridien de profil a'a', répond un cylindre circonscrit parallèle à la ligne de terre et auquel s'applique aussi l'échelle A'. On marquera donc de même, sur la ligne a' a!, les numéros 0, 1, 2,-3 etc Cela suffit, avec un peu d'habitude, pour tracer les lignes de teintes do l'élévation. On devra toujours commencer par la ligne zéro, d'ombre propre, que nous savons tracer, d'ailleurs, sans le secours des échelles (voir ombres usuelles). On sait qu'elle est tangente à 4o°, aux points 0 et 0 du contour apparent. On remarquera que du côté positif les lignes 1 et 2 se perdent dans le contour apparent, tandis que la ligne 3 et à plus forte raison les lignes 4, 5 ne le rencontrent pas. C'est pourquoi nous dirons que sur les surfaces mi-polies, la zone 2 - 3 est une zone de contour apparent en lumière. Du côté négatif, c'est la zone 3 - 4. �— (b) COUPE 157 — (fig. 268). — Nous avons un tracé analogue. En A"A", petit équateur, nous plaçons l'échelle A', mais renversée, parce que le cylindre qui serait circonscrit le long du cercle A" A" serait un demi-cylindre en creux. Le long du méridien de profil a" «" nous aurons encore l'échelle A', non renversée. Par les points ainsi placés on tracera les lignes de teintes comme pour l'élévation, en commençant toujours par la ligne zéro et faisant les mêmes remarques pour la zone de contour apparent dans la lumière 2 — 3 et pour celle dans l'ombre 3 — 4. (c) PLAN (fig. 267)."— Nous avons figuré au centre une sphère égale à celle qui, par sa rotation, engendrerait le tore ; nous la nommerons la sphère centrale. L'échelle A' (dite des cylindres verticaux) nous sert pour le méridien de front A A et pour le méridien de profil a"a a a'. Remarquons que la bande de papier qui nous est nécessaire a été faite déjà pour le méridien de profil, a' a', de l'élévation et de la coupe. L'échelle B' (dite des cylindres à 45° en lumière) nous sert le long du méridien de symétrie à 45° zz. L'échelle C (dite des cylindres à 45° en demi-teinte) nous sert pour le méridien fuyant à 45° 0 0. Nous avons dès lors assez de points pour tracer les courbes sur la sphère et sur le tore. (d) ZONES DE CONTOUR APPARENT, COURBES OVOÏDES ET ZONES DE COULEUR. — 1° Remarquons, comme pour l'élévation et pour la coupe, que la courbe 2 se perd dans le contour apparent tandis que la courbe 3 et les suivantes 4, 5 ne le rencontrent pas. Nous observons donc ici, comme d'ailleurs sur toute surface mi-polie, que la zone 2 — 3 est zone de contour apparent en lumière. 2° Du centre de la sphère il nous est possible de mener des tangentes aux trois ellipses 5, 6 et 7 de la sphère. Soient ov, o u, os ces trois tangentes. Nous en concluons que sur le tore, aussi bien dans sa partie extérieure que dans son intérieur, il existera trois zones 5, 6 et 7 auxquelles répondront les mêmes tangentes. Ces zones affectent la forme d'un ovale déprimé ; nous les nommerons les zones ovoïdes. On voit qu'elles sont au-delà de la zone 4 - 5, ou zone a, dite d'éclairage à saturation. Ce seront donc des zones qui ne recevront que de la couleur et aucune teinte d'ombre. L'une d'elles, la zone 7, sera la zone brillante ou zone p, qui sur le lavis restera blanche ou peu s'en faut. Nota. — Il faut bien remarquer que les mêmes tangentes issues du centre, servent aux courbes ovoïdes intérieures et extérieures (1). § 193. — Tores dont le cercle générateur est très petit (fig. 269). Dans ce cas il serait impossible de tracer toutes les lignes de teintes, avec leur vraie forme, dans l'espace restreint dont on dispose. On peut procéder comme suit : {a} ELÉVATION. — Sur l'équateur A A ' l'espace est assez grand pour y placer tous les numéros 0, 1, 2, 3, 4, 5. Mais, en Fig. 269. hauteur, sur le méridien de profil cela devient impossible. Alors on amorce toutes les lignes de teintes dans le sens de la largeur, c'est-à-dire du grand espace, mais, dans l'autre, on fait perdre les teintes de deux en deux, l'une dans l'autre. Ainsi 1 se perd avec 0, 3 se perd avec 2 et du côté de là lumière 1 et 2 se rejoignent, puis 3 et 4, etc {b) En plan au lieu des sept lignes de la figure 267, on n'en prendra que trois qui, non compris la ligne zéro, seront 2, 4 et 6. Remarquant maintenant que sur l'épure exacte (fig. 267) le point zéro situé sur le méridien de symétrie à 45°,ZZ se trouve à une distance du contour apparent qui est sensiblement les 0,4 du rayon, on substitue au vrai tracé un autre tracé approximatif, par arcs de cercles, qui est le suivant : 1° On prend, du côté d'où vient la lumière, sur le méridien à 45°, une distance OOi, égale aux 0,4 du rayon. 2° De ce point avec des rayons égaux à ceux du grand et du petit équateur, on trace des demi-circonférences qui donnent, sensiblement, les lignes zéro. (1) Il ost facile de démontrer que les courbes du tore sont des conchoïdés des ellipses de la sphère centrale. On les obtiendrait on prenant pour pôle le centre de cette dernière, et pour paramètre la distance du centre du tore au centre du cercle générateur. �F'"- 2'0' 3° Du même centre Oi on trace une série de circonférences concentriques qui donnent les lignes 2 et 2, 4, 6. Remarques. — Ce tracé substitne aux zones ovoïdes brillantes du tracé exact, une couronne circulaire S, (5, R... Il justifie également le procédé employé figure 270 pour tracer les traits de force et les filets circulaires sur un contour circulaire plan M. Il consiste à prendre sur la ligne à 45° du centre, deux points 0( et 0-2 distants du point.0 detoute l'épaisseur que l'on veut donner soit au filet de lumière f, soit au trait de force g, et à décrire de ces points comme centre, avec le rayon du contour circulaire, deux demi-cercles m f 11 et m g n, excentriques l'un à l'autre. Cela résulte de ce que (§ 190) le filet de lumière et le trait de force ne sont autre chose qu'une traduction sommaire de la zone brillante et de la zone d'ombre propre de la surface arrondie qui forme l'arête du contour. Si cette arête est un cercle, la surface arrondie est un tore à cercle générateur très petit. Fi". 271. § 194. — Surfaces planes travaillées au tour (fig. .271). Certaines surfaces planes ou même légèrement sphériques ou coniquestravaillées au tour, telles que des extrémités des tourillons, les obturateurs de lunettes d'approche, A, ou d'objectifs photographiques, etc présentent au lieu d'un plan parfait une série de stries circulaires (voir la coupe grossie, en B) formant comme autant de tores à cereles générateurs très petits, emboîtés les uns dans les autres, et ayant tous le même centre. Or, ces tores présentent tous, aussi bien à l'intérieur qu'à l'extérieur,, trois zones ovoïdes S, 6 et 7 (fig. 267) limitées aux mêmes tangentes U, V et S. Les tores, pris en masse, présenteront donc une série de lignes brillantes,, qui parleur ensemble donneront l'aspect de deux secteurs (voir A, fig. 274) brillants, opposés par le sommet. Dans un lavis à teintes plates un pareil plan C, limité par un contourcirculaire, se rendra de la manière suivante : On divisera les arcs f m et f n en cinq parties égales-, et joignant ces points au centre cela donnera des lignes que l'on considérera comme les lignes de teintes 7, 6, 5 et 4 et entre lesquelles on passera les teintes comme l'indiquent les flèches de la figure C. B. S 6 RA CCOR.DEMENT DES SURFACES. § 195. — Surfaces-Congés. Quelquefois en architecture mais surtout en mécanique, pour les pièces qui doivent être fondues directement, lorsque deux surfaces se rencontrent, au lieu d'accuser leur ligne d'intersection par une arête vive s'oit "en creux soit en saillie, on émousse, pour ainsi dire, cette ligne d'intersection à Fis. 273. l'aide d'une surface de raccordement qui prend ordinairement le nom de congé. Les surfaces-congés sont quelquefois très simples et susceptibles d'être définies géométriquement ; mais, le plus souvent, elles sont compliquées et leur définition géométrique est presque impossible. Le congé entre deux plans, figure 272, pourra être, comme en M, un cylindre, dont les génératrices seront parallèles à l'intersection des deux plans. On pourrait prendre aussi comme en N, figure 273, un cône tangent aux deux plans. Deux surfaces de révolution ayant même axe se raccorderont par un congé qui sera un tore. La marche à suivre pour faire le passage des lignes de teintes d'une surface sur l'autre en prenant comme transition le congé est toujours la même. Elle se résume ainsi : �1° On détermine, figure 274, en d d, f f..... et figure 273, en aa les lignes suivant lesquelles se ferontles raccordements ; 2° On trace les lignes de teintes sur les surfaces à raccorder (1) et on les arrête aux lignes de raccordement. Il reste alors à tracer les lignes sur le congé, c'est-à-dire à relier convenablement les points qui portent les mêmes numéros sur les lignes de raccordement ; pour y arriver : 3° On se rend compte des lignes de contour apparent du congé et en leur menant des tangentes à 48°, on a des points :zôro, d'ombre propre ; 4° Celasuffit en général poui permettre île tracer avec une approximation suffisante la ligne zéro du congé ; sa direction aide à trouver celle des lignes 1, 2, 3, etc dont on a les points de départ et d'arrivée, là où les lignes de teintes des surfaces données rencontrent les lignes de raccordement du congé. Remarque. — Si le profil du congé est fourni par des arcs de cercle, dans ce cas le congé et les surfaces sont simplement tangentes mais ne sont pas ce que l'on nomme osc'ulatrices ;. alors les lignes de teintes se rencontrent sur la ligne de raccordement mais ne sont pas tangentes entre elles. Si, au contraire, le profil du congé est tracé à la main, alors il y a osculation et les lignes de teintes se raccordent. Nous supposons clans les exemples donnés plus loin qu'il en est ainsi ; l'effet produit est meilleur. § 190. plan. Raccordement d'un cylindre et d'un •fie. 27t — On remarquera (fig. 27o), sur la projection horizontale, que les lignes de teintes du congé ne doivent pas rencontrer la ligne de raccordement a, a, a, qui est ici un cercle. — Gela est naturel puisqu'un plan ayant la même orientation pour tous ses points doit être teinté d'une seule et même teinte. On voit en S, S, deux espèces d'estuaires par lesquels la zone 4, 5, semble se déverser sur le plan, comme un lleuve se déverse dans la mer. En dessin de machines, sur les portées des boulons, on trace les lignes de teintes d'une manière approchée, en se servant du compas (fig. 276). Ayant remarqué (fig. 275) que la distance m f est sensiblement les 0,4 du rayon du congé, on prend de part et d'autre du centre 0 et sur la ligne à 45° deux points J et K situés à une distance égale aux 0,4 du rayon. Du point J comme centre on trace 4 cercles, dpnnant les teintes positives nos 1,2, 3 et 4. Du côté de la lumière les courbes ovoïdes nos 5, 6 et 7, sont obtenues par des arcs de cercles ayant alternativement f et k comme centres. Au lieu d'être arrondies aux extrémités comme sur la figure 275, elles sont terminées en pointe. Cela ne nuit pas à l'effet produit. îFig. 276 (t) Ces surfaces sont en général définies géométriquement : ce sont des cônes, des cylindres, des sphères, des tores, etc.. ; et l'on sait tracer leurs lignes de teintes. �— Nota. — Sur les figures contre-ombres. 274, 275 160 — et 276, les ombres portées ne sont pas indiquées. Elles produiront des effets de § 197. — Raccordement de deux cylindres de diamètres différents. On s'est donné (fig. 277) en élévation et (fig. 278) en plan, les profils du congé, lesquels seront pour lui ses lignes de contours apparents. Les points de contact a, b et c du plan ont été rappelés en a', b' et c' sur l'élévation, et les contacts g' et h' de l'éléva- ~E\ évahon tion ont donné g et h sur le plan ; cela a permis d'établir approximativement, sur l'élévation, les lignes de raccordement m' a'p' — g' b' f, etc.../, indiquées en pointillé sur le croquis. L'échelle A' des cylindres mi-polis a permis de tracer les lignes de teintes des surfaces cylindriques. Plan Les lignes du congé rejoignent les points dont les numéros se correspondent sur les lignes Les ombres portées sont à déterminer. de raccordement. 11 est inutile d'insister : le lecteur devra refaire lui-même le tracé et s'exercer à laveries différents exemples de surfaces ou de raccordements de surfaces que nous donnons. Nota. — 1° On trouvera l'application de cet exemple clans le lavis des robinets ; 2° Les ombres portées sont à déterminer sur les figures 277, 278, 279. — Raccordements d'un tore et de huit cylindres (fig. 280). COUPS MI-POLIS. — Un tore est rencontré par 8. cylindres. Les lignes de raccordement sont, à l'extérieur, les courbes a a a (on peut prendre on plan des arcs de cercle ; mais dans l'espace ce sont des courbes gauches) ; à l'intérieur, ce sont § 198. �161 Fig. 281 — Echelle A' Echelle A les courbes bb b, et pour le croisement des cylindres entre eux, ce sont les lignes o m, om, om qui sont droites sur le plan, 21 �— 162 — mais qui, en réalité, sont des ellipses clans l'espace, comme sections planes de ces cylindres. (On aurait pu, pour ces dernières, prendre toute autre ligne.) Les échelles A', B' et G deé corps mi-polis ont permis de diviser les 8 cylindres qui sont en présence. On a donc tracé les lignes de teintes de ces cylindres, mais en les arrêtant aux lignes de raccordement a a a b b b et m m m. On a, par les procédés indiqués ci-dessus, § 192, tracé les lignes de teintes du tore et on ne les a conservées qu'en dehors des lignes de raccordement. On les vpit, sur le croquis ci-contre, continuées par des petites croix, dans la partie propre aux congés. Le raccord des lignes entre elles est facile à suivre sur le croquis ci-contre : on joint par des courbes les points dont les numéros sont les mêmes. La moitié de gauche A donne le tracé complet, la moitié de droite B ne donne que l'indication des lignes zéro. Les deux moitiés sont symétriques par rapport au plan de symétrie à 45°, Z Z. (On n'a pas indiqué les ombres portées, on les cherchera par les méthodes données dans la première partie.) § 199. — Raccordements de tores. — Application à un crochet de poulie-(fig. 282 et 283). Nous avons en présence plusieurs tores ou fractions de tores qui se succèdent en changeant de section méridienne. Ainsi, tandis que la coupe horizontale A" A" faite immédiateFig. 283 Fi g. ïSï ment au-dessus du congé M, donnerait un cercle, une coupe horizontale A A faite au niveau des centres I et G donnerait la courbe elliptique dont on voit le rabattement en a'a' au-dessous. Gomme toujours on détermine d'abord, et même sans le secours des échelles, les lignes zéro en ayant soin de les faire passer par les points de tangence à 43 degrés sur les contours apparents. Quant à l'application des échelles, elle ne peut plus se faire très rigoureusement sur le crochet à cause de la forme elliptique de ses différentes sections. Ainsi l'échelle A' (dite des cylindres verticaux) s'applique, par à peu près, en A A — A'A', mais sur un profil elliptique. Sur A"A" seulement elle peut s'appliquer exactement. Le point zéro est déterminé rigoureusement par le tracé de l'ombre propre, mai* les autres points ne le sont qu'à vue d'œil. L'échelle ne s'applique plus. Néanmoins on placera les points au sentiment, sachant tou3*5 5 4-3 210 jours que l'on ne doit pas dépasser les numéros S et 5 pour la zone claire des cylindres verticaux et que le milieu des sections doit être compris entre 4 et 5 (zone a). En menant des tangentes horizontales aux points a et a, et joignant a a par une ligne courbe que nous prendrons �— 103 — comme ligne conventionnelle de contact d'un cylindre horizontal circonscrit, nous disposerons aussi sur cette ligne des numéros analogues à ceux de l'échelle A'. L'échelle B' (dite des cylindres à 45°, en lumière) trouvera son application en BB et en bb (cette dernière ligne de contact n'est pas droite) ; nous aurons soin d'y placer tous les numéros jusqu'à 7 et de faire en sorte que le milieu de la ligne soit compris, lui aussi, entre 4 et o (zone a). Enfin l'échelle C (dite des cylindres à 40" en demi-teinte) trouve son application sur la ligne courbe ce. Il est inutile d'insister ; le croquis donne les indications nécessaires pour achever le tracé. D'ailleurs la simple lecture ne suffit pas pour comprendre et pour s'assimiler la méthode. Il est nécessaire de faire les dessins et d'en exécuter le lavis. �CHAPITRE V APPLICATION AU RENDU DANS LE DESSIN D'ARCHITECTURE Le Rendu Cinquième Leçon § 200. — Des reflets dans le dessin d'architecture. En architecture, les édifices reposent sur le sol, qui est fortement éclairé, souvent de couleur claire, et qui donne des reflets violents. Les reflets atmosphériques doivent donc être combinés avec les reflets émanant du sol. Ces derniers sont même plus intenses que les premiers. Cherchons à nous rendre compte de la direction suivant laquelle les reflets du sol ont le plus d'intensité. Cette direction combinée avec celle du rayon atmosphérique principal nous donnera celle des rayons de reflets résultants. (a) RAYON' TERRESTRE PRINCIPAL. — Soit en projection horizontale A, figure 284, un édifice rectangulaire, reposant sur un sol mat, c'est-à-dire analogue aux surfaces dépolies, éclairé et renvoyant de la lumière .par diffusion et non par réflexion, comme pourrait le faire une nappe d'eau. Il est évident que si nous plaçons un petit élément plan vertical,cd, dans une position inclinée sur la face mn de l'édifice, il ne recevra de reflets que des points du sol situés dans l'angle pcq, car il ne peut pas recevoir de reflets de la partie du sol, Z, qui est située derrière lui. Il sera donc d'autant moins reflété qu'il sera plus loin d'être parallèle à la face mn. On peut donc dire que le rayon terrestre principal, c'est-à-dire le rayon fictif qui à lui tout seul donnerait à peu près les mêmes effets que l'ensemble des rayons qui viennent de tous les points du sol, doit Fig. 2S1 être dans un plan de profil vertical xy, perpendiculaire sur la face mn de l'édifice. Quel angle, avec le plan horizontal, fait-il dans ce plan ? Pour nous en rendre compte, faisons une coupe verticalesur l'édifice, figure 285. Un petit élément plan c d, incliné à l'a.ngle a, reçoit de la lumière d'une infinité de points, tels que a'a a" situés à des distances VU". Ces points lui envoient de la lumière dont l'éclairement varie : 1° Fig. 2S5 avec l'angle d'incidence; 2° avec la distance (loi de l'inverse du carré de la distance). En combinant tous ces effets, il sera facile de reconnaître : 1° Que l'élément cd sera plus éclairé quand il sera près du sol que quand il en sera loin ; 2° Qu'il sera éclairé au maximum quand il fera avec le sol un certain angle a, que le calcul pourrait déterminer. Le rayon de reflet maximum dû au sol, c'est-à-dire ce que nous nommerons le rayon terrestre principal, sera pris normal au plan cd, dans la position précédente, répondant à cet angle a d'éclairement maximum. Son angle avec le sol sera donc 90° — a. (b) COMBINAISON DES REFLETS DU SOL ET DES RAYONS ATMOSPHÉRIQUES. — RAYON AÉRO-TERRESTRE PRINCIPAL. —■ Combinons (lig. 286) les reflets du sol représentés par le rayon terrestre Zu — Z'u', situé dans un plan de profil Zu et dirigé de bas en haut, avec le rayon atmosphérique principal représenté par b a — b1 al (dans l'hypothèse du rayon à 45°). Le premier est plus intense que le second, et on pourra les réunir en un seul RR' que nous nommerons le rayon aéro-terrestreprin- cipal. On le prend ordinairement, en architecture, dirigé suivant une diagonale du cube de lumière, mais ce n'est pas celle �Fig. 586 qui est directement opposée aux rayons solaires. On prend le rayon aéro-terrestre ■ incliné à 45°, dirigé de droite à gauche, de bas en haut et d'arrière en avant. Les projections d'un de ces rayons seraient les droites R et R'. Remarque. — Il est bien entendu que ce rayon aéro-terrestre n'est que conventionnel ; c'est un rayon qui, pris seul, éclairerait les ombres à peu près comme le font tous les rayons de reflets qui viennent dans toutes les directions, avec des intensités variables. Il faudra bien se garder de lui donner des propriétés ombrantes. (Voir plus loin § d, contre-ombres.) (c) CONSÉQUENCES. — 1° Dans un dessin d'architecture, représentant la façade ou là coupe d'un édifice, toutes les ombres doivent être plus claires en bas de l'édifice qu'en haut, comme étant plus près de la source des reflets. 2° Les moulures qui, dans l'ombre, sont tournées du côté du sol doivent être moins noires que celles qui sont tournées du côté du ciel. Plus généralement, le point le plus clair d'une moulure placée dans l'ombre est celui pour lequel le rayon aéro-terrestre lui est normal. (d) CONTRE-OMBRES. — Les reflets du sol sont quelquefois assez intenses pour produire des ombres dans les ombres. On nomme ces dernières des contre-ombres. On ne les trace que dans les ombres portées en les supposant produites par le rayon aéro-terrestre principal, tel que nous venons de le définir. Seulement, il ne convient pas de donner à ces contreombres des contours aussi définis qu'aux ombres directes, ni de les prolonger aussi loin. En effet, les reflets qui viennent de tous les points du sol produisent des pénombres très considérables qui font que les contre-ombres disparaissent à très petite distance des objets qui les portent et que leurs contours s'estompent très rapidement. On fait ordinairement les contre-ombres à l'aide de teintes très rapidement adoucies ou fondues. (Voir plus loin fig. 294, lavis d'un entablement.) § 201. — Rendu des surfaces planes. — Un porche avec escalier (figure 287 (1). Nous donnons cet exemple comme application du principe des distances : le fragment d'édifice représenté ne comporte que des plans de front situés à des distances différentes. Le dessin sera exécuté sur une feuille 1/4 grand aigle (cadre 240mm X 400mm, marge 40mm) à une échelle qui sera le double de Celle du croquis ci-joint, c'est-à-dire de 0m04 pour 1 mètre. Marche à suivre : [a) DESSIN. — Dessiner les arêtes à l'encre, avant de commencer le lavis (trait assez gros d'encre de Chine). Tracer les lignes d'ombre, les filets de lumière et les filets de reflet au crayon (n° 3, trait fin). —Le rayon lumineux direct est incliné à 45° suivant l'usage. (b) OMBRES. — Préparer dans un godet la teinte d'ombre (teinte d'encre de Chine, gris peu foncé, transparence 2/3) et passer cette teinte sur toutes les surfaces dans l'ombre, sans exception. Au préalable donner un coup d'éponge ; tamponner fortement la feuille avec un linge bien sec et passer la teinte tandis que le papier garde encore un certain degré d'humidité, sans, cependant, être mouillé. — Ne ménager avec cette teinte aucun filet de reflet. Ces derniers n'apparaîtront qu'avec les teintes d'ombres portées et de contre-ombres. (cl TEINTES LOCALES. — Il n'y aura qu'une seule teinte locale devant figurer la pierre. Prendre soit une teinte légère d'ocre jaune mêlé d'un peu de carmin, soit une teinte légère d'encre de Chine, si l'on fait le lavis en camaïeu. — Passer cette teinte sur toutes les surfaces, qu'elles soient dans l'ombre ou dans la lumière, qu'elles soient en premier ou en second plan. — Ménager tous les filets de lumière dans les premiers plans (N,N). Ne pas les ménager dans les seconds plans (M, M). Ne pas s'occuper encore des filets de reflet dans les ombres. Pour faire avancer les premiers plans et les détacher en clair, passer un glacis (teinte extrêmement faible d'encre de Chine) sur les seconds plans tels que M et M' ; en passant ce glacis, ménager alors les filets de lumière du second plan. Nous rappelons que le principe est le suivant : Principe. — Toute surface dans la lumière, si sa teinte locale est claire, doit être d'autant plus claire qu'elle est plus près de l'œil. Si sa teinte locale était foncée de sa nature (ardoise, fonte, granit ) ce serait le contraire. On suppose ici que la pierre est d'un ton jaune clair. Les filets de lumière se ménagent sur les arêtes supérieures et sur celles de gauche des surfaces éclairées. Les filets de reflet se placent sur les arêtes inférieures et sur les arêtes de droite des surfaces dans l'ombre, c'est-à-dire sur les arêtes ■qui porteraient ombre si elles étaient éclairées. (1) Ecole polytechnique. 1er Exercice de Lavis. �— 166 — (V/) OMBRES PORTÉES. — Fig- 2S7 Principe.-—Toute surface dans l'ombre est d'autant plus noire: 1° qu'elle est plus près de l'œil ; 2° qu'elle est plus loin du sol, qui est la source principale des reflets ; 3° qu'elle est plus étroite et qu'elle se détache sur un fond plus clair (Effet d'irradiation et de contraste). En conséquence : 1° Les teintes d'ombre du second plan M et M' seront plus claires que celles du premier plan N ; 2° les grandes ombres verticales, telles que A, B et M', seront dégradées de haut en bas. Exécution. —Prendre une teinte de contre-ombre, plus foncée que la première teinte générale d'ombre et la passer, en ménageant alors les filets de reflets. Nota. — 1° Les flèches, tracées sur le croquis ci-joint, indiquent le sens de la dégradation des teintes. La pointe se dirigeant vers la partie la plus claire ; 2° Les numéros placés entre parenthèses, sur les divers points du croquis, indiquent d'une manière approchée les intensités des teintes qui doivent recouvrir les surfaces situées autour de ces points. Exemple. — (1) indique une teinte très légère, presque de l'eau pure —(12) une teinte moyenne entre le blanc et le noir absolus — (21, 22) un gris très intense — (25) une teinte presque noire. — Rendu des moulures cylindriques (1) (fig. 288, 289, 290, 291). (a) TRAIT. — Les dimensions sont données, en millimètres, sur les croquis ci-joints. Les chiffres tels que 1, 2, marqués sur les côtés, entre deux lignes verticales, sont des nombres proportionnels qui indiquent les proportions en hauteur des § 202. différentes parties. (1) Ecole polytechnique. 28 Exercice do Lavis. �— 3 167 — Les triangles tels que /]* ou \|i indiquent, par leurs hypoténuses, la pente générale des profils (lignes telles que AB, A B joignant le point saillant A au point rentrant B). Le rayon lumineux est à 45° suivant l'usage. Les lignes d'arêtes ou de contours seront tracées à l'encre de Chine (trait de grosseur moyenne et pas très noir). Les lignes d'ombres et les lignes de teintes seront faites au crayon (trait fin, crayon n° 3). On tracera légèrement les lignes de teintes dans la lumière ainsi que les filets de lumière et de reflets. Les lignes situées Fig. 289 Moulures cylindriques droites. Moulures cylindriques renversées. 10 S Baguette \g Gorge WÊÊÈÊIÊL (Coupe) fa. Teinte rospKVWfan Zone c(_ ZâneoC "Zone a. (Filet) Quart de rond Zone d. 105 Quart de, rond ! i 'F?F^V'W». !§ '^Z/Z^ZZZzW\, 'Ou. w5 Zone q; (Filet) M Filet de lumière Zone cf. (Filet) . B mm. Caret 5 Cavet S \ w ZoneU (Filet) ] Coupe Filet de reflet ^ dans les ombres propres ( ces différences. 1, 2, 3 ) et surtout dans les ombres portées, seront plus accusées. Le croquis ci-joint indique (b) TRACÉ DES LIGNES D'OMBRES ET DE TEINTES. — La première moulure (baguette ou gorge) est formée par un demicylindre de révolution, plein ou creux. C'est à elle que l'on rapportera toutes les autres, en y comparant les orientations des plans tangents. On suppose que les moulures sont en pierre dépolie. Un cylindre de révolution, circonscrit à une sphère dépolie (Voir les surfaces dépolies) pourrait à la rigueur, ainsi que nous l'avons dit, ne se diviser qu'en 4 zones bien distinctes: 1° Zone d'ombre propre, commençant à la ligne n° 0 et comprenant les teintes négatives 0 1, 2, 3 répondant au rayon lumineux tangent à 45°. —■ 'Z Zone claire ou zone (5, comprise entre les lignes 7, 7, ou à la rigueur �— Fig. 290. 168 — 6, 6, répondant au rayon lumineux normal. - 3° Zone saturée ou zone a, comprise entre les teintes 4 et 5, et sur laquelle on doit trouver, dans toute sa pureté, la teinte locale de couleur de l'objet. Elle répond, par convention, à un plan tangent de front, c'est-à-dire à une tangente verticale menée en a aux profils. — 4° Zone de transition ou de demi-teinte, comprenant les lignes 2, 3 et qui serait recouverte d'une teinte grise, formant transition entre l'ombre et la couleur. Pour des moulures dessinées à petite échelle ces 4 zones suffiraient et 3 teintes , savoir : [a) la teinte d'ombre, (b) là. teinte de couleur, (c) la teinte de transition , permettraient d'en rendre le modelé. Dans le cas actuel, l'échelle assez grande des dessins permet de se servir de 6 lignes de teintes. On divisera d'abord les 2 premières moulures (baguette et gorge). On pourra se servir, pour cela, de l'échelle A, corps dépolis (fig. 304). Talon droit et talon renversé. Fig. 291. Boucine droite et doucine renversée. Filet de lumière Filet de la Boucine (Zone ci) i >> i c1 ^ Pour les autres on procédera comme il suit : 1° On mènera toutes les tangentes à45°. Les contacts donneront les lignes n° 0. Les unes réelles, si le profil est convexe ; les autres virtuelles, si le profil est concave. Ces dernières seront noyées dans une ombre portée par la moulure sur elle-même. 2° On mènera les tangentes verticales. Les points de contact, œ, devront être compris entre les lignes n° 4 et n° 5. Entre 0 et « on placera donc, au jugé, les points 1, 2, 3, 4. De l'autre côté des points n° 0, on placera les points négatifs 1, 2, et s'il y a lieu 3. 3° On tracera les normales à 45° (s'il y en a). Les points d'incidence normale seront les centres approchés des zones claires 6, 6. �— 169 — (c) EXÉCUTION du LAVIS. — (Voir plus haut, pratique du Lavis; d'ailleurs les flèches indiquées sur la baguette et sur la gorge indiquent l'ordre de passage des teintes.) — Pour les ombres portées, ne pas oublier ce principe. Une zone dans l'ombre portée doit être d'autant plus foncée qu'elle eût été plus claire sans l'existence de l'ombre portée. 0 (d) OBSERVATIONS. — ! La première teinte d'ombre, dite teinte d'ébauche, se passe sur toutes les ombres indifféremment (ombres propres et ombres portées) sans ménager les filets de reflets, lesquels n'apparaîtront qu'avec les teintes d'ombres portées, 6', 5', etc. 2° Les premières teintes, 0, 1, 2, 3, 4, sont des teintes faites avec de l'encre de Chine ou . avec la couleur qui doit 1 rendre les effets de l'ombre ; elles sont de plus en plus faibles. La dernière doit être très légère. L'es teintes 3 et 6 sont des teintes de couleur (ocre jaune très dilué et un peu do carmin). (e) NOTA. — Ces teintes (0, 1, 2, 3, 4, S, 6), qui, dans les lumières et dans les ombres propres, se passent en empiétant successivement les unes sur les autres, doivent, toutes, recouvrir en entier les ombres portées. 3° Les teintes d'ombres portées, 6', 5', 4', sur les cylindres, se passent en recouvrement les unes sur les autres et exclusivement dans les ombres portées. Aucune d'elles ne doit atteindre de ligne négative. La dernière vient se limiter à la ligne n° 0. Les ombres portées sur les surfaces planes se font en dernier lieu et par une seule teinte, composée exprès, de manière à donner à ces surfaces planes l'intensité dès zones qui, sur les cylindres, ont les mêmes orientations qu'elles. C'est alors que l'on ménage les filets de reflets et que l'on tient compte, clans une certaine mesure, des effets de distance. On ne doit mettre aucun trait de force. 4° § 203. — Rendu des moulures annulaires. Si l'on fait tourner autour d'un axe l'un des profils de moulures étudiés ci-dessus on engendre des surfaces de révolution qui constituent ce que l'on nomme des MOULURES ANNULAIRES. Fig. 292 Fig. 293 Talon annulaire (droit). Domine annulaire (droite). Talon annulaire (renversé). Domine annulaire (renversée). 293 La figure 292 représente un talon annulaire droit et un autre renversé. La figure clans les deux positions, droites ou renversées. reproduit une doucine annulaire 22 �— 170 — Ces moulures se rencontrent dans les colonnes, dans les vases, dans les balustres, etc... Nous avons mené aux profils les tangentes verticales aux points marqués a, a,... et,le long des parallèles qui répondent à ces points, on a pu circonscrire des cylindres verticaux (Échelle A). Nous avons donc appliqué sur tous ces parallèles l'échelle A (corps dépolis), et cela nous a suffi pour tracer les lignes de teintes. D'ailleurs, sur les méridiens de front et de profil, nous avons placé les numéros comme nous aurions fait sur les moulures cylindriques (fig. 290 et 291). On aura toujours soin, dans un cas analogue, de mener aux profils les tangentes à 45", ce qui donne des points zéro de contour apparent, et de commencer par tracer les séparatrices d'ombre propre (Lignes n° 0) réelles ou virtuelles. Nota. — Sur les croquis ci-joints nous n'avons pas indiqué les ombres portées. On les tracera par les méthodes données dans la première partie (Ombres usuelles). Le lecteur fera bien d'exécuter le lavis de ces moulures, une première fois à teintes plates et une seconde fois à teintes fondues. g 204. — Rendu à l'effet d'un fragment d'architecture (Teintes plates ou fondues). Nous prendrons, figure 294, comme exemple, l'entablement dont nous avons donné le croquis plus haut, et qui appartient au petit édifice connu sous le nom de Tribune des Cariatides, à Athènes. La marche à suivre est toujours à peu près la même ; nous la résumerons comme il suit : (a) TEINTE DE PIERRE. — Cette teinte doit avoir une couleur en rapport avec la nature de la pierre. Quelques aquarelles, exécutées d'après nature, en apprendront plus sur ce point que tout ce que l'on pourrait dire.Néanmoins, pour le fragment en question, qui est en marbre pentélique, d'une coloration jaune doré très prononcée, on rendra l'effet par une teinte d'ocre jaune additionnée de terre de Sienne brûlée ou de pierre de fiel. On la passera en la dégradant de haut en bas, c'est-à-dire en la tenant plus intense à la partie supérieure. On aura soin de ménager en blanc les filets de lumière sur les arêtes éclairées. On ménagera aussi et même d'une façon un peu heurtée, cela n'a pas d'inconvénient avec la couleur jaune, toutes les zones éclairées des moulures (zones 7, 7), à la condition, toutefois, qu'elles soient en lumière, car nous savons que, si elles sont dans l'ombre, loin d'être ]es plus éclairées, elles seront les plus obscures. (b) TEINTE GÉNÉRALE D'OMBRE, OU TEINTE D'ÉBAUCHE. — On lui donnera le ton voulu pour être en rapport avec la teinte de pierre. C'est encore l'étude d'après nature qui permettra de bien choisir le ton des ombres. Dans le cas actuel, on fera bien de prendre l'encre de Chine pour fond des teintes d'ombres, mais on pourra lui donner une couleur plus légère et, en quelque sorte, plus aérienne, en y ajoutant un peu de laque carminée et de bleu de cobalt. Cette teinte sera passée, sans faire aucune réserve de filets de reflets, sur toutes les ombres, propres ou portées, sans distinction. On la commence à la partie supérieure du dessin, on la descend, et, tout en la descendant, on la dégrade en y-ajoutant, peu à peu, de l'eau. Cette teinte d'ébauche ne doit pas être très forte. Elle doit posséder le ton que l'on veut attribuer, dans les ombres, aux parties les plus en reflet. Ces parties sont les dessous des talons, l'ombre propre des baguettes, etc., en un mot, toutes les zones négatives T, 2, 3, 4 .. des moulures. (c) MODELÉ DES MOULURES. — On s'occupe alors du rendu des moulures avant de songer au rendu des surfaces planes, parce que, en chaque point, ce sera la moulure qui s'y trouve qui donnera la valeur de la teinte à appliquer sur les plans qui sont aux environs. Nous avons appris à laver les moulures à teintes plates, ce qui nous renseigne sur l'effet à obtenir dans le cas où l'on opérerait à teintes fondues ou adoucies (Voir pratique du Lavis). On observera bien le principe des ombres portées. (d) TONS LOCAUX DES SURFACES PLANES. — Nous trouvons des surfaces planes à différentes hauteurs et à différentes profondeurs, mais nous avons toujours une ou deux moulures placées à côté d'elles, soit au-dessus, soit au-dessous, et qui ont été terminées, comme lavis, dans l'opération précédente. On sera donc fixé sur le ton, soit d'ombre, soit de couleur, qui convient à ces plans, en cherchant sur les moulures le ton de la zone de même orientation. Ici ce sera pour tous les plans la zone des plans de front ou zone a, soit dans la lumière, soit dans l'ombre ; mais, s'il y avait eu des plans inclinés, on aurait trouvé, comme analogues, d'autres zones sur les moulures.Une fois l'analogie d'orientation reconnue, on place sur les plans les teintes voulues pour qu'il y ait concordance d'intensité. Ces teintes sont passées en réserve, c'est-à-dire en ménageant les filets de reflets sur les arêtes qui regardent le rayon aéro-terrestre. (e) CONTRE-OMBRES. — On se rappelle que ce sont les ombres portées dans les ombres par le rayon aéro-terrestre. On �— 171 — N les voit, à gauche des modillons, où elles s'accusent par des lignes à 45°, issues des angles inférieurs tels que a, a Fig. 294 Entablement de la tribune des cariatides. f 100 f g*l 50 avons recommandé de les faire à teintes rapidement fondues, en plaçant la partie la plus noire immédiatement à côté de la partie qui porte contre-ombre. �— 172 — (d) RETOUCHES. — Le lavis général une fois fini, il est utile, pour augmenter l'effet produit, de revenir avec de la teinte de couleur ou de la teinte d'ombre sur certaines parties, soit pour les faire tourner davantage, soit pour les faire avancer ou reculer. On fait avancer les parties en lumière en y plaçant quelques tons plus ebauds, c'est-à-dire plus jaunes ou plus rouges; on fait avancer les parties dans l'ombre en forçant la teinte d'ombre et môme en la colorant en bistre (Sépia et terre de Sienne brûlée). On fait reculer les plans en y passant des teintes très légères, bleuâtres ou neutres. On nomme ces teintes des glacis. On fait également avancer une partie de Kédiflce en la faisant davantage, c'est-à-dire en y plaçant plus de détails et rendant avec plus de recherche l'effet de ces détails. On la fait reculer en la laissant dans le vague comme dessin et comme lavis. �CHAPITRE VI APPLICATION AU RENDU DANS LE DESSIN DE MACHINES § 203. — Un vérin à vis (1). Cet appareil sert à soulever de lourds fardeaux. On l'emploie assez souvent pour supporter les cintres des ponts, el pour les faire descendre lentement dans l'opération du décintrage. La figure 295 donne, à droite, une demi-élévation et, à gauche, une demi-coupe. On remarquera cependant que, suivant un usage adopté en dessin de machines, lavis centrale n'est pas coupée, parce qu'elle est pleine. Cependant, on a coupé, par arrachement, la tête de cette vis pour montrer la forme exacte des cavités cylindriques dans lesquelles on introduit les barres de fer qui servent à la manœuvre. Il est inutile d'indiquer le tracé des lignes de teintes ; ce qui a été dit précédemment pour l'emploi des échelles doit suffire. Observations. — 1° Le croquis étant à petite échelle, nous n'avons indiqué les lignes de teintes que de deux en deux (Teintes 0, 2, 4, 6) ; c'est même pour cela que nous avons été amenés à placer sur les cylindres une ligne n° 6, tandis que l'échelle A', des corps mi-polis, ne s'étend que jusqu'au n° 5. Cela prouve combien il y a de latitude dans l'emploi de ces échelles. On devra exécuter ce dessin et ce lavis à une échelle double de celle du croquis ci-contre et, alors, placer toutes les lignes de teintes. Le dessinateur, qui aura d'abord exécuté quelques lavis en appliquant strictement les échelles, devra plus tard, lorsqu'il sera familiarisé avec la position et avec la forme des zones claires ou brillantes, lorsqu'il connaîtra le mouvement des lignes de teintes, ne plus en faire usage. C'est alors seulement qu'il fera bien d'exécuter les lavis à teintes fondues, parce que ce n'est qu'à ce moment qu'il connaîtra les effets à produire et le sens dans lequel il doit fondre les teintes. 2° Les ombres n'ont été indiquées que sur les quatre premiers filets de la vis; il faut les tracer de la même manière sur tous les autres. (1) Cet appareil est connu dans le commerce sous le nom de Vérin à bouteille. Son prix varie de 25 à 35 fr. Il serait très utile, dans un cours, de posséder ce modèle en relief, ainsi que les deux qui suivent, palier et robinet. �Fig. 295 Vérin. 50 it-e—' 100 1 ' ' ' n On voit ci-contre, figure 296, l'effet à produire sur la vis. Les lignes telles que a a, dd sont des projections d'hélices. En réalité ces courbes devraient être des sinusoïdes arrondies aux angles a a Dans un dessin à petite échelle on se contente de les faire en ligne droite, en arrondissant légèrement les angles. Gela esl plus facile à dessiner et l'effet est suffisant.. Dans un dessin à plus grande échelle on devra dessiner des sinusoïdes véritables. �— § 206. — Un palier pour arbre horizontal (1). 175 — Nous donnons ce croquis (fig. 297) sans autres explications. On remarquera seulement que pour raccorder entre elles Fig. 297 . F indique de la foule, — f du fer, — et B du bronze. les deux colonnes et la semelle, on a employé deux fractions de tores en creux terminées en I et R (voir le plan) par des portions de sphères. On fera bien d'étudier à part ce double raccordement géométrique avant de tracer les lignes de teintes. (1) Cet organe de machine se trouve partout. Son prix varie de 15 à 30 francs, selon son poids. �— 476 g 207. — Un robinet conique en bronze, avec bride et raccord. Cet organe de machine est tout entier en bronze. Il est facile à trouver partout. (Prix de 10 à 23 francs.) �— 177 — Fi S- 302 Fig. 300 Pla.11 ( Vu par dessus.) Fig. 303 Fig. 301 ; Echelle dé 0,60 pour 1 mètre. Nous en donnons le croquis avec l'indication des ombres et des lignes de teintes. Nous supposons le lecteur assez exercé pour comprendre les tracés indiqués. On fera bien d'en faire la mise au net, en grandeur naturelle, en ayant le modèle en relief sous les yeux. 83. �78 — ÉCHELLES Figure 304 CYLINDRE VERTICAL 1° Le point n° 0 d'oûibre propre est sensiblement aux 7/10 du rayon (1) à partir de l'axe ou aux 3/10 k partir du contour apparent. .2° La première division 0,1, est k peu près les 2/5 <lc la distance 0 M (largeur de l'ombre). 3° L'axe a est situé entre les points 4 et 5, un peu plus près de 5 que de 4. 4" Du coté du contour A ou trouve les n°s G près de A et 5 presque confondu avec A. 5» Les écartenients 0, 1 — 1, 2 — 2, 3, etc..., vont eu augmentant progressivement. 6° La zone claire 6, 6 a une largeur k peu près égale au double de la largeur île l'ombre. DE TEINTES. Figure 305 CYLINDRE A 45°, EN LUMIÈRE CORPS DÉPOLIS Figure 306 CYLINDRE A 45°, EN DEJIl-TEINTE 1° Le point n° 0 d'ombre propre est sensiblement aux G/10 du rayon fl) à partir de l'axe ou aux 4/10 à partir du contour apparent. 2° La première division 0, 1, est k peu près le 1/4 de la distance 0 M. 3° L'axe I est situe entre les points 4 et 5, un peu plus près de S que de 4. 4° Du côté du contour A on trouve le n° 7 presque confondu avec lui. Il n'y a, de ce côté, ni 6, ni 5. 5" Les éearlements 0, 1 — 1, 2 — 2, 3... vont en augmentant progressivement. 6" La zone claire 7, 7, a une largeur plus grande que celle de l'ombre, 1/3 en plus environ. (I) Exactement 1° Les points n° 0 d'ombre propre sont confondus avec les extrémités du diamètre. Les lignes d'ombre propre sont donc les lignes de contour apparent. 2° L'axe a est situé entre les deux points 4, 4, et à égale distance de chacun d'eux. La zone 4, 4, ou a est la plus claire sur ce cylindre. 3° La largeur de la zone 4, 4, est un pou plus grande que le rayon (1/15 en plus environ). 4° Les divisions sont exactement symétriques par rapport k l'axe. (I) FxaiïtemenL à à ^ 3 ■ �ÉCHELLES Figure 307 . CYLINDRE VERTICAL DE TEINTES. Figure 308 CORPS MI-POLIS Figure 309 CYLINDRE A 43», EN DEMI-TEINTE 1" Les points n01 0 d'ombre propre sont confondus CYLINDRE A 4ji", EN LUMIÈRE 1» Le point n° 0 d'ombre propre est sensiblement aux 6/10 du rayon (1) il partir de l'axe ou aux 4/10 à partir du contour apparent. 2° L'axe oc est situé entre les points 4 et 5, un peu plus près do 4 que de 5. 3° Du côté négatif les numéros s'arrêtent à TT. Du côté posilif ils s'arrêtent à + 3. 4" La zone la plus claire est comprise entre les numéros les plus élevés 7 et 7 ; elle sera donc très claire. Sa largeur est un peu plus grande que la moitié de la largeur de l'ombre propre. (1) Exactement à ^ 3 1» Le point n° û d'ombre propre est sensiblement aux 7/10 du rayon (1) à partir do l'axe, ou aux 3/10 à partir du contour apparent 2" L'axe a est situé entre les points 4 et 5, un peu plus près de 4 que de 5. 3° Du côté négatif les numéros s'arrêtent a 3. Du côté positif ils s'arrêtent à + 3. 1» La zoue la plus claire est située entre les n" o et 5. Sa largeur est un peu moindre que le double de la largeur de l'ombre propre. avec les extrémités du diamètre ; les lignes d'ombre propre sont donc les lignes de contour apparent. 2° L'axe a est situé entre les deux poinls 4 et 4 et à égale distance de chacun d'eux. La zone 4, 4, est la plus claire. 3° La largeur de la zone 4, 4, est environ les 2/7 du diamètre. 4° Les divisions sont exactement symétriques par rapport à l'axe. - �TABLE DES MATIÈRES PREMIÈRE PARTIE Sos des paragraphes Pages LES I" des paragraphes OMBRES CHAPITRE USUELLES Pages 28. 29. 30. Berceau avec arc doubleau Voûte d'arêtes sur plan barlong Lunette cylindrique droite CHAPITRE 22 22 23 I. — Généralités. 1 2 4 4 31. 32. 33. 34. 35. 36. 6 7 8 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 1. 2. 3. 4. Définitions Les trois méthodes générales pour la recherche des ombres Les trois théorèmes généraux . Le rayon à 45° et son rabattement à l'angle cp . CHAPITRE VII. — Ombres portées dans les sphères en creux. Voûtes sphèriques. 24 24 25 25 25 25 26 29 30 30 31 32 34 35 5. 6. 7. II. — Ombres portées sur des plans de front et applications. Ombre portée sur un plan de front par un point et par une droite dans différentes positions Ombres portées par un cercle et par un cube. ... Applications à l'architecture. — Fûts de colonnes, arcades . ... CHAPITRE Ombre de l'écuelle, en plan '. id. en coupe Ombre de la niche sphérique Berceau cylindrique terminé par un cul de four sphérique . Voûte sphérique précédant un berceau plein-cintre avec arc doubleau intermédiaire Même voûte . — L'arc doubleau précède la voûte sphérique Voûte sphérique sur pendentifs, avec arcs doubleaux . CHAPITRE VIII. — Applications diverses. III. — Ressaut -des ombres. 9 8. 9. 10. 11. 12. Ombre d'un larmier de front sur une série de plans de front. .............. Architecture: Ombres portées sur des moulures. . . Ombre portée par une droite verticale sur un plan parallèle à la ligne de terre . Architecture : Ombres d'un escalier. — Ombres portées sur des toits, etc Ombre d'un cercle horizontal sur un mur vertical fuyant à 45° . . . . . . . IV. — Ombres propres des surfaces de révolution. Ombre du cône Cône à 45°. — Cône à l'angle cp. — Cône sans ombre . Ombre du cylindre Ombre de la sphère ..... .... Ombre propre d'une surface de révolution quelconque : ombre d'un tore V. — Ombres portées sur les cylindres en relief. Ombre du tailloir. . Application : gouttes et leur bandeau dans l'ordre dorique. Ombre du listel saillant Ombre du listel avec congé circulaire ...... Ombre de l'astragale. 9 10 10 Il 12 13 13 13 14 16 16 17 17 18 Ombres d'un chapiteau dorique Ombres d'une colonne dorique engagée dans un mur . Ombres d'un fronton Ombres d'une base attique Chapiteau ionique grec. — Dessin du chapiteau... id. Tracé des ombres ... Chapiteau corinthien DEUXIÈME PARTIE CHAPITRE PERSPECTIVE TITRE PREMIER. — CHAPITRE PREMIER. — LINÉAIRE Généralités. 37 37 38 38 39 39 40 41 13. 14. 15 16-17. 18. PERSPECTIVE DES PLANS, CHAPITRE 19. 20. 21. 22. 23. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. Introduction ...... Objet de la perspective Esprit des méthodes Définitions . . Coordonnées perspectives d'un point de l'espace . . . Ligne droite Figures situées dans des plans de front. — Echelle d'un plan de front L'épure géométrale et le tableau ....... CHAPITRE CHAPITRE VI. — Ombres portées sur les cylindres en creux. Voûtes cylindriques. 20 20 21 22 53. 54. 55. IL — Perspective des plans. — Méthodes de perspective générale. 43 43 45 24. 25. 26. 27. Ombre d'un cylindre de machine à vapeur, en Coupe, avec son piston en saillie Ombre d'un cylindre ouvert ou ombre du pont ... Ombre du listel rentrant, en coupe. — Arc doubleau . Architecture. — Ombre dans un berceau, en coupe . . Perspective d'une droite du géométral...... Droites dans des positions particulières. — Points principaux de distance Points de fuite accidentels et points de distance correspondants. . '. �N01 îles paragraphes Pages 56. 57. 58. 59. Perspective d'un quadrilatère du géomélral. — Tableau non amplifié Même problème en amplifiant le tableau (Tableau triplé) , Perspective d'un plan régulier ne se présentant pas de front (Amplification quelconque). — Méthode dite : des trois échelles Résumé CHAPITRE III. — TITRE II. — 46 CHAPITRE PERSPECTIVE DES ÉLÉVATION.?. VIII. — Problème général de la mise en hauteur. Pages 47 48 49 K°s des paragraphes 91. 92. 93. Perspective directe sur le gèomêtral. (Problèmes se résolvant sans connaître les'points principaux.) 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. Introduction Problème 1. — Partager une droite de front en parties égales Problème 2. — Partager une droite fuyante en parties qui soient entre elles dans un rapport donné ... Problème 3. — Prolonger sur une droite du géométral une division amorcée Applications. — 1° Continuer, sur une route, un tracé d'arbres ; 2° continuer, sur un mur, un tracé de fenêtres et de trumeaux Mener des fuyantes dont le point de fuite esi inaccessible. Même problème. — Procédé approximatif. — Méthode dite : des réseaux Même problème. —Procédé par lignes proportionnelles. Même problème. — Emploi du Té-brisé, ou règle à 3 branches , Emploi d'un Té-brisé d'angle déterminé Emploi du Té-brisé quand on opère sur une toile. . . Emploi du Té-brisé dans les problèmes d'ombres . . Té-brisé. —■ Changement des épingles dans le courant des opérations . \ . . . CHAPITRE 50 50 Mise en hauteur d'un point Emploi d'un mur fuyant auxiliaire. — Echelle des hauteurs Application à la perspective d'une croix. — Emploi d'un géométral abaissé En note : Sujets de relevés géométraux et de perspective donnés aux examens pour l'obtention du diplôme de professeur de dessin dans les établissements de. l'Etat (premier degré et degré supérieur), années 1882, 1883 et 1884 CHAPITRE IX. — 75 75 76 78 50 50 51 51 52 52 53 54 54 55 55 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. Perspective directe dans l'espace. A. PROBLÈMES GÉNÉRAUX Représentation perspective d'un point du géométral . Perspective d'un point de l'espace Perspective d'une droite. — Recherche de sa trace géornétrale Trouver l'intersection d'une droite et d'un mur vertical . Trouver l'intersection d'une droite quelconque et d'un plan quelconque défini par 3 points Trouver l'intersection de deux plans . . . Partager une droite, de l'espace, en parties proportionnelles à des longueurs ou à des nombres donnés. . . 1!. PERSPECTIVE DIRECTE DE MOULURES DROITES. 79 80 80 80 80 81 81 101. 102. Moulures d'un piédestal isolé Moulures d'un fronton droit C. PERSPECTIVE DIRECTE DES MOULURES CIRCULAIRES 81 83 IV. — Problèmes de perspective directe exigeant la connaissance des pointsprincipaux de fuite et de distance. 73. 74. 75. 76. Construire un carré sur une droite de front, comme côté. Sur une droite de front, comme diamètre, construire un cercle. — lre méthode dite : par recoupements . . Même problème. —■ 2e méthode dite : des huit points . Même problème. — 3° méthode dite : par les échelles circulaires. .... . . . . . . . . CHAPITRE V. — 103. 104. 57 57 58 58 !05. 106. 107. Moulures d'une archivolte Perspective directe des surfaces de révolution. — Application à un vase CHAPITRE X. — Mise de front d'une figure plane. Méthode de la corde de l'arc. 83 85 Relèvement du géométral. 61 62 62 63 64 77. 78. 79. 80. 81. Relèvement d'un point Même problème. — Le tableau ayant été amplifié dans un rapport quelconque Application. — Restitution perspective d'un triangle Recherche de points accidentels de fuite et de leurs points de distance Trouver le point de distance d'une direction donnée dont le point de fuite est accessible ou non CHAPITRE Mise de front d'un mur vertical. — Perspective d'une arcade ' . . . . '. . . . . Changement de géométral Application. — Trouver la vraie forme d'un triangle défini par 3 points Images par réflexion dans des miroirs plans. 88 89 90 CHAPITRE XI. — VI. — Perspective des cercles horizontaux. 65 65 67 67 69 70 71 108. 109. 110. 111. 112. Lois de la réflexion Champ du miroir Images réfléchies par une nappe d'eau Image dans un miroir vertical Image,dans un miroir plan quelconque et problème : abaisser d'un point une perpendiculaire sur un plan' . CHAPITRE XII. — 92 92 93 93 94 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. Construire un cercle sur une ligne fuyante comme diamètre Architecture. — Perspective de plans de colonnes cannelées Perspective d'une série de cercles concentriques. — Emploi d'échelles divergentes Application au plan d'un escalier circulaire .... Cas particuliers de la perspective d'uu cercle. — Ellipse, hyperbole ou parabole Application. — Perspective des bancs d'un cirque . . Remarque sur la position prise par la ligne neutre quand on relève le géométral Des ombres en perspective. 97 98 98 90 99 113. 114. 115. 116. 117. Lumière au flambeau. — Positions diverses du flambeau. Lumière au soleil.— Positions diverses du soleil . . Ombres portées sur des plans horizontaux Ombres portées et reçues par un cône Ombre portée dans l'intérieur d'un berceau .... CHAPITRE XIII. — Restitutions perspectives. A. RESTITUTIONS PRÉCISES CHAPITRE VII. —Perspective de plans irréguliers. — Craticulage. 72 73 118. 119. 120. 89. 90. Méthode par les carreaux (ou craticulage) pour mettre en perspective des plans irréguliers Généralisation de la mise au carreau Utilité des restitutions perspectives Restitution de la ligne d'horizon . Restitution des points principaux de fuite et de distance : 1° En utilisant deux angles droits 2° En utilisant un cercle horizontal 3° En utilisant un carré perspectif 102 103 103 103 104 �182 S1,s dus paragraphes Pages — Pa'ges- N"s des paragraphes B. RESTITUTIONS VISUELLES. 155. 156. 157. 158. 121. 122. 123. 124. En quoi consiste la restitution visuelle ..... .105 Déplacement horizontal du spectateur. — 1er cas : il ne change pas de distance. — 2° cas : il avance ou il recule . . . ..... . . . . . . 105 Déplacement vertical ou changement d'horizon . . 106 Dérogation aux règles do la perspective ..... 106 TITRE III. — DESSIN D'APRÈS NATURE. Expérience sur l'éclairement et sur l'éclat apparent des corps dépolis ........... Conséquences relatives à la lumière émise par une surface dépolie ....... Eclairement total. — Eclairement unitaire d'une surface plane . . . .' . . . ... . . . Rayons indirects ou de reflets : (a) Rayons atmosphériques ; (6) Le ciel, source de reflets ; (c) Rayon atmosphérique principal ; (à) Reflets terrestres .... B. PRINCIPE DES ORIENTATIONS ET SES CONSÉQUENCES 132 132 133 134 CHAPITRE XIV. — Relevé géométral. 108 108 109 109 110 110 110 111 114 159. 125. 126. 127. 128 129. 130. 131. 132. 133. Dessins constituant un relevé géométral La mise en feuille du croquis L'esquisse du croquis Le croquis définitif, ou trait . Traits de force Hachures et teintes conventionnelles Préparation des cotes Mesure des cotes dans un relevé d'architecture; lil n plomb, règle'divisée, équerre divisée Mesure des cotes dans un levé de machines .... CHAPITRE XV. — Variations dans l'éclairement des différents points d'un objet noyé dans l'atmosphère : (a) Zones eu lumière; (b) Zone d'ombre propre ; (c) Zones d'ombres portées ; id) Loi de l'éclairement dans les ombres propres et por■ . téesl . . . . . . . . . . . . . . . .135 G. PRINCIPE DES COULEURS ET SES CONSÉQUENCES Perspective d'observation. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140 . 141. Exercices préalables. — Appréciation des rapports et des pentes . . . . . .115 Appréciation de la hauteur d'horizon 116 Dessin d'un cube (à vue). — 1er cas : la ligne d'horizon est dans la feuille et elle coupe les arêtes du cube. — 2° cas : la ligne d'horizon est en dehors de la feuille. 116 Application au dessin d'un paysage avec monuments . 118 Remarque relative aux lignes fuyantes dans le dessin d'un objet isolé ...... 120 Dessin, à vue, de cercles horizontaux superposés. — Application a un vase 120 Diviser en parties égales un cercle perspectif . . . 121 Dans un dessin, exécuté d'après nature, retrouver expérimentalement la distance (entière ou réduite). . . 122 TITRE IV. Tons simples et purs, rabattus ou éclaircis .• . . . Tons composites de l'1', 2e ou 3" ordre.— Rosace des couleurs. .... 162. Couleurs complémentaires . . . 163. Couleurs usuelles. — Composition d'une boîte de couleurs ..... 164. TeiDtes conventionnelles (Dessin de machines) . 165. ' Lavis en camaïeu . 166. Causes de la couleur des objets : (a) Saturation, sursaturation, sous-saturation ; (b) Conventions, orientations saturées, sursaturées et sous-saturées. . . . D. PRINCIPE DES DISTANCES ET SES CONSÉQUENCES 160. 161. 135 136 136 136 137 137 138 167. 168. 169. Effets de l'éloignement 138 Des différents plans en peinture . 138 Manière de rendre en camaïeu, à l'encre de Chine, les effets de la distance ... . . 139 E. EFFETS PHYSIOLOGIQUES DE CONTRASTE ET D'IRRADIATION ■ — PERSPECTIVES DE CONVENTION CHAPITRE XVI. 170. Perspective cavalière et perspective économétrique. A. PERSPECTIVE CAVALIÈRE (a) Effets de contraste.— [b) Effets d'irradiation.— (c) Conséquences . . ... CHAPITRE II. — 139 142. 143 144. 145. 146. 147. Généralités. — Fuyantes — Rapport de réduction . . 123 Rabattement d'une projetante sur un plan de front . . 124 Perspective cavalière d'une circonférence horizontale . 124 Perspective cavalière d'un assemblage de charpente (Un tenon sur l'arête) 125 Perspective cavalière d'une sphère, avec ombre propre et ombres portées sur un plan horizontal et sur un mur de front. . . . . . ... . . . . .126 Remarque générale sur la perspective cavalière . . . 127 B. PERSPECTIVE AXONOMÉTRIQUE ET ISOMÉTRIQUE Les trois sphères types [dépolie, polie et rai-polie . — Echelles de teintes. A. SPHÈRE TYPE DÉPOLIE 171. 172. 148. 149. 150 151. Principe do la perspective axoDométrique. — Projection des arêtes d'un cube. — Echelle des trois arêtes . . Perspective isométrique Perspective d'une circonférence isométrique .... Rapporteur isométiique — Perspective isométrique d'un fragment d'architecture (Les arènes d'Arles) . . . 127 128 128 129 173. 174. 175. Lignes d'égales teintes sur une sphère dépolie. (Epure.) Les trois zones caractéristiques de toute surface, zone zéro, ou zone séparatrice d'ombre et de lumière. — Zone alpha (a), ou zone de teinte locale, dite encore zone d'éclairage à saturation. —■ Zone bêta (13) ou zone claire ; . . . . . . Zones intermédiaires, dites zones de demi-teintes . Lavis de la sphère type, à teintes fondues . ' . . . Résumé .............. B. SPHÈRE TYPE POLIE 141 142 143 143 143 176. 177. 178. 179. Lois de la réflexion. — Intensité du rayon réfléchi. . Aspects divers d'un plan poli . . Aspects divers d'une sphère polie Lignes d'égales teintes sur une sphère parfaitement polie C. CORPS MI-POLIS. 144 144 145 145 TROISIÈME PARTIE LE RENDU DANS LE DESSIN D ARCHITECTURE ET DANS LE DESSIN DE MACHINES CHAPITRE PREMIER 180. 181. Convention pour les corps mi-polis Epure des lignes de teintes sur une sphère mi-polie. D. ECHELLES DE TEINTES. . 147 148 — A. GÉNÉRALITÉS 152. 153. 154. Objet de cette étude Rayons lumiueux directs et rayons visuels Corps dépolis, corps polis et corps mi-polis . . . . .... 131 131 132 182. 183. 184. Usage des sphères types Echelles déteintes les plus usuelles. . . ... Application des échelles aux surfaces en creux . . . 149 149 150 �— ïos des paragraphes Pages 18.'] Pages !ï"sdes paragraplirs CHAPITRÉ III. — Pratique du lavis. 152 152 153 153 154 154 155 199. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 19,1. Des teintes. ;—Transparence et intensité d'une teinte . Classification des teintes dans un lavis à teintes plates . Conseils pratiques pour l'éclaircissement des teintes . . Lavis des ombres portées Lavis à teintes fondues Des filets de lumière et des filets de reflet. — Filets d'ombre et filets de contre-ombre Exécution des teintes dégradées : fa) Teintes fondues, c'est-à-dire dégradées.sur un grand espace ; (b) Teintes adoucies, c'est-à-dire, dégradées sur un petit espace . CHAPITRE IV. — Raccordement de tores entre eux. — Application à un crochet de poulie CHAPITRE V. 162 Application au rendit dans le dessin d'arcliitecture. 200. Des reflets dans le dessin d'architecture : (a) Rayon terrestre principal ; (6) Combinaison des reflets du sol et des. rayons atmosphériques. — Rayon , aéroterrestre principal Rendu des surfaces planes. — Un porche avec escalier. Rendu des moulures cylindriques. — Baguette et gorge. — Quart de rond droit et renversé.— Cavet-droit et renversé. —Talon droit et renversé. —Doucine droite et renversée. Rendu des moulures annulaires. — Talon et doucine . Rendu, à l'effet, d'un entablement (Tribune des Cariatides a Athènes) 201. 202. 164 165 Rendu des surfaces géométriques. RÉVOLUTION. A. .SURFACES DE 203. 204. 156 166 169 170 192. 193. 194. Lignes de teintes sur un tore à profil circulaire (surface dépolie) , - . . Tores dont le cercle générateur est très petit — Fusion des lignes de teintes entre elles. — Tracé simplifié au compas, en projection horizontale . . . . . Surfaces planes travaillées au tour. ; B. RACCORDEMENT DES SURFACES. CHAPITRE VI. — Application aurendu dans le dessin de machines. 173 175 176 157 158 205. 206. 207 . Un vérin à vis Un palier pour arbre horizontal Un robinet conique, en bronze, avec bride et raccord ECHELLES DE TEINTES . 19,'i. 196 197. 198. Surfaces congés Raccordement d'un cylindre et d'un plan Raccordement de deux cylindres de diamètres différents Raccordements d'un tore et de huit cylindres. . . 158 159 160 160 Echelles des corps dépolis. — Echelles A, B et C . Echelles des corps mi-polis. — Echelles A', B' et C Table des matières . . 178 179 180 lin.-. ! 1 Ii IjelU, oj^cv*' � PDF Table Of Content This element set enables storing TOC od PDF files. Text TOC extracted from PDF files belonging to this item. One line per element, looking like page|title 1|Premi&#232;re partie: Les ombres usuelles&#13; |6 2|Chapitre I: G&#233;n&#233;ralit&#233;s |6 2|Chapitre II: Ombres port&#233;es sur des plans de front et applications&#13;|11 2|Chapitre III: Ressaut des ombres&#13;|14 2|Chapitre IV: Ombres propres des surfaces de r&#233;volution&#13;|17 2|Chapitre V: Ombres port&#233;es sur les cylindres en relief&#13;|21 2|Chapitre VI: Ombres port&#233;es sur les cylindres en creux et applications aux voutes cylindriques&#13;|25 2|Chapitre VII: Ombres port&#233;es dans les sph&#232;res en creux. Voutes sph&#233;riques&#13;|29 2|Chapitre VIII: Applications diverses&#13;|33 1|Deuxi&#232;me partie:Perspective lin&#233;aire&#13;|42 2|Titre I: Perspective des plans&#13;|42 3|Chapitre I: G&#233;n&#233;ralit&#233;s&#13;|42 3|Chapitre II: Perpesctive des plans (Perspective du g&#233;om&#233;tral). M&#233;thodes de perspective g&#233;n&#233;rale&#13;|48 3|Chapitre III: Perspective directe sur le g&#233;om&#233;tral (Probl&#232;mes se r&#233;lolvant sans conna&#238;tre les points principaux)&#13;|55 3|Chapitre IV: Probl&#232;mes de perspectibe directe exigeant la connaissance des points principaux de fuite et de distance&#13;|62 3|Chapitre V: Rel&#232;vement du g&#233;om&#233;tral&#13;|66 3|Chapitre VI: Perspective des cercles horizontaux&#13;|70 3|Chapitre VII: Perspective des plans irr&#233;guliers. Craticulage|77 2|Titre II: Perspective des &#233;l&#233;vations&#13;|80 3|Chapitre VIII: Probl&#232;mes g&#233;n&#233;ral de la mise en hauteur&#13;|80 3|Chapitre IX: Perspective directe dans l'espace&#13;|84 3|Chapitre X: Mise de front d'une figure plane. M&#233;thode de la corde de l'arc&#13;|93 3|Chapitre XI: Images par r&#233;flexion dans des miroirs plans&#13;|97 3|Chapitre XII: Des ombres en perspective&#13;|102 3|Chapitre XIII: Restitutions perspectives&#13;|107 2|Titre III: Dessin d'apr&#232;s nature&#13;|113 3|Chapitre XIV: Relev&#233; g&#233;om&#233;tral&#13;|113 3|Chapitre XV: Perspective d'observation&#13;|120 2|Titre IV: Perspectives de convention&#13;|128 3|Chapitre XVI: Perspective cavali&#232;re et perspective axonom&#233;trique&#13;|128 1|Troisi&#232;me partie: Le rendu dans le dessin d'architecture et dans le dessin de machines&#13;|136 2|Chapitre I: G&#233;n&#233;ralit&#233;s&#13;|136 2|Chapitre II: Les trois sph&#232;res types (D&#233;polie, polie et mi-polie). Echelles de teintes&#13;|146 2|Chapitre III: Pratique du Lavis&#13;|157 2|Chapitre IV: Rendu des surfaces g&#233;om&#233;triques&#13;|161 2|Chapitre V: Application au rendu dans le dessin d'architecture&#13;|169 2|Chapitre VI: Application au rendu dans le dessin de machines&#13;|178